精品解析：河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题

2024-2025学年第二学期高二期末调研考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章至第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过解不等式确定集合A，根据集合B的定义确定集合B；然后取交集即可. 【详解】解不等式可得集合. 已知，则，解得：. 故集合. 故. 故选：A. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.25 B. 0.45 C. 0.15 D. 0.35 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算即可. 【详解】由正态分布的对称性可知：. 故选：D 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 216 C. D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式的通项，即可求出展开式中的系数. 【详解】的通项为：， 当时，解得， 展开式中的系数为： ， 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数底数在0到1时的单调性，判断a，c，1之间的大小；在把b通过换底公式转化为自然对数计算，并比较其与1的大小，从而得出a，b，c的大小顺序. 【详解】已知，，则. 因为底数小于1时，指数越大，结果越小，因此， 即； 根据换底公式和函数单调性： 所以； 综上， 故选：C. 5. 某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】计算样本中心点，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，依题意只需使在上恒成立，参变分离后，求出正弦型函数的值域即得. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 因函数在上的值域为，故得. 故选：A. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 8. 若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据体积得到，然后表示出表面积，然后利用三元不等式计算. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高度为， 所以， ， 所以，即 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分布列的性质即可求进而判断A，计算数学期望即可判断B，利用数学期望的性质即可判断C，计算方差即可判断D. 【详解】由题意有，故A正确； 由，故B错误； ，故C正确； 由，故D错误； 故选：AC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的展开式的二项式系数之和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有1个零点 B. 当时，有4个零点 C. 可能有6个零点 D. 当的零点个数最多时，的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断. 【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图， 当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误； B：当时，设方程的解为，，易得，， 则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确. C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确. D：当时，设方程的解为，，，易得，，， 则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解， 当有个解时，则，即， 所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 【答案】0.66 【解析】 【分析】本题需要先确定“甲参加跑步比赛”和“甲参加跳绳比赛”构成一个完备事件组，接着使用全概率公式计算“甲获奖”的概率. 【详解】记事件表示 “甲参加跑步比赛”，事件表示 “甲参加跳绳比赛”， 事件表示 “甲获奖”，由题可知. 甲参加跑步比赛获奖的概率为，即在甲参加跑步比赛的条件下获奖的概率， 甲参加跳绳比赛获奖的概率为，即. 又跑步与跳绳不能同时参加，且， 所以，于是根据全概率公式： ， 所以甲获奖得概率为. 故答案为：. 13. 已知函数的极小值点为1，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据极值点的定义待定系数计算并验证即可. 【详解】易知， 由题意可知是其一个变号零点， 即或， 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极小值，符合题意； 综上. 故答案为：3 14. 在由数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三位数（数字可以重复）中，能被3整除的三位数的个数为______，能被3整除且不含数字0的三位数的个数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据能被3整除的条件将数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分为三类组成三个集合，利用能被3整除的条件分类讨论即可求解；同理将不含0的数字分三类组成集合，根据条件分类讨论即可求解. 【详解】将数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分为三类：第一类被3整除的集合，第二类被3整除余1的集合，第三类被3整除余2的集合， 第一种情况：在中选3个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 第二种情况：在中选3个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 第三种情况：在中选3个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 第四种情况：在中各取一个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数：不含0则有，含0则在各取一个数字则有， 根据分类加法计数原理共有：； 能被3整除且不含数字0，则中的数字除0外组成的集合为， 第一种情况：在中选3个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 第二种情况：在中选3个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 第三种情况：在中选3个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 第四种情况：在中各取一个数组成三位数（数字可以重复）能被3整除的三位数则有种情况， 根据分类加法计数原理共有. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高二学生的性别与身高是否大于165的关联性，现随机调查了某中学的80名高二学生，整理得到如下列联表： 男 女 合计 不低于165 30 25 55 低于165 10 15 25 合计 40 40 80 （1）依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于165有关联？ （2）从身高不低于165的55名学生中任选2人，求这2人性别不同的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）由的列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论；所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联. （2）根据题意，2人的性别不同，即2人中1男1女，结合组合数的公式和古典概率的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由的列联表中的数据，可得， 所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于有关联. 【小问2详解】 解：从身高不低于的55名学生中任选2人， 若2人的性别不同，即2人中1男1女，则这2人性别不同的概率. 16. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （2）若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； （3）若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】（1）144 （2）960 （3）4896 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 【小问1详解】 依题意，不同排法种数是. 【小问2详解】 甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. 【小问3详解】 7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 17. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； （2）若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算，然后计算； （2）利用导数讨论的范围判断函数的单调性，得到，然后计算即可. 【小问1详解】 ，，， 由题可知：，所以 【小问2详解】 函数的定义域均为， 由（1）可知：， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有最值； 当时，令，则；令令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增，有最小值. 因为有最小值，所以， 所以， ， 则 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． （1）若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】（1）或； （2）； （3） 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 【解析】 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可； （2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案； （3）对消费金额进行合理分段讨论即可. 【小问1详解】 甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. 【小问2详解】 设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． 【小问3详解】 ①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 19. 已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”． （1）请写出函数与的一个“关键点”的坐标（不需要证明）． （2）判断函数与是否存在“关键点”．若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 与不存在“关键点”，理由如下： 由题意得的值域为，的定义域为， ． 令，则，所以在上单调递增． 因为， 所以在上存在唯一零点，且． 当时，，在上单调递减，当时，， 在上单调递增，所以， 由，得，得，即， 所以，得． 又，所以不存在，使得，故与不存在“关键点”； （3） 设，则，得①，②， ①②得，①②得， 由，得，则， 得． 设，则， 设，则． 令函数，因为，所以在上单调递增． 由，得，得在上单调递增， 由，得在上单调递增， 所以，则． 故． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，找出符合要求的一个点即可得； （2）借助导数与零点的存在性定理可得的单调性，从而可得其最小值，结合的值域即可判断； （3）由题意可得，，化简计算有，再构造函数，结合导数研究其单调性即可得解. 【小问1详解】 设，则有， 故满足由的点都是与的一个“关键点”， 对，有，故点符合要求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二期末调研考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章至第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.25 B. 0.45 C. 0.15 D. 0.35 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 216 C. D. 96 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 6. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 8. 若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的展开式的二项式系数之和为 D. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有1个零点 B. 当时，有4个零点 C. 可能有6个零点 D. 当的零点个数最多时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 13. 已知函数的极小值点为1，则______． 14. 在由数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三位数（数字可以重复）中，能被3整除的三位数的个数为______，能被3整除且不含数字0的三位数的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高二学生的性别与身高是否大于165的关联性，现随机调查了某中学的80名高二学生，整理得到如下列联表： 男 女 合计 不低于165 30 25 55 低于165 10 15 25 合计 40 40 80 （1）依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于165有关联？ （2）从身高不低于165的55名学生中任选2人，求这2人性别不同的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （2）若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； （3）若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 17. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； （2）若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． （1）若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 19. 已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”． （1）请写出函数与的一个“关键点”的坐标（不需要证明）． （2）判断函数与是否存在“关键点”．若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $