精品解析： 广东省中山市华辰中学厚德班2024-2025学年八年级下学期3月数学试卷

2024-2025学年广东省中山市华辰厚德班初二下3月试卷 一、单选题 1. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内． 由的半径为，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在圆内， 故选：C． 2. 如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出，再根据两点间的距离公式求出点在数轴上表示的数即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为：； 故选：A． 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 当时，y有最大值为 D. 它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A．反比例函数，，该函数图像的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，故本选项正确； B．当时，，当时，，当时，，故本选项正确； C．反比例函数，，该函数图像的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，当时，，当时，，故本选项错误； D．反比例函数，，该函数图像的两个分支位于一、三象限，故本选项正确； 故选：C． 4. 如图，量角器外缘上有，，三点，且，两点所表示的读数分别是，，则应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．由已知条件可得出，，再根据角的和差关系即可得出，最后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如下图：，两点所表示的读数分别是，， ∴，， ∴， ∵， ∴ 故选：A 5. 如图，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选：C． 6. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较反比例函数值，先分别求出的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在反比例函数的图象上有三个点，，， ，，， ， ． 故选：C． 7. 编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：A． 8. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 9. 如图，矩形对角线的交点M在x轴上，边平行于x轴，，，反比例函数经过点B、反比例函数经过D两点，则k的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．连接，根据矩形的性质证明，得到，再结合已知条件，得到，进而得出，求出，即可求出k的值． 【详解】解：如图，连接， 矩形对角线的交点M在x轴上， ，，， 又， ， 边平行于x轴， ， ， 和是和的高， ， ， ， ， ， ， 反比例函数经过点B、D两点， ， ， ， 故选：B． 10. 规定：若两个函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．下列四个函数中，与二次函数互为“兄弟函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在新定义下的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．画出函数图象，由函数图象及“兄弟点”的定义即可得到答案． 【详解】解：如图： ， 由图可知，与二次函数有3个交点的是， 故选：C． 二、填空题 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__. 【答案】k>2 【解析】 【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答． 【详解】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限， ∴2-k＜0， ∴k＞2． 故答案为k＞2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键． 12. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴（米）， ∵圆心到水面的距离为4米， ∴（米）， ∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米， 故答案为：1． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）图象的都经过，，结合图象，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点，函数图象与不等式，熟练利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象（为常数且）上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由， 得， 由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是：或， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 14. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为____米．（提示：黄金分割比） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割比，即可求解． 【详解】解：汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长约为5米， （米）， （米）， 车头与后视镜的水平距离约为米， 故答案为：． 15. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 16. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 【答案】3或4.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 三、解答题 17. 已知，求下列算式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值． 设，则，，把a、b的值代入（1）、（2）分式式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设则，， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∴． 18. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1） 解：如图1所示： （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心； （2）在中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径的长． 【小问1详解】 解：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆； 【小问2详解】 连接，如图2所示： 设， ∵，， ∴， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 答：圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键． 19. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若CF的长为1，求CE的长． 【答案】（1）证明：∵EF⊥AE， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF； （2）CE=2 【解析】 【分析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF； （2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABE∽ECF， ∴， ∴， 解得CE=2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法． 20. 《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：已知，，，点B，D，E，G在同一水平线上，米，米，米， ∴， 由平面镜反射可知，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴飞虹塔的高度为米． 21. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 【答案】（1）第30分钟学生的注意力更集中； （2）能， 令，则， ∴． 令，则， ∴． ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【解析】 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 设线段所在直线的解析式为， 把代入得, ∴， ∴， 设，所在双曲线的解析式为， 把代入得， ∴． 当时，； 当时，． ∴． ∴第30分钟学生的注意力更集中； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 22. 小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接 （1）求值； （2）计算图形阴影部分面积之和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积． （1）直接将点代入解析式求值即可； （2）利用分割法得到，求解即可． 正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数图象上， ； 【小问2详解】 连接交于点． ∵四边形是菱形 ∴与相互垂直平分,， ∴，， ∴是等边三角形 ， 又 ． 23. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 【解析】 【分析】 【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴即， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时，， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用． 24. 操作：小明准备制作棱长为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 说明： 方案一：图形中的圆过点、、； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点. 纸片的利用率. 发现： （1）方案一中的点、恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由. （2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率小于.请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程. 探究： （3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率（精确到）. 说明：方案三中三角形的每条边均过其中两个正方形的顶点. 【答案】（1）小明的这个发现正确；（2）16；（3）约 【解析】 【分析】（1）连接AC、BC、AB，由，，根据勾股定理的逆定理，即可求得，又由90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得AB为该圆的直径； （2）首先证得△ADE≌△EHF与△ADE∽△ACB，即可求得AD与BC的长，求得△ABC的面积，即可求得该方案纸片利用率； （3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案． 【详解】解：发现：（1）小明的这个发现正确，理由如下： 如图2：连结、、. ∵，， ∴， ∴， ∴为该圆的直径. （2）如图4：∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴方案二纸片利用率. （3）约为. 如图5，过点作于，过点作，交于点，过点作于.设，易得，，，、均为等腰三角形，， ∴， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴，解得，则，，，，则. 由，可得，解得. ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，. ∴方案三纸片利用率. 【点睛】此题属于圆的综合题，考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省中山市华辰厚德班初二下3月试卷 一、单选题 1. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 2. 如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 当时，y有最大值为 D. 它的图象位于第一、三象限 4. 如图，量角器外缘上有，，三点，且，两点所表示的读数分别是，，则应为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 8. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形对角线的交点M在x轴上，边平行于x轴，，，反比例函数经过点B、反比例函数经过D两点，则k的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 规定：若两个函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．下列四个函数中，与二次函数互为“兄弟函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__. 12. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）图象的都经过，，结合图象，则不等式的解集是__________． 14. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为____米．（提示：黄金分割比） 15. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 16. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 三、解答题 17. 已知，求下列算式的值： （1）； （2）． 18. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 19. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若CF的长为1，求CE的长． 20. 《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 21. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 22. 小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接 （1）求值； （2）计算图形阴影部分面积之和． 23. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 24. 操作：小明准备制作棱长为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 说明： 方案一：图形中的圆过点、、； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点. 纸片的利用率. 发现： （1）方案一中的点、恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由. （2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率小于.请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程. 探究： （3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率（精确到）. 说明：方案三中三角形的每条边均过其中两个正方形的顶点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $