同步微点进阶讲义11 生活中的函数应用（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题三 函数的概念与性质 微点11  生活中的函数应用（一） 数学应用的范围十分广泛，近年来跨学科情境化的数学应用问题成为研究的热点之一．这些数学应用问题往往基于真实生活情境，要求我们能用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，主要检测阅读理解和建模解模能力，彰显学以致用．这些应用问题涉及几乎高中阶段的所有核心数学知识，特别是函数模型，需要仔细审题与严密分析，选择适当的数学模型，综合运用数学知识解决． 通过实际问题理解一次函数、二次函数、对勾函数、分段函数等的应用，体会数学与生活以及其他学科的关系，养成正确的数学化理性思维，形成“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的意识，提升直观想象、数学建模、数据分析以及数学运算素养．我们先从以下三个角度一一探究： 1、一、二次函数应用； 2、基本不等式应用； 3、分段函数应用. 若实际问题中所含两个变量之间的依存关系是线性的，则可构建一次函数模型，利用一次函数的单调性解决问题，主要有读图分析（含开放性分析）和实际问题建模两类问题．实际生活中，有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，我们可以构建二次函数模型，利用二次函数的图象、单调性、最值等解决实际生活中的有关问题． 很多较为复杂的实际问题往往可以抽象为几个基本函数的组合，很多生活问题可以抽象为“一个一次函数与一个分式函数的和”或“一个二次函数与一个一次函数的商”，如平均利润、工程相关问题等，可以建立对勾函数“”模型，要活用基本不等式或函数单调性求解相关问题． 我们现实生活中还有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税以及分时段讨论的问题等．分段函数是解决实际问题的重要模型，处理时可将实际问题中各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．构造分段函数时，要力求做到准确、简洁、分段合理． 探究一　一、二次函数应用 【典例1】（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【思路引导】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详细解析】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 【题后反思】根据题意建立不等式组得出调配方案，再由一次函数的单调性计算最值. 【举一反三】 1．为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【答案】(1) (2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【分析】（1）根据题意,构造等量关系式,求出函数关系式; （2）先求出自变量取值范围,再根据函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台， 所以， 所以关于的函数解析式为． （2）因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多， 所以解得， 而为整数，故可取，学校共有6种购买方案． 由，因为，所以函数单调递减， 又且为整数，所以当时，有最小值， 最小值，此时． 故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【典例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量（箱）关于销售单价（元/箱）的函数解析式． （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）关于销售单价（元/箱）的函数解析式． （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【思路引导】由题意，根据所给数据信息，先建立平均每天的销售量（箱）关于销售单价（元/箱）的一次函数解析式，再根据销售利润（元）与销售量（箱）的关系构建二次函数模型，运用二次函数的单调性和最值求得最大利润． 【详细解析】（1）根据题意，得，化简得． （2）因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润．所以． （3）因为，所以当时，随的增大而增大．又，所以当时，有最大值，最大值为1125．所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元． 【题后反思】根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 【举一反三】 2．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 探究二　基本不等式应用 【典例3】某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入100万元，每辆客车第一年各种费用为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用增加16万元． （1）写出4辆客车运营的总利润（万元）关于运营年数的函数解析式． （2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大年平均运营利润是多少？ 【思路引导】分析题目所给数据，总利润与运营年数是二次函数关系，先求出，再构造年平均运营利润，则是对勾函数，可以运用基本不等式求得最值． 【详细解析】（1）依题意得，每辆车年总收入为万元， 总支出为， 所以4辆客车运营的总利润． （2）年平均运营利润为． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以这4辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大年平均运营利润为48万元． 【题后反思】对于较为复杂的应用问题，要认真审题，根据题目所给的条件，构建相应的数学模型，然后运用已知的数学知识和方法解模，从而解决实际问题．本例构建了对勾函数模型，利用基本不等式先求出的最小值，再求年平均利润的最大值．解决此类问题通常需要验证等号能否取到，必要时还可借助函数的单调性解决． 【举一反三】 3．工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系（为常数，且），已知每生产一件合格产品盈利元，每出现一件次品亏损元. （1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： ） 【答案】（1）；（2）当时，日产量为万件日盈利额最大； 当时，日产量为3万件时日盈利额最大． 【分析】（1）根据“日盈利额合格产品盈利次品亏损”的原则，以及对日产量为自变量进行分段求出日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）利用导数求出（1）中分段函数在每段定义域上的最值，进而确定日盈利额的最大值以及相应的值. 【详解】（1）当时，， 当时， ∴日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为 （2）当时，日盈利额为0 当时，   令得或（舍去） ∴当时， ∴在上单增 ∴最大值 当时，在上单增，在上单减 ∴最大值 综上：当时，日产量为万件日盈利额最大 当时，日产量为3万件时日盈利额最大 【典例4】某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 【思路引导】先根据图象得出总利润与运营年数的二次关系，再计算平均利润由基本不等式计算即可. 【详细解析】根据图象求得y＝－（x－6）2＋11（x＞0）， ∴年平均利润＝12－（x＋）， ∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立， ∴要使营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5. 【题后反思】在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤： （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． （3）解模：求解函数模型，得出数学结论． （4）还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 【举一反三】 4．如图所示，学校要建造一面靠墙（墙足够长）的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽应为 m. 【答案】10 【分析】建立面积的函数关系式，利用二次函数求出取最大值时的x. 【详解】设每个花圃的面积的面积为y，则 因为， 所以当时，y最大. 故答案为：10. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围. 探究三　分段函数应用 【典例5】（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意. 【详细解析】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 【题后反思】分段函数是解决实际问题的重要模型，是各类函数模型的组合．分段函数在每一段中所遵循的规律不同，可将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将各段合到一起．要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值．构造分段函数模型时，要力求分段合理，不重不漏．分段函数的最大值是各段的最大值中最大的那一个，同理，分段函数的最小值是各段的最小值中最小的那一个． 【举一反三】 5．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 【典例6】春节期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． （1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； （2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【思路引导】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【详细解析】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元， 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 【题后反思】通过分类讨论结合函数的单调性计算最值. 用数学解决一些复杂的实际问题时，除了要掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的提升． （1）阅读理解能力：首先能层次分明地阅读并理解自然语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确的数学语言将题目的已知与待求翻译出来，并注意翻译的清晰性与完整性． （2）数学的迁移能力：建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出待解决问题的数或形，并能判断可以用哪些数学知识解决，将之转化为纯数学问题． （3）解决纯数学问题的能力：经过综合分析，能应用数学的基础知识和基本方法，完整解答所建立的数学模型． （4）常识能力：平时应关注生活中的点滴常识，对从数学模型得出的结果，进行检验、判断、修正，得到符合实际的解答． （5）表达能力：解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确、论据确凿、论证有力、有始有终、能自圆其说．注意在表述过程中，要用简明的文字与数学语言进行互补，使 语句流畅、自然而清晰． 【举一反三】 6．某宾馆有间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率.经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表： 每间客房的定价 220元 200元 180元 160元 每天的入住率 对于每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元.要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 A．220元 B．200元 C．180元 D．160元 【答案】C 【分析】根据利润＝收入﹣成本，对A、B、C、D四个选项逐一分析，比较最后结果，从而确定利润最高时的客房定价． 【详解】当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为，则住房利润为（220﹣80）4050n； 当每间客房的定价为200元时，有客住的房间数为0.6n，则住房利润为（200﹣80）×0.6n﹣40×0.4n＝56n； 当每间客房的定价为180元时，有客住的房间数为0.7n，则住房利润为（180﹣80）×0.7n﹣40×0.3n＝58n； 当每间客房的定价为160元时，有客住的房间数为0.75n，则住房利润为（160﹣80）×0.75n﹣40×0.25n＝50n； 综上，当每间客房的定价为180元时，宾馆每天的住房利润最高． 故选C． 【点睛】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识，注重了数学知识运用到实际生活中的考查，属于中档题． 7．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 【答案】AC 【分析】结合函数图象分析得进水速度是出水速度的，从而分段分析第3个图形的进水与出水情况，从而得解. 【详解】由①②两图知，进水速度是出水速度的， 所以由图③可知，0点到3点不出水，A正确； 3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确； 4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误. 故选：AC. 8．某游乐场每天盈利元与售出的门票数张之间的关系如图所示，则售出320张门票时，盈利为 元；售出520张门票时，盈利为 元． 【答案】 1200 1650 【分析】易得此函数为分段函数，根据图象的特点设出函数解析式，根据范围的不同，各取两个点的坐标代入即可求得解析式，进而可求得结论． 【详解】当时，设，函数图象过点， 代入得，解得； 当时，设，函数图象过点， 代入得，解得， 所以解析式为； 当时，；当时，． 即售出张门票时，盈利为元；售出张门票时，盈利为元． 故答案为：；． 9．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）． 【答案】 【分析】本题首先可以结合表中数据计算出高峰时间段的电费，然后计算出低谷时间段的电费，最后两者相加，即可得出结果. 【详解】高峰时间段的电费：（元）， 低谷时间段的电费：（元）， 所以该家庭本月应付的电费为（元）， 故答案为：. 【点睛】本题考查从材料中提取信息解决实际问题，能否从材料中准确的找出关系式是解决本题的关键，考查学生处理信息的能力，是简单题. 10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费 元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了 千米． 【答案】 14.59 9 【分析】根据条件列出关系式，分别代入求解即可. 【详解】设出租车行驶x千米时，付费y元， 则y＝ 当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y＝22.6，知x>8， 由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6， 解得x＝9. 故答案为：14.59；9. 11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 【答案】（1） （2）3333辆/小时 【详解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为 （2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时， 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立． 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值． 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（1）函数v（x）的表达式 （2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． （23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中） 12．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 (1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） (2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 【答案】(1) (2)为使该商品的利润最大化，产量为百件. 【分析】（1）利用求出利润函数即可； （2）先求出在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量. 【详解】（1）由题意，利润， 所以. （2）由（1）知，当时，， 在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减， 所以. 综上，为使该商品的利润最大化，产量为百件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 函数的概念与性质 微点11  生活中的函数应用（一） 数学应用的范围十分广泛，近年来跨学科情境化的数学应用问题成为研究的热点之一．这些数学应用问题往往基于真实生活情境，要求我们能用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，主要检测阅读理解和建模解模能力，彰显学以致用．这些应用问题涉及几乎高中阶段的所有核心数学知识，特别是函数模型，需要仔细审题与严密分析，选择适当的数学模型，综合运用数学知识解决． 通过实际问题理解一次函数、二次函数、对勾函数、分段函数等的应用，体会数学与生活以及其他学科的关系，养成正确的数学化理性思维，形成“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的意识，提升直观想象、数学建模、数据分析以及数学运算素养．我们先从以下三个角度一一探究： 1、一、二次函数应用； 2、基本不等式应用； 3、分段函数应用. 若实际问题中所含两个变量之间的依存关系是线性的，则可构建一次函数模型，利用一次函数的单调性解决问题，主要有读图分析（含开放性分析）和实际问题建模两类问题．实际生活中，有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，我们可以构建二次函数模型，利用二次函数的图象、单调性、最值等解决实际生活中的有关问题． 很多较为复杂的实际问题往往可以抽象为几个基本函数的组合，很多生活问题可以抽象为“一个一次函数与一个分式函数的和”或“一个二次函数与一个一次函数的商”，如平均利润、工程相关问题等，可以建立对勾函数“”模型，要活用基本不等式或函数单调性求解相关问题． 我们现实生活中还有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税以及分时段讨论的问题等．分段函数是解决实际问题的重要模型，处理时可将实际问题中各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．构造分段函数时，要力求做到准确、简洁、分段合理． 探究一　一、二次函数应用 【典例1】（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【思路引导】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详细解析】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 【题后反思】根据题意建立不等式组得出调配方案，再由一次函数的单调性计算最值. 【举一反三】 1．为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【典例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量（箱）关于销售单价（元/箱）的函数解析式． （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）关于销售单价（元/箱）的函数解析式． （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【思路引导】由题意，根据所给数据信息，先建立平均每天的销售量（箱）关于销售单价（元/箱）的一次函数解析式，再根据销售利润（元）与销售量（箱）的关系构建二次函数模型，运用二次函数的单调性和最值求得最大利润． 【详细解析】（1）根据题意，得，化简得． （2）因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润．所以． （3）因为，所以当时，随的增大而增大．又，所以当时，有最大值，最大值为1125．所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元． 【题后反思】根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 【举一反三】 2．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 探究二　基本不等式应用 【典例3】某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入100万元，每辆客车第一年各种费用为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用增加16万元． （1）写出4辆客车运营的总利润（万元）关于运营年数的函数解析式． （2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大年平均运营利润是多少？ 【思路引导】分析题目所给数据，总利润与运营年数是二次函数关系，先求出，再构造年平均运营利润，则是对勾函数，可以运用基本不等式求得最值． 【详细解析】（1）依题意得，每辆车年总收入为万元， 总支出为， 所以4辆客车运营的总利润． （2）年平均运营利润为． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以这4辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大年平均运营利润为48万元． 【题后反思】对于较为复杂的应用问题，要认真审题，根据题目所给的条件，构建相应的数学模型，然后运用已知的数学知识和方法解模，从而解决实际问题．本例构建了对勾函数模型，利用基本不等式先求出的最小值，再求年平均利润的最大值．解决此类问题通常需要验证等号能否取到，必要时还可借助函数的单调性解决． 【举一反三】 3．工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系（为常数，且），已知每生产一件合格产品盈利元，每出现一件次品亏损元. （1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： ） 【典例4】某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 【思路引导】先根据图象得出总利润与运营年数的二次关系，再计算平均利润由基本不等式计算即可. 【详细解析】根据图象求得y＝－（x－6）2＋11（x＞0）， ∴年平均利润＝12－（x＋）， ∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立， ∴要使营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5. 【题后反思】在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤： （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． （3）解模：求解函数模型，得出数学结论． （4）还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 【举一反三】 4．如图所示，学校要建造一面靠墙（墙足够长）的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽应为 m. 探究三　分段函数应用 【典例5】（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意. 【详细解析】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 【题后反思】分段函数是解决实际问题的重要模型，是各类函数模型的组合．分段函数在每一段中所遵循的规律不同，可将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将各段合到一起．要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值．构造分段函数模型时，要力求分段合理，不重不漏．分段函数的最大值是各段的最大值中最大的那一个，同理，分段函数的最小值是各段的最小值中最小的那一个． 【举一反三】 5．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【典例6】春节期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． （1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； （2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【思路引导】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【详细解析】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元， 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 【题后反思】通过分类讨论结合函数的单调性计算最值. 用数学解决一些复杂的实际问题时，除了要掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的提升． （1）阅读理解能力：首先能层次分明地阅读并理解自然语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确的数学语言将题目的已知与待求翻译出来，并注意翻译的清晰性与完整性． （2）数学的迁移能力：建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出待解决问题的数或形，并能判断可以用哪些数学知识解决，将之转化为纯数学问题． （3）解决纯数学问题的能力：经过综合分析，能应用数学的基础知识和基本方法，完整解答所建立的数学模型． （4）常识能力：平时应关注生活中的点滴常识，对从数学模型得出的结果，进行检验、判断、修正，得到符合实际的解答． （5）表达能力：解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确、论据确凿、论证有力、有始有终、能自圆其说．注意在表述过程中，要用简明的文字与数学语言进行互补，使 语句流畅、自然而清晰． 【举一反三】 6．某宾馆有间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率.经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表： 每间客房的定价 220元 200元 180元 160元 每天的入住率 对于每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元.要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 A．220元 B．200元 C．180元 D．160元 7．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 8．某游乐场每天盈利元与售出的门票数张之间的关系如图所示，则售出320张门票时，盈利为 元；售出520张门票时，盈利为 元． 9．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）． 10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费 元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了 千米． 11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． （23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中） 12．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 (1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） (2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$