第12讲用一元一次方程解决问题（2大知识点+15大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年新七年级数学衔接讲义（苏科版2024）

第12讲用一元一次方程解决问题（2大知识点+15大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用) 典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用) 典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用) 典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用) 典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用) 典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用) 典型例题八 动点问题(一元一次方程的应用) 典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用) 典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用) 典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用) 典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用) 典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用) 知识点一：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据孩童人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选B． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）某机械加工厂计划在规定期限内完成一批零件的生产任务，如果每天生产零件25个，那么到期将比原计划少生产100个；如果每天生产零件30个，那么到期将比原计划多生产80个，求原计划几天完成任务？ 【答案】原计划36天完成任务． 【分析】设原计划天完成任务，根据两种生产方式下，这批零件原计划的产量相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设原计划天完成任务， 由题意得：， 解得， 答：原计划36天完成任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 知识点二：常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 【即时训练】 1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 【答案】32km 【分析】设A、B两地路程是，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设A、B两地路程是． 由题意得：， 解得：． 答：A、B两地路程是32． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解答的关键． 【典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·江苏·单元测试）我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人，根据“2间大教室和1间小教室可同时容纳228人”列出方程． 【详解】解：设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人， 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)能做21个盒子 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减的应用，正确的找出题中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）方法剪个侧面，方法剪个侧面和个底面， ，， 共有侧面个，底面个； （2）根据已知条件可得， 解得， ， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．设小和尚有x人，则大和尚有人，根据题意可得，小和尚每人分个馒头，大和尚1人分3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 依题意列方程得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）去年秋季，我市某果树基地安排名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装个苹果或者个梨，每个果篮中放个苹果和个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮．若设有名工人包装苹果，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设有名工人包装苹果，根据使包装的水果刚好完整配成果篮，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有名工人包装苹果，则名工人包装梨，根据题意得， ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面个或底面个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用x张彩纸制作圆柱侧面，则可列一元一次方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据题意可知等量关系为：侧面的数量的2倍等于底面的数量，据此可列出一元一次方程． 【详解】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有张纸作圆柱底面， 根据题意可得： 故答案为：． 4．（22-23七年级上·江苏·单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 【答案】18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球 【分析】设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数． 【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球， 依题意得：， 解得：x＝18， ∴34﹣x＝34﹣18＝16． 答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整理一批数据，由一人做完成，现在计划先由x人做，再增加5人做，完成这项工作的 ，可列方程（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，先确定1人的工作效率为，即可得出x人做的工作量，及增加5人做的工作量，根据工作量之和等于，列出方程即可． 【详解】根据题意，得 ． 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 【答案】他们合作整理这批图书的时间是3h． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握工程问题的解法是解题的关键． 设他们合作整理这批图书的时间是，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案． 【详解】解：设他们合作整理这批图书的时间是x h，根据题意得： 解得：， 答：他们合作整理这批图书的时间是． 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需（   ）天． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题意一项工程甲单独做要10天完成，乙单独做需要6天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分两人共同完成的部分． 【详解】解：设完成这项工程共需x天，则甲做了x天，乙做了天，根据关系式甲完成的部分两人共同完成的部分列出方程式为： ， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程式的运用，解题的关键是找到等量关系． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）甲乙两人给一片花园浇水，甲单独做需要4小时完成浇水任务，乙单独做需要6小时完成浇水任务．现由甲、乙两人合作，完成浇水任务需要（    ） A．1.5小时 B．2小时 C．2.4小时 D．3.2小时 【答案】C 【分析】根据题意设完成浇水任务需要x小时，依据等量关系甲完成的工作量+乙完成的工作量=1，进而列出方程计算即可求解． 【详解】解：设完成浇水任务需要x小时，由题意可得： 解得：x=2.4． 故完成浇水任务需要2.4小时． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 3．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）一件工作，甲单独做完成，乙单独做完成，现甲单独做后，乙加入和甲一起做，还要几小时完成？若设还要完成，则依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】设还要完成，根据整个工程量为单位1，列出方程即可． 【详解】解：设还要完成，根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据工程量为单位1，列出方程． 4．（22-23七年级上·江苏南通·期末）方程解应用题： 整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【答案】应先安排人工作4小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设应先安排人工作4小时，依题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设应先安排人工作4小时，依题意得， 解得： 答：应先安排人工作4小时． 【典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2023·江苏苏州·一模）已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（    ） A．亏损10元 B．盈利10元 C．亏损20元 D．盈利20元 【答案】B 【分析】设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，根据销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元， 由题意，得x（1+60%）=80，y（1-20%）=80， 解得：x=50，y=100， ∴成本为：50+100=150元． ∵售价为：80×2=160元， 利润为：160-150=10元． 故选：B． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）将一件商品按进价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，那么所列方程为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，先求出实际售价为元，再根据利润售价进价列出方程即可． 【详解】解：设这种商品每件的进价是x元， 由题意得，， 故选；C． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）某种商品标价为110元，打九折后仍可获利，则该商品的成本为（     ） A．88元 B．90元 C．92元 D．94元 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设成本价为，根据“某种商品标价为110元，打九折后仍可获利”列出一元一次方程，解方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设成本价为， 由题意得：， 解得：， 该商品的成本为元， 故选：B． 3．（2023·江苏苏州·一模）“春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了 元． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用中的打折问题，设节省了x元，根据题意，得，解答即可． 【详解】设节省了x元，根据题意，得， 解得． 故答案为：28． 4．（22-23七年级上·江苏·周测）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，其中成人票是每张8元，学生票是每张5元，筹得票款6950元．求成人票售出多少张． 【答案】成人票售出650张，学生票售出350张． 【分析】设售出的成人票为张，根据等量关系：筹得票款6950元，列出方程求解即可． 【详解】解：设售出的成人票为张，依题意有 ， 解得， ． 答：成人票售出650张，学生票售出350张． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）球赛积分表问题： 某次篮球联赛积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 东方 12 10 2 22 蓝天 12 10 2 22 雄鹰 12 9 3 21 远大 12 9 3 21 北极 12 7 5 19 卫星 12 4 8 16 钢铁 12 0 12 12 有以下判断： ①负一场积1分； ②胜一场积2分； ③如果一个队胜场，则该队的总积分为分； ④不可能有一个球队的胜场总积分等于它的负场总积分． 以上说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据钢铁队的积分情况可判断①，根据东方队的积分情况可判断②，根据负一场和胜一场的积分可判断③，设某队胜a场，根据题意列出方程，解之即可． 【详解】解：①∵钢铁队胜场为0，负场为12，积分为12， ∴12÷12=1，即负一场记1分，故正确； ②根据东方队胜场为10，负场为2，积分为22， ∴（22-2）÷10=2， 即胜一场记2分，故正确； ③如果一个队胜m场， 则该队的总积分为2m+（12-m）=12+m（分）， 故正确； ④设某队胜a场，则负12-a场，由题意得 2a=12-a， 解得：a=4， 因为a是整数， 所以存在某队胜场总积分能等于它的负场总积分，故错误； 故选C． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，看清表格中蕴含的数量关系是解决问题的关键． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？ 【答案】15道 【分析】设答对x道题，则答错或不答道题，根据答题对得分减答错或不答题扣分等于共得70分列方程，解答即得． 【详解】设答对x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：． 答：他答对15道题． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用——积分问题．解决问题的关键是熟练掌握总题数与答对题数和答错或不答题数的关系，总得分与答对题得分和答错或不答题得分的关系． 1．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可． 【详解】解：设小红答对的个数为x个， 由题意得， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（   ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解． 【详解】解；设答对的题数为x道 故： 解得：． 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，可知胜一场积 分． 【答案】2 【分析】根据C队情况确定胜一场和负一场共积3分，然后设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分，根据A队情况列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：观察C队情况，可知胜一场和负一场的积分之和为27÷9=3分． 设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分． 根据A队情况得14x+4（3﹣x）＝32． 解得x＝2． ∴胜一场积2分． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 4．（22-23七年级上·江苏常州·期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？ 【答案】小华猜中了个成语 【分析】设小华猜中了个成语，则妈妈猜中了个成语，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】设小华猜中了个成语，则妈妈猜中了个成语，根据题意得， 解得：， 答：小华猜中了个成语 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 【典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（　　） A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本 【答案】C 【分析】易得54元可购买的商品一定超过了3本，关系式为：3×原价+超过3本的本数×打折后的价格≤54，把相关数值代入计算求得最大的正整数解即可． 【详解】解答：解：设他购买笔记本的数量是x本，依题意有 3×6+（x﹣3）×6×0.7≤54， 解得x≤． 故他购买笔记本的数量是最多11本． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程不等式即可． 2．（22-23七年级上·江苏南通·期末）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住 6 人，那么有 6 人无房可住；如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房． (1)求该民宿有客房多少间，户外旅行者多少人？ (2)假设对民宿进行改造后，房间数大大增加．现每间客房收200元，且每间客房最多入住5人，一次性订房12间及以上(含 12 间)，房价按 8 折优惠，若这些户外旅行者再次一起入住，他们如何订房较合算？ 【答案】(1)该店客房有7间，户外旅行者有48人； (2)他们再次入住订12间房时更合算． 【分析】（1）设客房有x间，由题意：如果每间客房住6人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出一间房．列出一元一次方程组，解方程组即可； （2）根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可． 【详解】（1）解：设客房有x间， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：该店客房有7间，户外旅行者有48人； （2）解：如果每5人一个房间，需要，即10间客房， 总费用为（元）， 如果定12间，其中有四个人一起住，有五个人一起住， 则总费用（元）， ∵， 所以他们再次入住订12间房时更合算． 答：他们再次入住订12间房时更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【答案】D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 3．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 【答案】 【分析】设原计划用车辆，根据题意参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划用车辆，依题意有 ， 解得， ． 故参加秋游的学生一共有名． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用方程解决问题：元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．请问班长共买了多少颗糖果？ 【答案】班长共买了160颗糖果 【分析】设这个班有x名学生，根据两种分法的糖果数量相同可得出方程，从而解出即可． 【详解】解：设这个班有x名学生． 根据题意，得， 解得． 糖果共有（颗）． 答：班长共买了160颗糖果． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，此题还可以设糖果的总量为，这样得出的方程会不一样，但最终的结果是一样的． 【典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）三个连续的偶数的和是，其中最大的偶数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为， 由题意可得：， 解得， 故选C． 2．（2023·江苏常州·模拟预测）一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 【答案】142857 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原数的1后五位数是x，那么根据“六位数左端的数字是1，”可表示这个六位数是：；根据“把左端的数字1移到右端，”可表示这个新六位数是：；再根据“新数=原数×3”可列方程为：，据此即可解答． 【详解】解：设原数的1后五位数是x，则这个六位数是，则新的六位数可表示为，由此可得方程： ， 解得． 答：原数是142857． 1．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）小王编了一道数学谜题：，若等号左、右两边的“”内表示同一个数字，若设这个数字为x，则所列方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个数字为x，根据等号左边的数字，在个位，等号右边的数的在十位，据此即可求解． 【详解】解：设这个数字为x，依题意， 得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）把正整数1至2025按一定规律排列如图，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A．2021 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】设中间的数为x，则另外两个数分别为，，将三个数相加，可得出方框中三个数的和是，再代入各选项中的数，可得出关于x的一元一次方程，解之取x的值为整数的选项即可． 本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设中间的数为x，则另外两个数分别为，， 方框中三个数的和是 A.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和不可能是2021，选项A不符合题意； B.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和不可能是2023，选项B不符合题意； C.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和不可能是2024，选项C不符合题意； D.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和可能是2025，选项D符合题意． 故选：D 3．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把1，2，3，4，5，6这六个数分别填入“三角形”图案的六个圆圈中，使“三角形”图案每边上的三个数之和都相等（每个数字只能使用一次）．现在小明已填了1，3，6三个数，那么A处应填的数字为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 答：处应填4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数． 【答案】两位数是12 【分析】设十位数字为x，则各位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设十位数字为x，则各位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是12． 【典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用) 】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，是数轴上三点，表示的数分别为，且点是线段的中点，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上中点的计算，掌握数轴上中点的计算方法是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：是数轴上三点，表示的数分别为，且点是线段的中点， ∴， 解得，， 故选：C ． 2．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，就可以变成一个正方形，求这个长方形的长． 【答案】这个长方形的长为． 【分析】设这个长方形的长为，则长方形的宽为，由题意得长=宽．进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为，则长方形的宽为， 由题意得：， ∴， 解得：， ∴这个长方形的长为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程． 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一块矩形草坪的长比宽多10米，它的周长是132米，求宽所列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 2．（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）如图，周长为34的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为（    ）． A．49 B．68 C．70 D．74 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据长方形的性质可知，小长方形的长的2倍等于其宽的5倍，设小长方形的宽为x，则长为，再根据长方形周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设小长方形的宽为x，则长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：C． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，点A，O，B分别表示，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为 秒． 【答案】或或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系分情况列方程求解是解题的关键． 根据题意分O是中点和P是中点、Q是中点三种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：由题知，P点对应的数为：，Q点对应的数为：， （1）当O为中点时， 根据题意得， 解得， （2）当P是的中点时， 根据题意得， 解得， （3）当Q是的中点时， 根据题意得， 解得， 故答案为：或或． 4．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，把一块长为的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是，则长方形硬纸板的宽为多少？ 【答案】 【分析】设长方形硬纸板的宽为，根据纸盒的体积是可列出方程，求解即可． 【详解】解：设长方形硬纸板的宽为，根据题意， 得， 解得：； 答：长方形硬纸板的宽为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 【典型例题八 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（    ）. A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，设点A对应的数是x，根据运动方向及距离列方程，解方程即可． 【详解】解：设点A对应的数是x， 由题意知，， 解得， 故选D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)的长为 ； (2)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)存在，x的值是或5 (4)t的值为或4 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）计算即可； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：①当点P在点M的左侧时，②P在点M和点N之间时，③点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即．点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是．分类讨论①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P异侧时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：的长为； 故答案为：4 （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； （4）解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以，解得，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）电子跳蚤在数轴上的点处，第一步从向右跳1个单位到，第二步由向左跳2个单位到，第三步由向右跳3个单位到，第四步由向左跳4个单位到，…按以上规律跳了50步时电子跳蚤落在数轴上的点处，若所表示的数是-26.5，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是（    ） A．0 B．-1 C．-1.5 D．1.5 【答案】C 【分析】根据题意，每跳动2次，向左平移1个单位，跳动50次，相当于在原数的基础上减了25，相应的等量关系为：原数字-25=-26.5． 【详解】解：设点所对应的数为x，由题意得：每跳动2次，向左平移1个单位，跳动50次，相当于在原数的基础上减了25， 则x-25=-26.5， 解得：x=-1.5． 即电子跳蚤的初始位置点所表示的数为-1.5． 故选C 【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解决本题的突破点． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若C是中点，则a的值为(   ) A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意得：点A向右平移2个单位长度得到C为，再由点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，且C是的中点，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A向右平移2个单位长度得到C为， ∵点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，且C是的中点， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，求出点C表示的数是解决本题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，三点的相遇点恰好为点，的相遇点，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ， 相遇点所表示的数为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)6， (2)t的值是8或4 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）设运动的时间是t秒，可得，即得，点P在数轴上表示的数是，即可作答． （2）根据题意得：，从而可得或． 【详解】（1）解：设运动的时间是t秒，则M表示的数是，N表示是数是， 两只蚂蚁相遇在点P时，， 解得， ∴点P在数轴上表示的数是， 故答案为：6，； （2）解：根据题意得：， ∴或， 解得或， ∴t的值是8或4． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）小峰在超市买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，A种饮料每瓶4元，如果设B种饮料每瓶x元，那么下面所列方程正确的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，列出方程即可． 【详解】解：设B种饮料每瓶x元，由题意，得：； 故选B． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）金湖水域面积420.08平方千米，陆地面积是水域面积的2.3倍，陆地面积比水域面积多多少平方千米？ 【答案】约平方千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设水域面积为平方米，则陆地面积是平方米，则利用金湖水域面积列方程得，然后解方程，最后计算即可． 【详解】设水域面积为平方米，则陆地面积是平方米， 根据题意得， 解得， 所以， 即陆地面积比水域面积多约平方千米． 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．若用方程描述其中数量之间的相等关系，设该小组共有x个人，则可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设该小组共有x个人，根据每人做5个，那么比计划多了9个，可知计划做个中国结，根据每人做4个，那么比计划少了15个，可知计划做个中国结，据此列方程即可． 【详解】解：设该小组共有x个人， 由题意得，， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）为了对学生进行爱国主义教育，某初中组织七年级学生参观位于建湖县九龙口镇的车桥战役指挥所纪念馆．若租用35座客车x辆，则有6人没座位；若租用45座客车，则可少租1辆，且有1辆车空9个座位，问有多少名学生参加这次活动？根据题意列出方程，其中正确的是（　　） A．35x﹣6＝45x+9 B．35x﹣6＝45（x﹣1）+9 C．35x+6＝45x﹣9 D．35x+6＝45（x﹣1）﹣9 【答案】D 【分析】根据参加活动的学生人数不变即可列出方程． 【详解】解：∵租用35座客车x辆， ∴租用45座客车（x﹣1）辆， 根据参加活动的学生人数不变，得：35x+6＝45（x﹣1）﹣9． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某班数学兴趣小组的女生人数是全组人数的一半，如果增加2名女生，那么女生人数是全组人数的，设该小组原来女生人数是x人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先根据题意得到该组原来人数为人，然后根据“增加2名女生后，女生人数是全组人数的，”列方程求解即可． 【详解】解：设该小组原来女生人数是x人，则该组原来人数为人， 根据题意，得， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，求这个课外活动小组的人数．（用一元一次方程解决问题） 【答案】这个课外活动小组有人． 【分析】本题考查用一元一次方程解实际问题，解题的关键是找出题干中的等量关系，根据女生人数占全组人数一半，再增加6人，就等于增加后的全组人数，列式求解即可，特别注意题干中增加6名女生前后全组人数有变化． 【详解】解：设课外活动小组有人， 根据题意可列式， 解得， 答：这个课外活动小组有人． 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费______元； (2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费______元（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费元，则3月份用水量为______立方米； (4)若某户居民两个月共用水立方米（6月份用水量超过了立方米），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民两个月共交水费多少元？ 【答案】(1) (2) (3) (4)元或元 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减应用，正确的列出式子和方程，是解题的关键． （1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答； （2）根据，结合水费收费标准表，即可列式作答； （3）先算出刚好用立方米的水费，发现交水费元的用水量大于立方米，故设该月用水量为立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答； （4）若5月份用水立方米，则6月份用水立方米，且，结合水费收费标准表，即可列式作答． 【详解】（1）由题意可知，（元）， 2月份用水7立方米，应收水费元． （2）， （元）， 用水立方米，应收水费元． （3）由题意可知，当用水量刚好为立方米时， 水费为， 3月份用水量超过立方米， 设该月用水量为立方米， 则水费为， 整理得， 解得， 3月份用水量为立方米． （4）若5月份用水立方米， 则6月份用水立方米， 6月份用水量超过了立方米， ，即， 当时，月份水费为（元）， 月份水费为（元）， 此时两个月共交水费（元）， 当时，月份水费为（元）， 月份水费为（元）， 此时两个月共交水费（元）， 综上所述两个月共交水费为元或元 1．（2023七年级·广东·竞赛）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到煤气费的等量关系是解决本题的关键．月份的煤气费平均每立方米元，那么煤气一定超过立方米，等量关系为：超过米的立方数所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以即为煤气费． 【详解】解：设月份用了煤气立方， 则， 解得：， 元， 故选：B． 2．（23-24七年级上·重庆·期末）某市实行水费的阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按2元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费30元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　） A．1.2x＝30 B．1.2×20+2（x﹣20）＝30 C．2x＝30 D．2×20+1.2（x﹣20）＝30 【答案】B 【分析】求出用水量为20立方米时应缴费用，将其与30比较后可得出x>20，由该户居民在某月所交水费30元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解 【详解】1.2×20=24（元），24<30， x>20. 依题意得：1.2×20+2(x-20)=30. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：根据题意找相等关系列出方程是解题的关键．根据起步里程所花的费用+超过所花的费用一共付的费用，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙两地的路程为， 由可知，则超过的路程为，此段路程收的费用为元，某人乘出租车从甲地到乙地共付费为16元， 可得方程， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 户月用水量（） 收费标准（元/） 不超过 3.5 超过，但不超过的部分 5 超过的部分 7 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示） (3)小红家6月份和7月份的用水量共50，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为______，______． 【答案】(1)73 (2)当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元； (3)16，34 【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费； （2）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）． 答：该用户缴纳的水费是73元． 故答案为：73； （2）解：当时，应缴纳水费元； 当时，应缴纳水费元； 当时，应缴纳水费元； 综上，当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元；当时，应缴纳水费元； （3）解：设小红家6月份用水，则7月份的用水， 当时，则， 依题意得， 解得，； 当时，则， 依题意得， 解得，不符合题意，舍去； 综上所述，小红家6月份用水，则7月份的用水． 故答案为：16，34． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程或代数式是解题的关键． 【典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（2023·江苏苏州·二模）小明如果以5 km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6 km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为x km，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为x km，根据“以5km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟”即可列出方程． 【详解】解：设小明家到学校距离为x km， 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据时间找出等量关系是解决问题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，骑行速度为，乙步行，行走速度为，当甲到达地时，乙距地还有， ?(先在横线上提出一个问题把题目补充完整，然后解答) 【答案】可以问：甲骑行了多长时间？或A、B两地之间的路程是多少？甲骑行了2小时，A、B间的路程是20千米． 【分析】根据题意可以提问：甲走了几个小时？A，B两地的路程为多少千米？ 设甲走了x小时，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】根据题意可以提问：甲走了几个小时？A，B两地的路程为多少千米？ 解：设甲走了x小时， 依题意得：， 解得， ∴， ∴甲走了2个小时，A，B两地的路程为20千米； 故答案为：甲走了几个小时？或者A，B两地的路程为多少千米？． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键． 1．（2023·江苏连云港·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去B地．小刚骑自行车，小强步行，小刚的速度是小强的2倍．若小强比小刚早从A地出发，晚到达B地，则小强整个行程所用的时间为 ． 【答案】12 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设小强的整个行程所用的时间为min，小强的速度为，根据总路程相等，列出方程进行求解即可．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 【详解】解：设小强的整个行程所用的时间为min，小强的速度为，则：小刚的速度为，所用时间为， 由题意，得：， 解得：， 答：小强整个行程所用的时间为； 故答案为：12． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． (1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 【答案】(1)两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； (2)两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，可得，即可解得答案； （2）设客车开出小时后两车相距，根据题意得：或，即可解得答案． 【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇， 根据题意得：， 解得；， ∴两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； （2）设客车开出小时后两车相距， 根据题意得：或， 解得或， ∴两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距． 【典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 2．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【答案】 【分析】设三种型号三种洗衣机分别生产台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机1500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设三种型号三种洗衣机分别生产台， 依题意得：， 解得：， ∴， ， 答：三种型号三种洗衣机分别生产． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题首先根据三种洗衣机的数量比为设未知数，然后根据今年计划生产洗衣机的总台数列出方程，由此即可解决问题． 1．（23-24七年级上·广东江门·期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程． 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数，依此列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人，根据题意得：， 故选：C． 2．（22-23七年级上·北京海淀·阶段练习）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人， 由题意，得：； 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出方程，是解题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查比例的基本性质：内项之积等于外项之积． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？ 【答案】需抽调3名学生． 【分析】设从甲组抽调了x名学生去乙组，用x表示出抽调后甲乙两组的学生数,据抽调后“乙组人数为甲组人数的2倍”列方程求解． 【详解】解：设从甲组抽调了x名学生去乙组， 则：25+x＝2（17﹣x）， 解得：x＝3． 答：需抽调3名学生． 【点睛】考查一元一次方程的实际应用，理解题意抽象出相等关系是关键． 【典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）小明一家外出旅游天，这天的日期之和是，小明回家的日期是（    ） A．号 B．号 C．号 D．号 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 先设回家的日期为号，然后根据这天的日期之和是，即可列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：设回家的日期为号， 由题意可得：， 解得， 即回家的日期是号， 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏·周测）下图是某月份的月历，由图回答下列问题：    (1)如果十字框框出的5个数的和为55，那么十字框中间的数是多少？ (2)十字框框出的5个数的和可以是110吗？ 【答案】(1)11 (2)不可以，理由见解析 【分析】（1）设十字框中间的数是，根据“十字框框出的5个数之和为55”列方程求解； （2）设十字框中间的数是，根据“十字框框出的5个数之和为110”列方程求解，再根据月历中的位置判断即可． 【详解】（1）解：设十字框中间的数是， 由题意可得：， 解得：， ∴十字框中间的数是11； （2）设十字框中间的数是， 由题意可得：， 解得：， ∵22在最右边的位置， ∴十字框框出的5个数之和不可以是110． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 1．（2024·江苏盐城·二模）在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41．这3个数的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最小的数为，则其他3个数分别为，根据不同位置列方程解出的值，由为正整数即可判断； 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握月历中数字变化的规律． 【详解】设最小的数为 (为正整数)，则其他3个数分别为， A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得不符合题意； D、，解得，不符合题意；     故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期中）把2022个正整数1，2，3，4，…，2022按如图方式列成一个表，用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（    ） A．192 B．190 C．188 D．186 【答案】A 【分析】记右上角的一个数为x，通过图表可以得出这四个数之间的数量关系是相邻的两个数之间相差6，从而可以得出另三个数，将表示出的4个数相加，根据各选项建立方程求出其解即可判断． 【详解】解：记右上角的一个数为x， ∴另三个数用含x的式子表示为：． 四个数的和为：， A、，解得：，符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，38是第六行第3个数，不可以用如图方式框住，不符合题意； D、，解得：，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，要把实际问题抽象到解方程中来是解题关键． 3．（22-23七年级上·江苏·单元测试）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是 号． 【答案】23 【分析】设中间一天的日期，根据上下日期的差为7表示出另外两天的日期，再由它们的和为48列出方程，解之可得． 【详解】解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7， 根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48， 解得：x＝16， ∴x＋7＝16＋7＝23， ∴日期最大的一天23号， 故答案为：23． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到蕴含的相等关系，并据此列出方程． 4．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏南京·期中）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车辆，则根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共有x辆车，依题意得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 1．（2024·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为客人一起分银子，若每人分7两，则还剩4两；若每人分9两，则还差8两．问客人有几人？设客人共有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“每人7两，还剩4两；每人9两，还差8两”，结合分银子的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设客人共有人， 根据题意得，． 故选：A． 2．（2024·江苏无锡·三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”若设牧童x人，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿，每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设牧童x人，根据题意可得：， 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是利用“大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个”列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【答案】牧童人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． 【详解】解：依题意，设竹有x竿， 解得 则（人） ∴牧童人数为人． 【典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如果吨货物用载重吨的汽车运输比用载重吨的汽车运输要多用辆汽车(汽车均装满)，那么列方程求货物的质量时，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识．利用“用一辆载货量为1.5吨的汽车比用一辆载货量为4吨的大卡车要多运5次才能运完”这一等量关系列方程即可． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故选：B． 2．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）某书法社团中女生人数占这个社团人数的一半，如果再有8名女生加入，那么女生人数就占全团人数的．求这个书法社团的人数． 【答案】这个书法社团有人 【分析】根据题意，设书法社团有人，列方程即可求解． 【详解】解：设书法社团有人，则该社团女生有， ∴，解得，， ∴这个书法社团有人． 【点睛】本题主要考查方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握方程的运用是解题的关键． 1．（2023·江苏苏州·二模）我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（    ） A．21钱 B．65钱 C．150钱 D．165钱 【答案】C 【分析】根据人数乘以每人出钱数加差价可列出方程，解方程即可． 【详解】根据题意可列方程组，设人数为x人， 则：， 解得：x＝21， 5×21+45=150， 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，也可用二元一次方程组解决，能够找到等量关系是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程． 【详解】解：设这个班有学生人，列方程是：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）元旦节前夕，班主任为学生们准备了若干块糖果，若每人分4块，则多块，若每人分5 块，则还差8块．设班级有x人，根据题意列方程得 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据糖果总数不变即可列方程． 【详解】解：∵每人分4块，则多块， ∴糖果总数为：； ∵每人分5 块，则还差8块， ∴糖果总数为： ∴ 故答案为： 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串图形． （1）当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 　 　； （2）设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y． ①y与x的数量关系为y＝　 　（用含x的代数式表示）； ②若某个图形中长方形与三角形个数之和为28，求该图中长方形个数． 【答案】（1）8；（2）①2（x﹣1）；②长方形个数为10 【分析】（1）根据题目中图形规律直接可得； （2）①由图可知每个图形中三角形的个数为长方形个数与1的差的2倍，据此可得； ②根据①中所得结果，列出方程，求出x的值即可． 【详解】解：（1）∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即． ∴当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为， 故答案为：8； （2）①∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即． … ∴长方形个数为x，三角形个数为y时，y与x的数量关系为（用含x的代数式表示）； 故答案为：； ②当时， 即， 解得：， 答：该图中长方形个数为10． 【点睛】题目主要考查图形的找规律问题，列代数式及一元一次方程的求解，理解题意，找准图形的规律是解题关键． 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）小淇在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是，则三个日期在日历中的排布不可能的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻相差是．根据题意可列方程求解． 【详解】A、设最小的数是，则，．故本选项不符合题意； B、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； C、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； D、设最小的数是，则，，本选项符合题意． 故选：D 3．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）我国古代的数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有人共买物，人出七，盈二；人出六，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出7钱，则多了2钱；若每人出6钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（　　） A．7x﹣2＝6x+4 B．7x+2＝6x+4 C．7x﹣2＝6x﹣4 D．7x+2＝6x﹣4 【答案】A 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，就可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 设有x人，可列方程为：7x-2=6x+4． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 5．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可 【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度， 设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得， 根据题意可列出的方程是， 故选：B． 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 6．（2023·江苏宿迁·中考真题）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可； 【详解】由题意可列出方程， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 7．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道关于洗碗的算术题，大意是：有一位妇人在河边洗碗，过路人问她家里来了多少客人？妇人回答说她只知道每2位客人合用一只饭碗，每3位客人合用一只汤碗，每4位客人合用一只肉碗，不多不少恰好用了65只碗．我们假设来了位客人，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设共有x位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了65只碗，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏常州·期中）通常，一个成年人一天需喝水约．一滴水约，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约滴50滴水，这个水龙头一天的漏水量大约可以满足a个成年人一天的喝水量．则a的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出这个水龙头一天的漏水量为，再根据一个成年人一天需喝水约建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：C． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，小芬同学在构造一个的乘积幻方，使得每行、每列、每条对角线上三个非零有理数的乘积都相等；现在她已经填入了1，，3三个数，则图中x的值是（   ） 3 x 1 A．4 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 现根据三个数的积相等，得出右下角的数为，再根据最左一列的积等于左上到右下角对角线的积列方程求解． 【详解】解：由第2竖列与第3横列的积相等得右下角的数为， 由最左一列的积等于左上到右下角对角线的积得：， 解得：， 故选：D． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，设所搭小鱼的条数为，共用了182根火柴棒．由题意得，所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用，由图得出规律条“小鱼”用的火柴棒为根，再根据题意列出方程即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：1条“小鱼”用的火柴棒为根； 2条“小鱼”用的火柴棒为根； 3条“小鱼”用的火柴棒为根； …， 故条“小鱼”用的火柴棒为根， 故设所搭小鱼的条数为，共用了182根火柴棒．由题意得，所列方程为， 故选：B． 11．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ∴， 解得，， ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为： ． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）把80kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米，可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由每个袋子可装大米，3个袋子可装，再加上剩余的数量等于总量，从而可得方程． 【详解】解：设每个袋子可装大米，可得方程为， 故答案为： 13．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）自编一个符合方程的实际情境： ． 【答案】文具店某品牌水笔的售价是2.8元，小丽付给店员10元钱，找回1.6元，小丽共买多少支水笔？（答案不唯一） 【分析】根据一元一次方程的实际应用求解即可． 【详解】解：∵方程， ∴符合的实际情境可以为：文具店某品牌水笔的售价是2.8元，小丽付给店员10元钱，找回1.6元，小丽共买多少支水笔？（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握方程中的等量关系． 14．（24-25七年级下·江苏常州·期末）据研究，初中生每天蛋白质推荐摄入量男生约为，女生约为．下表为部分食物每百克的蛋白质质量． 食物 大米 牛乳 牛肉 蛋白质/ 若某天小强食用牛乳，大米与牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，则这天他食用大米 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这天他食用大米，则食用牛肉， 由题意得，， 解得， ∴这天他食用大米， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，一根长为3个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，记木棒的左端对着数轴上的点A，右端对着数轴上的点B，点C对应的数是1，若点A到点C的距离是点B到点C距离的2倍，则点A对应的数为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，设点对应的数为，则点对应的数为，由点到点的距离是点到点距离的倍，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设点对应的数为，则点对应的数为， 根据题意得：， 解得：或． 故答案为：或． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 【答案】小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设小明出发分钟可以追上妈妈，根据题意列方程，求得小明出发分钟可以追上妈妈，此时妈妈步行了分钟，再根据妈妈步行到火车站需要30分钟，即可得出答案． 【详解】解：设小明出发分钟可以追上妈妈， 由题意得：， 解得：， 即小明出发分钟可以追上妈妈， 此时妈妈步行了分钟， 分钟，即妈妈步行到火车站需要30分钟， 因为20分钟30分钟， 所以小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数，点C表示数． (1)请在数轴上用圆规作出点B、点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)线段的中点为，若，求a的值． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义，数轴上点表示有理数即可求解； （2）运用两点之间距离的计算方法，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示数a，点B表示数， ∴点A表示数与点B表示数互为相反，即到原点的距离相等， ∵点C表示数，即将点表示的数向右移动一个单元格， 作图如下， （2）解：点B表示数，点C表示数， ∴中点表示的数为， ∴， 解得，． 19．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）妈妈从家出发步行去乘高铁，时，小明发现妈妈忘记带手机，立即骑车追赶．已知高铁站距家1400米，妈妈每分钟步行50米，小明每分钟骑行200米． (1)小明何时能追上妈妈？此时离家多远？ (2)小明在追上妈妈后，便以原来的速度返回家里，而妈妈也以原速继续朝着高铁站前进．通过计算说明，当妈妈抵达高铁站的时候，她是否能够收到小明已经安全到家的报平安信息呢？ 【答案】(1)小明5分钟后追上妈妈，此时距家1000米； (2)可以收到小明到家的报平安信息，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设小明骑行分钟后追上妈妈，根据题意列出方程，得出，进而即可求解； （2）先求得妈妈抵达高铁站的时间，与小明返回家里的时间比较，即可求解． 【详解】（1）解：设小明骑行分钟后追上妈妈 由题可知     解得      米 答：小明5分钟后追上妈妈，此时距家1000米． （2）解：米       分钟     分钟 因为，所以5分钟后小明到家，妈妈抵达高铁站时可以收到小明到家的报平安信息． 20．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【答案】(1)16 (2)20元 【分析】（1）根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可； （2）设每根跳绳的标价为元．根据题意，得．解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可， 故答案为：16． （2）解：设每根跳绳的标价为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：每根跳绳的标价为20元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲用一元一次方程解决问题（2大知识点+15大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用) 典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用) 典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用) 典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用) 典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用) 典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用) 典型例题八 动点问题(一元一次方程的应用) 典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用) 典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用) 典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用) 典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用) 典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用) 知识点一：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）某机械加工厂计划在规定期限内完成一批零件的生产任务，如果每天生产零件25个，那么到期将比原计划少生产100个；如果每天生产零件30个，那么到期将比原计划多生产80个，求原计划几天完成任务？ 知识点二：常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 【即时训练】 1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 【典型例题一 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·江苏·单元测试）我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）去年秋季，我市某果树基地安排名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装个苹果或者个梨，每个果篮中放个苹果和个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮．若设有名工人包装苹果，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面个或底面个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用x张彩纸制作圆柱侧面，则可列一元一次方程为 ． 4．（22-23七年级上·江苏·单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 【典型例题二 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整理一批数据，由一人做完成，现在计划先由x人做，再增加5人做，完成这项工作的 ，可列方程（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需（   ）天． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）甲乙两人给一片花园浇水，甲单独做需要4小时完成浇水任务，乙单独做需要6小时完成浇水任务．现由甲、乙两人合作，完成浇水任务需要（    ） A．1.5小时 B．2小时 C．2.4小时 D．3.2小时 3．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）一件工作，甲单独做完成，乙单独做完成，现甲单独做后，乙加入和甲一起做，还要几小时完成？若设还要完成，则依题意可列方程为 ． 4．（22-23七年级上·江苏南通·期末）方程解应用题： 整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【典型例题三 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2023·江苏苏州·一模）已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（    ） A．亏损10元 B．盈利10元 C．亏损20元 D．盈利20元 2．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）将一件商品按进价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）某种商品标价为110元，打九折后仍可获利，则该商品的成本为（     ） A．88元 B．90元 C．92元 D．94元 3．（2023·江苏苏州·一模）“春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了 元． 4．（22-23七年级上·江苏·周测）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，其中成人票是每张8元，学生票是每张5元，筹得票款6950元．求成人票售出多少张． 【典型例题四 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）球赛积分表问题： 某次篮球联赛积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 东方 12 10 2 22 蓝天 12 10 2 22 雄鹰 12 9 3 21 远大 12 9 3 21 北极 12 7 5 19 卫星 12 4 8 16 钢铁 12 0 12 12 有以下判断： ①负一场积1分； ②胜一场积2分； ③如果一个队胜场，则该队的总积分为分； ④不可能有一个球队的胜场总积分等于它的负场总积分． 以上说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023七年级上·全国·专题练习）某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？ 1．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（   ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，可知胜一场积 分． 4．（22-23七年级上·江苏常州·期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？ 【典型例题五 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（　　） A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本 2．（22-23七年级上·江苏南通·期末）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住 6 人，那么有 6 人无房可住；如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房． (1)求该民宿有客房多少间，户外旅行者多少人？ (2)假设对民宿进行改造后，房间数大大增加．现每间客房收200元，且每间客房最多入住5人，一次性订房12间及以上(含 12 间)，房价按 8 折优惠，若这些户外旅行者再次一起入住，他们如何订房较合算？ 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 3．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用方程解决问题：元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．请问班长共买了多少颗糖果？ 【典型例题六 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）三个连续的偶数的和是，其中最大的偶数是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏常州·模拟预测）一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 1．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）小王编了一道数学谜题：，若等号左、右两边的“”内表示同一个数字，若设这个数字为x，则所列方程是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）把正整数1至2025按一定规律排列如图，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A．2021 B．2023 C．2024 D．2025 3．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把1，2，3，4，5，6这六个数分别填入“三角形”图案的六个圆圈中，使“三角形”图案每边上的三个数之和都相等（每个数字只能使用一次）．现在小明已填了1，3，6三个数，那么A处应填的数字为 ． 4． （23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数． 【典型例题七 几何问题(一元一次方程的应用) 】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，是数轴上三点，表示的数分别为，且点是线段的中点，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，就可以变成一个正方形，求这个长方形的长． 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一块矩形草坪的长比宽多10米，它的周长是132米，求宽所列的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）如图，周长为34的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为（    ）． A．49 B．68 C．70 D．74 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，点A，O，B分别表示，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为 秒． 4．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，把一块长为的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是，则长方形硬纸板的宽为多少？ 【典型例题八 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（    ）. A．2 B． C．4 D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)的长为 ； (2)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）电子跳蚤在数轴上的点处，第一步从向右跳1个单位到，第二步由向左跳2个单位到，第三步由向右跳3个单位到，第四步由向左跳4个单位到，…按以上规律跳了50步时电子跳蚤落在数轴上的点处，若所表示的数是-26.5，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是（    ） A．0 B．-1 C．-1.5 D．1.5 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若C是中点，则a的值为(   ) A． B． C． D．1 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）小峰在超市买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，A种饮料每瓶4元，如果设B种饮料每瓶x元，那么下面所列方程正确的是 （　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）金湖水域面积420.08平方千米，陆地面积是水域面积的2.3倍，陆地面积比水域面积多多少平方千米？ 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．若用方程描述其中数量之间的相等关系，设该小组共有x个人，则可得方程（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）为了对学生进行爱国主义教育，某初中组织七年级学生参观位于建湖县九龙口镇的车桥战役指挥所纪念馆．若租用35座客车x辆，则有6人没座位；若租用45座客车，则可少租1辆，且有1辆车空9个座位，问有多少名学生参加这次活动？根据题意列出方程，其中正确的是（　　） A．35x﹣6＝45x+9 B．35x﹣6＝45（x﹣1）+9 C．35x+6＝45x﹣9 D．35x+6＝45（x﹣1）﹣9 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某班数学兴趣小组的女生人数是全组人数的一半，如果增加2名女生，那么女生人数是全组人数的，设该小组原来女生人数是x人，则可列方程 ． 4．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，求这个课外活动小组的人数．（用一元一次方程解决问题） 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费______元； (2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费______元（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费元，则3月份用水量为______立方米； (4)若某户居民两个月共用水立方米（6月份用水量超过了立方米），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民两个月共交水费多少元？ 1．（2023七年级·广东·竞赛）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24七年级上·重庆·期末）某市实行水费的阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按2元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费30元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　） A．1.2x＝30 B．1.2×20+2（x﹣20）＝30 C．2x＝30 D．2×20+1.2（x﹣20）＝30 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ． 4．（22-23七年级上·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 户月用水量（） 收费标准（元/） 不超过 3.5 超过，但不超过的部分 5 超过的部分 7 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)设某户某月的用水量为，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示） (3)小红家6月份和7月份的用水量共50，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为______，______． 【典型例题十一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（2023·江苏苏州·二模）小明如果以5 km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6 km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为x km，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，骑行速度为，乙步行，行走速度为，当甲到达地时，乙距地还有， ?(先在横线上提出一个问题把题目补充完整，然后解答) 1．（2023·江苏连云港·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去B地．小刚骑自行车，小强步行，小刚的速度是小强的2倍．若小强比小刚早从A地出发，晚到达B地，则小强整个行程所用的时间为 ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． (1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 【典型例题十二 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 2．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 1．（23-24七年级上·广东江门·期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·北京海淀·阶段练习）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？ 【典型例题十三 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）小明一家外出旅游天，这天的日期之和是，小明回家的日期是（    ） A．号 B．号 C．号 D．号 2．（23-24七年级上·江苏·周测）下图是某月份的月历，由图回答下列问题：    (1)如果十字框框出的5个数的和为55，那么十字框中间的数是多少？ (2)十字框框出的5个数的和可以是110吗？ 1．（2024·江苏盐城·二模）在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41．这3个数的位置可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期中）把2022个正整数1，2，3，4，…，2022按如图方式列成一个表，用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（    ） A．192 B．190 C．188 D．186 3． （22-23七年级上·江苏·单元测试）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是 号． 4．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏南京·期中）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车辆，则根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 1．（2024·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为客人一起分银子，若每人分7两，则还剩4两；若每人分9两，则还差8两．问客人有几人？设客人共有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”若设牧童x人，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ． 4．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【典型例题十五 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如果吨货物用载重吨的汽车运输比用载重吨的汽车运输要多用辆汽车(汽车均装满)，那么列方程求货物的质量时，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）某书法社团中女生人数占这个社团人数的一半，如果再有8名女生加入，那么女生人数就占全团人数的．求这个书法社团的人数． 1．（2023·江苏苏州·二模）我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（    ） A．21钱 B．65钱 C．150钱 D．165钱 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）元旦节前夕，班主任为学生们准备了若干块糖果，若每人分4块，则多块，若每人分5 块，则还差8块．设班级有x人，根据题意列方程得 ． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串图形． （1）当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 　 　； （2）设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y． ①y与x的数量关系为y＝　 　（用含x的代数式表示）； ②若某个图形中长方形与三角形个数之和为28，求该图中长方形个数． 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）小淇在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是，则三个日期在日历中的排布不可能的是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）我国古代的数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有人共买物，人出七，盈二；人出六，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出7钱，则多了2钱；若每人出6钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（　　） A．7x﹣2＝6x+4 B．7x+2＝6x+4 C．7x﹣2＝6x﹣4 D．7x+2＝6x﹣4 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江苏宿迁·中考真题）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（   ） A．B． C． D． 7．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道关于洗碗的算术题，大意是：有一位妇人在河边洗碗，过路人问她家里来了多少客人？妇人回答说她只知道每2位客人合用一只饭碗，每3位客人合用一只汤碗，每4位客人合用一只肉碗，不多不少恰好用了65只碗．我们假设来了位客人，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏常州·期中）通常，一个成年人一天需喝水约．一滴水约，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约滴50滴水，这个水龙头一天的漏水量大约可以满足a个成年人一天的喝水量．则a的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，小芬同学在构造一个的乘积幻方，使得每行、每列、每条对角线上三个非零有理数的乘积都相等；现在她已经填入了1，，3三个数，则图中x的值是（   ） 3 x 1 A．4 B． C． D．12 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，设所搭小鱼的条数为，共用了182根火柴棒．由题意得，所列方程为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）把80kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米，可得方程为 ． 13．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）自编一个符合方程的实际情境： ． 14．（24-25七年级下·江苏常州·期末）据研究，初中生每天蛋白质推荐摄入量男生约为，女生约为．下表为部分食物每百克的蛋白质质量． 食物 大米 牛乳 牛肉 蛋白质/ 若某天小强食用牛乳，大米与牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，则这天他食用大米 ． 15．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，一根长为3个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，记木棒的左端对着数轴上的点A，右端对着数轴上的点B，点C对应的数是1，若点A到点C的距离是点B到点C距离的2倍，则点A对应的数为 ．    16． （24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数，点C表示数． (1)请在数轴上用圆规作出点B、点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)线段的中点为，若，求a的值． 19．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）妈妈从家出发步行去乘高铁，时，小明发现妈妈忘记带手机，立即骑车追赶．已知高铁站距家1400米，妈妈每分钟步行50米，小明每分钟骑行200米． (1)小明何时能追上妈妈？此时离家多远？ (2)小明在追上妈妈后，便以原来的速度返回家里，而妈妈也以原速继续朝着高铁站前进．通过计算说明，当妈妈抵达高铁站的时候，她是否能够收到小明已经安全到家的报平安信息呢？ 20．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 学科网（北京）股份有限公司 $$