精品解析：安徽省宿州市萧县2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

八年级数学纠错 一、选择题（共10小题） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 要使分式有意义，则x值满足的条件是（ ）。 A. B. C. D. 3. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 4. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论可能成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共4小题） 10. 因式分解：______ 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是___． 13. 如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为______ （2）的最小值为______． 三、解答题（共9小题） 14. 先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 15. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 16. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（5，4），B（1，1），C（5，1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以O为对称中心，画出△ABC关于O成中心对称的图形△A'B'C'； （3）请用无刻度的直尺画出∠ABC的平分线BQ（点Q在线段AC上）（保留作图辅助线）． 18. 细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题： OA12＝1；+1＝2； +1＝3 +1＝4；… S1＝；S2＝；S3＝；… （1）推算OA10的长和S10的值； （2）直接用含n（n为正整数）的式子表示OAn的长和Sn的值； （3）求S12+S22+S32+…+S102的值． 19. 先阅读下面的材料，再按要求解答下列问题： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有着广泛的应用．例如对于多项式 ①利用配方法因式分解 ②利用配方法求最值 ∵，∴，∴有最小值，最小值是． 【问题解决】 （1）用配方法因式分解：______ （2）求当x取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x米，请用配方法求围成的生物园的最大面积． 20. 如图，函数的图象为直线l1，函数y＝kx+b的图象为直线l2，直线l1、l2分别交x轴于点B和点C（3，0），分别交y轴于点D和E，l1、l2相交于点A（2，2）． （1）直接写出不等式的解集； （2）求△ADE的面积． 21. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； （2）已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 22. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8． （1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； （2）①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学纠错 一、选择题（共10小题） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：第1个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形．符合题意； 第2个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形．符合题意； 第3个图案不是轴对称图形，是中心对称图形．不符合题意； 第4个图案不是轴对称图形，是中心对称图形．不符合题意； 所以，既是轴对称图形，也是中心对称图形有2个， 故选：B． 2. 要使分式有意义，则x值满足的条件是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0. 【详解】解：由题意，，得， 故选：A 【点睛】本题考查分式有意义的条件；掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 3. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵∠1＝55°， ∴∠AFD=55°， ∴∠ADF=180°-45°-55°=80°， ∵MN∥HK， ∴∠AEG=∠ADF=80°， ∴∠2=80°-45°=35°． 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键． 4. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴，原不等式成立，故该选项不符合题意； B、∵，，∴，原不等式不成立，故该选项符合题意； C、∵，∴，原不等式成立，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，原不等式成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数的图像有四种情况： ①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 7. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论可能成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的几何性质和有理数的加法意义可知实数a在原点一侧，实数b和c在原点的另一侧可得结果． 【详解】解：∵， ∴表示实数a的点在数轴距离原点最远，表示b，c的点在数轴上距离原点比a要近一些， ∵， ∴当a在原点右侧时，则b，c在原点左侧；当a在原点左侧时，则b，c在原点右侧， ∴或， 故选C． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确理解题意推出当a在原点右侧时，则b，c在原点左侧；当a在原点左侧时，则b，c在原点右侧是解题的关键， 8. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接EB．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可． 【详解】解：如图，连接EB． 由作图可知，MN垂直平分线段AB， ∴EA=EB， ∴∠A=∠EBA=45°， ∴∠AEB=90°， ∵AB=4， ∴EA=EB=2 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， ∴EC= 故选C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③根据，证明为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，进而可以判断； ⑤过作于点，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴，故①正确； ②当是的中线时，，故②错误； ③∵， ∴为的中线， ∵为的角平分线， ∴， ∴为等边三角形， ∴，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤过作，于点， 由④知，为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键． 二、填空题（共4小题） 10. 因式分解：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解—公式法．根据平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是___． 【答案】． 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解． 【详解】解：∵ ∴ 过点作轴于点， ∴∠BOA=∠ADC=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAO+∠CAD=90°. ∵∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠CAD=∠ABO. ∵AB=AC，  ∴. ∴ ∴ 设直线的解析式为，将点，点坐标代入得 ∴ ∴直线的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等． 13. 如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为______ （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算．合理找出三角形的底和高是解题的关键． （1）作交于点，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后按照三角形的面积公式计算即可． （2）当点、、三点共线时，最小，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后按照三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ． 故答案为：． 解：（2）是的平分线，点为动点， 作点关于的对称点在上， ． 作交于点P 当点、、三点共线且时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（共9小题） 14. 先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，利用分式减法运算求解，再将分式分子分母因式分解，将除法转化为乘法，利用分式乘除运算法则计算即可化简，再由分式分母不能为零得到，再由，且为整数，得到，代入化简结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ，且为整数， 取值为， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式加减乘除运算法则、通分、因式分解、分式有意义的条件、不等式整数解等知识，熟练掌握分数混合运算法则是解决问题的关键． 15. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， 在中，，， ，即， ，即是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，，， ， 的面积为：， 又的面积为：， 四边形的面积为：． 16. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 【答案】这些书有本，共有6个人 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题关键是准确列出不等式组． 设共有x人，则这些书有()本．根据题意列出不等式组求解． 【详解】解：设共有x人，则这些书有()本．由题意， 得， 解得， ∵x为整数， ∴， ∴ (本)． 答：这些书有本，共有6个人． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（5，4），B（1，1），C（5，1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以O为对称中心，画出△ABC关于O成中心对称的图形△A'B'C'； （3）请用无刻度的直尺画出∠ABC的平分线BQ（点Q在线段AC上）（保留作图辅助线）． 【答案】（1）画图见解析，（5，-4）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （3）取格点N，使得BN=AB=5，连接AN，CM相交于点J，作射线BJ交AC于Q，利用等腰三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作，点A1的坐标（5，-4）． （2）如图，△A'B'C'即为所求作． （3）如图，射线BQ即为所求作． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题： OA12＝1；+1＝2； +1＝3 +1＝4；… S1＝；S2＝；S3＝；… （1）推算OA10的长和S10的值； （2）直接用含n（n为正整数）的式子表示OAn的长和Sn的值； （3）求S12+S22+S32+…+S102的值． 【答案】（1）OA10＝，；（2）， ；（3） 【解析】 【分析】（1）根据前面几个线段的值平方得出规律，即可求出的长，根据前面几个三角形的面积得到规律，即可求出的值； （2）根据规律发现，，即可得出结果； （3）根据（2）中的规律得原式的值为，即可求出结果． 【详解】（1）∵，，…， ∴， ∴， ∵，，…， ∴，则； （2）由（1）可知，，即， ； （3）． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是总结出题目中式子之间的规律进行计算求解． 19. 先阅读下面的材料，再按要求解答下列问题： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有着广泛的应用．例如对于多项式 ①利用配方法因式分解 ②利用配方法求最值 ∵，∴，∴有最小值，最小值是． 【问题解决】 （1）用配方法因式分解：______ （2）求当x取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x米，请用配方法求围成的生物园的最大面积． 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）围成的植物园的最大面积是． 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． （1）由配方法得，再利用平方差公式，分解即可得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，然后再表示出四边形的面积，结合配方法求最值，进而可得围成的植 物园的最大面积． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2）∵， 与题干②同理可得，代数式有最小值，最小值为； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得： ， ∵， ∴， 有最大值，最大值是50． 围成的植物园的最大面积是． 20. 如图，函数的图象为直线l1，函数y＝kx+b的图象为直线l2，直线l1、l2分别交x轴于点B和点C（3，0），分别交y轴于点D和E，l1、l2相交于点A（2，2）． （1）直接写出不等式的解集； （2）求△ADE的面积． 【答案】（1）x＜2；（2） 【解析】 【分析】（1）由两函数图象的交点及函数图象的性质可直接求解； （2）由，两点在直线上可求解，的值，进而可求解点坐标，再根据三角形的面积可求解． 【详解】解：（1）、相交于点， 由图象可知：当时， 不等式的解集为； 故答案为：； （2）直线经过、两点， ， 解得，， 点的坐标为， 的面积． 【点睛】本题主要考查一次函数及一元一次不等式，两直线相交或平行的问题，求解点坐标是解题的关键． 21. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； （2）已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】（1）不是；； （2）；，或． 【解析】 【分析】（）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； （）根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； 根据整除的定义进行求解即可； 本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 分式不是分式的“可存异分式”， 故答案为：不是； 依题意得，， ∴， 解得， 即分式的“可存异分式”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意， ∴， 解得； ， 当整数或时，分式的值分别是1，，或， 又分式的值是正数， 整数或，分式的值分别是，或． 22. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8． （1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； （2）①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】（1）直角三角形， 理由如下： ∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b， ∴AE=AM= (4−a)，BE= (4−b)， ∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32）， AC=4， ∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]， ∵ab=8， EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32）， ∴AE2+BF2=EF2， ∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形； （2）①45°； ②成立，理由如下： 将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE， 如图2，     ∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°， ∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2， ∵EF2=BF2+AE2， ∴DE=EF， ∵CD=CF，CE=CE， ∴△DCF≌△FCE（SSS）， ∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°． 【解析】 【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论； （2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果； ②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图1， 连接PC交EF于G， ∵a=b， ∴ME=AM=BN=NF， ∵四边形CNPM是矩形， ∴矩形CNPM是正方形， ∴PC平分∠ACB， ∴CG⊥AB， ∴∠PEG=90°， ∵CM=CN=PM=PN， ∴PE=PF， ∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形， EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2， ∴PE=AE=PF=BF， ∴ME=EG=FG=FN， ∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°； ②略． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 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