精品解析：福建省百校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

福建百校高二期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【详解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可. 【详解】由，得，可得. 故选：D. 3. 设随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得，即可得B正确. 【详解】根据可知正态曲线关于对称， 易知， 因此可得. 故选：B 4. 在等比数列中，若且，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到和公比，从而得到答案 【详解】由等比数列的性质可得，易知，故， 又，所以，故，可得. 故选：C. 5. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 6. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的减区间为，增区间为， 则依题意有，可得， 故选：C. 7. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 8. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种 【答案】D 【解析】 【分析】先涂3区域，然后涂1区域，然后涂5区域，进而分若1和5区域同色与不同色两种情况求解即可. 【详解】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法， 然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为； 若1和5区不同色，一共的涂法种数为. 故一共的涂色总数为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解. 【详解】设切点. 因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或. 故选：AD. 10. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ACD. 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由图可知，且经过，故可得， 由①，结合，则得，代入②，化简得，即， 由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即. 对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误； 对于C，因， 由，可得， 即的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由可得，设，因，则， 依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下： 由图知，需使，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合台体的体积公式可得，求导，利用导数求单调性和最值. 【详解】由题意可得：，解得， 因为圆台的体积为， 则，， 令，解得；令，解得； 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且当时，，所以圆台体积的最大值为. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，且，则______. 【答案】300 【解析】 【分析】由为奇数，则是偶数，是奇数，根据题意的递推关系式可得到，再利用等差数列前项和公式计算求解. 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ①， ②. 由得， 所以数列的奇数项是首项为，公差为3的等差数列， 故 . 故答案为：300. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理即可求得，由此即可得解； （2）由三角形面角公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， ， 又， ，即. 又，. 【小问2详解】 ，的面积为， ，即. 由余弦定理可得， 即， 又，. 的周长为. 16. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 17. 已知函数在取得极值为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求函数在区间上的值域. 【答案】（1），. （2） 当时，函数在区间上的值域为； 当时，函数在区间上的值域为； 当时，函数在区间上的值域为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）求导得，求得函数的单调区间，分和和三种情况可求解. 【小问1详解】 由，有， 解得，，故，. 【小问2详解】 由（1）有，， 令有或，可得函数的减区间为，增区间为，， 又由，，令可得或3， ①当时，，，函数在区间上的值域为. ②当时，，，函数在区间上的值域为. ③当时，，，函数在区间上的值域为. 综上所述：当时，函数在区间上的值域为； 当时，函数在区间上的值域为； 当时，函数在区间上的值域为. 18. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）； （3） 3 4 5 【解析】 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，即可求得； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式即可求得的最小值及相应的值； （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 【小问3详解】 由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 数学期望为：. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若函数有且仅有两个零点，，且，证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，的减区间为，增区间为. （2） （3）证明:由（1）知，当时，函数单调递增，最多只有一个零点，可得， 又由，，有， 要证：，只需要证， 只需要证：，只需要证：， 只需要证：， 令，上述不等式可化为， 只需证：， 令，有， 令，有， 可得函数单调递增，有， 可得函数单调递增，有（当且仅当时取等号）， 可得不等式成立，由上知. 【解析】 【分析】（1）利用导函数，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）结合（1）分，，三种情况求解可得实数a的取值范围； （3）由（1）可知，可得，只需证，需证，令，利用换元法证明即可. 【小问1详解】 由， ①当时，有，函数单调递增； ②当时，令，有，可得函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 ①当时，由，符合题意. ②当时，由，不合题意. ③当，若，有，可得， 由上知，若，则实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建百校高二期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 设随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 在等比数列中，若且，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 5. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 6. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 8. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 10. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为______. 14. 已知数列的前项和为，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 17. 已知函数在取得极值为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求函数在区间上的值域. 18. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若函数有且仅有两个零点，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $