福建省福州第一中学2024-2025学年高二下学期第四学段模块考试（7月期末）数学试题

福州一中2024—2025学年第二学期第四学段模块考试 高二数学学科选择性必修三模块试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若随机变量X满足，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 5. 某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ） A. 35种 B. 105种 C. 210种 D. 231种 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（ ） A. B. 若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C. D. 若某天只有40min可用，李明应选择公交车 8. 小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（ ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若事件，则 C. 若，是对立事件，则 D. 若，是互斥事件，则 11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（ ） A. 第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B. 第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C. 第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D. 球第次传出后恰好传给丙的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的展开式中的系数为______．（用数字作答）． 13. 已知由样本数据得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到的经验回归方程为，则______． 14. 10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． （1）求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； （2）请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 16. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后． （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析车间是否与优等品有关联？（结果精确到0.001） 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 （附，其中，） （2）调查了工厂近10个月的产量（单位：万个）和月销售额（单位：万元），得到以下数据：，，，．并根据散点图认为关于的经验回归方程为，其中，． ①求证：． ②求关于的经验回归方程． 17. 福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就胜出，比赛结束．假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响． （1）在某次抢答中，求甲得1分的概率； （2）在某次抢答中，在乙得1分的条件下，求乙答对这个题的概率； （3）比赛进行中，若甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望． 18. 已知函数 （1）若，求证：在R上单调递增； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）求证：在上有且只有1个解． 19. 编号为的小球随机放入编号为的盒子中，记表示个盒子中空盒子的个数． （1）当时，求编号为1的盒子中有球的概率； （2）求并证明关于单调递增； （3）求证：． 注：若随机变量、、、…、满足，则． 福州一中2024—2025学年第二学期第四学段模块考试 高二数学学科选择性必修三模块试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 【12题答案】 【答案】70 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） ，. （2）甲公司竞标成功的可能性更大 【16题答案】 【答案】（1） 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 ，能 （2）① ； ② 【17题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【18题答案】 【答案】（1） ， ，令，故， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以在R上单调递增； （2） （3） 设满足的值为的不动点， 满足的值为的稳定点， 下面证明，若为定义域内的严格增函数，则“是的不动点”是“是的稳定点”的充要条件， 充分性，因为是的不动点，故，则， 故是的稳定点，充分性成立， 必要性，设是的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故是的不动点”，必要性成立，证毕； ，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，故恒成立， 故在R上单调递增， 令得，令，， 则，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得，即， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，， ，故存在唯一的，使得， 故有唯一的零点，即有唯一的不动点， 故在上有唯一的稳定点，有且只有1个解，证毕 【19题答案】 【答案】（1）； （2）证明：设， ， 所以， 所以， 所以． 所以，即证： 即证：，考虑函数， ， 设，， 在上恒成立， 则在上单调递减，则， 所以，所以在上单调递减， 所以，即关于单调递增． （3）证明：考虑函数， 在恒成立，所以在上单调递增， 所以，即， 取得，即， 所以，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $