精品解析：山东省德州市武城县五校联考2024-2025学年下学期第二次月考八年级数学试题

初二月考数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共12题，共48分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，，2 C. 6，8，10 D. 2，2， 3. 有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（ ） A. 单价和金额 B. 重量和金额 C. 重量和单价 D. 重量，单价和金额 5. 直线，下列说法不正确的是（ ） A. 点在l上 B. l与直线平行 C. y随x的增大而减小 D. l经过第二、三、四象限 6. 已知点和点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1 8. 如图，已知，用尺规进行如下操作： ①以点B为圆心，长为半径画弧； ②以点D为圆心，长为半径画弧； ③两弧在上方交于点C，连接，． 可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 9. 如图，已知四边形是正方形，E是延长线上一点，且，连接交于F，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．设移动时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11. 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）的函数关系图象如图所示，下列三种说法正确的是（ ） ①甲厂的制版费为1千元； ②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元／个； ③当印制证书8千个时，应选择乙厂，可节省费用500元． A. 只有① B. ①② C. ①③ D. ②③ 12. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共6题，共24分） 13. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________． 14. 如果与最简二次根式是同类二次根式，那么__________． 15. 如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是_____． 16. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 17. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则______． 18. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 21. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 22. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果为________． （2）利用上面所提供的解法，求的值． 23. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 24. 如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． （1）求m，b的值； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）求的面积． 25. 为振兴乡村经济，某公司计划和村民们合作，通过直播带货的方式来提高农产品销量．为此该公司准备从电脑专卖店采购一批用于直播的电脑，若采购2台型号电脑，3台型号电脑，则需34000元；若采购4台型号电脑，2台型号电脑，则需36000元． （1）求，两种型号电脑的单价； （2）该公司计划购进两种型号电脑共16台，设购买型电脑台，采购总费用为元，求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围） （3）在（2）条件下，要求购买型号电脑数量不少于购买型号电脑数量的，应购买、型号电脑各多少台，采购总费用最低？最低费用是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二月考数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共12题，共48分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，含有小数，不符合题意； D、，含有分母，不符合题意； 故选A． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，，2 C. 6，8，10 D. 2，2， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，凡是可构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A，0.3，0.4，0.5不是正整数，因此0.3，0.4，0.5不是勾股数； B， 不是正整数，因此1，，2不是勾股数； C，，因此6，8，10是勾股数； D，不是正整数，因此2，2，不是勾股数； 故选C． 3. 有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数． 故选：B 4. 小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（ ） A. 单价和金额 B. 重量和金额 C. 重量和单价 D. 重量，单价和金额 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实际生活中的变量，读懂题意，理解水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，即可得到答案，熟记数学概念在生活中的运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化， 其中的变量是重量和金额， 故选：B． 5. 直线，下列说法不正确的是（ ） A. 点在l上 B. l与直线平行 C. y随x的增大而减小 D. l经过第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象的平移问题，求出当时，，即可判断A；根据直线l与直线的一次项系数相同即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：A、在中，当时，，则点在l上，原说法正确，不符合题意； B、∵直线l与直线的一次项系数相同，则l与直线平行，原说法正确，不符合题意； C、∵ ， ∴y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； D、∵， ∴l经过第一、二、四象限，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 已知点和点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据k＞0，一次函数的函数值y随x的增大而增大解答． 【详解】解：∵k=2＞0， ∴函数值y随x的增大而增大， ∵-2＜1， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 7. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长．已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，已知，用尺规进行如下操作： ①以点B为圆心，长为半径画弧； ②以点D为圆心，长为半径画弧； ③两弧在上方交于点C，连接，． 可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：A． 9. 如图，已知四边形是正方形，E是延长线上一点，且，连接交于F，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形底角相等的性质，根据和是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．设移动时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理．根据矩形的性质可得，，从而得到，然后根据菱形的性质，可得，再在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即当四边形为菱形时，t的值为4． 故选：A 11. 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）的函数关系图象如图所示，下列三种说法正确的是（ ） ①甲厂的制版费为1千元； ②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元／个； ③当印制证书8千个时，应选择乙厂，可节省费用500元． A. 只有① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式等知识，①根据纵轴图象判断即可；②用2到6千个时的费用除以证件个数计算即可得解；③用待定系数法求出乙厂时的函数解析式，再求出时的函数值，再求出甲厂印制1个的费用，然后求出8千个的费用，比较即可得解． 【详解】解：①由图可知，甲厂的制版费为1千元，故①说法正确； ②（元/个）， 即当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.25元/个，故②说法错误； ③设乙厂时的函数解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，（千元）， 甲厂印制1千个证件的费用为：（千元）， 印制8千个的费用为（千元），（千元）（元）， 所以，选择乙厂节省费用，节省费用500元，故③说法正确； 故选：C． 12. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 二、填空题（共6题，共24分） 13. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑∶当函数表达式是整式时自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为当函数表达式是二次根式时被开方数非负根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可 【详解】解∶根据题意得 解得且 故答案为∶且 14. 如果与最简二次根式是同类二次根式，那么__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得，解方程即可求解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为： ． 15. 如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是_____． 【答案】##18米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，作出直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，由题意构造出直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，、， 在中，由勾股定理可得， 这棵大树在折断之前的高是， 故答案为：． 16. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象求方程的解． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：根据函数图象可知，一次函数经过， 即， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 17. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是化简绝对值，二次根式的性质，先判断，，再化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1 18. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 由勾股定理得，，证明四边形是矩形，如图，连接，则，当时，最小，即最小，由，可求，进而可得的最小值． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可； （2）先根据平方差公式计算，并把除法转化为乘法，再算乘法，后算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为5． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为36． 21. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 22. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果为________． （2）利用上面所提供的解法，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）先利用分母有理化化简各式，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，得出每一个分式化简的最后结果等于分母的有理化因式是解题的关键． 23. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 24. 如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． （1）求m，b的值； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 由题意得，点在的图象上， ， ； ， ，在直线上， ， ； 【小问2详解】 ， 由图象可知，若，则x的取值范围是； 【小问3详解】 ，当时，， ， ，当时，， ， ． 25. 为振兴乡村经济，某公司计划和村民们合作，通过直播带货的方式来提高农产品销量．为此该公司准备从电脑专卖店采购一批用于直播的电脑，若采购2台型号电脑，3台型号电脑，则需34000元；若采购4台型号电脑，2台型号电脑，则需36000元． （1）求，两种型号电脑的单价； （2）该公司计划购进两种型号电脑共16台，设购买型电脑台，采购总费用为元，求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围） （3）在（2）条件下，要求购买型号电脑数量不少于购买型号电脑数量的，应购买、型号电脑各多少台，采购总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）种型号电脑的单价为5000元，种型号电脑的单价为8000元 （2） （3）购买型号电脑12台，型号电脑4台，采购总费用最低，最低费用是92000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设种型号电脑的单价为元，种型号电脑的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）先求出购买型电脑台，再根据采购总费用型电脑的单价型电脑的数量型电脑的单价型电脑的数量即可得； （3）先求出的取值范围，再根据一次函数的增减性求解即可得． 【小问1详解】 解：设种型号电脑的单价为元，种型号电脑的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：种型号电脑的单价为5000元，种型号电脑的单价为8000元． 【小问2详解】 解：由题意得：购买型电脑台，型电脑台， 则， 答：与的函数解析式为． 【小问3详解】 解：∵在（2）条件下，要求购买型号电脑数量不少于购买型号电脑数量的， ∴， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：购买型号电脑12台，型号电脑4台，采购总费用最低，最低费用是92000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $