精品解析：贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县印江思源验中学 沙子坡中学2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

贵州省印江自治县第二集团校5月月考试卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时长为120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是无理数，不符合题意； B. 是有理数，不是无理数，不符合题意； C. 不是无理数，不符合题意； D. 是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的左视图．熟练掌握从左边看到的是左视图，看得到的是实线，看不到的是虚线是解题的关键． 根据从左边看到的是左视图进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，该几何体的左视图如下； 故选：C． 3. 数据显示，随着访问使用量急速上升，在2月1日DeepSeek已经成为目前最快突破3000万日活跃用户量的应用程序．将数据3000万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵万， 故选：C． 4. 如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，理解题意，结合图形求解是解题关键． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此求解即可． 【详解】解：由题图可知，， ， 点到直线的距离是线段的长度． 故选：B 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算， 本选项错误； B. ， 本选项错误； C. ， 本选项正确； D. ， 本选项错误； 故选：C． 6. 传统版本俄罗斯方块的游戏区域为10列行的正方形网格布局，如图是小红玩俄罗斯方块某一时刻的截图，小红需要将刷新的方块进行左右平移，使方块自由落下时，顶点A与已经垒起来的方块缺口顶点重合，从而消除方块获得积分，她的操作应该是（ ） A. 向左平移4个格子 B. 向左平移3个格子 C. 向左平移2个格子 D. 向左平移1个格子 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移应用——俄罗斯方块．熟练掌握平移方向和平移距离，是解题的关键． 根据点A向左平移2格即在点B的上方解答． 【详解】解：需要将刷新的方块向左平移2个格子，方块自由落下时，顶点A与已经垒起来的方块缺口顶点重合． 故选：C． 7. 关于的一元一次不等式的解集为，则的值可能是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解集方向变化确定系数符号，结合选项验证符合条件的值． 本题考查了不等式的性质，解不等式，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：元一次不等式的解集为， 故，即， 故选：D． 8. 某校准备组织七年级500名学生进行研学实践活动，随机抽取其中50名学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（其中分别代表贵州交通红色教育基地、中共贵州省工委旧址、麒麟洞、达德学校旧址），估计该校七年级愿意去“贵州交通红色教育基地”的学生人数为（ ） A. 200人 B. 180人 C. 160人 D. 140人 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本估计总体的思想计算解答即可． 本题考查了样本估计总体，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：由统计图可知，这50名学生中愿意去“贵州交通红色教育基地”的人数为20人，估计该校七年级愿意去“贵州交通红色教育基地”的学生人数为200人． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可知，根据垂直定义可知，根据直角三角形两锐角互余，可得：，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得，利用勾股定理可以求出． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，． 故选：B． 10. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据交点坐标为，分别代入两个解析式，构造等式，变形计算即可． 本题考查了直线的交点坐标，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 故， 故， ， 故选：D． 11. 如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴为直线，点在抛物线上，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称轴确定点B的位置及点C的对称点，结合抛物线的开口方向，利用时结合图象求解． 【详解】解：该抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 当点在二次函数图象的对称轴右侧，即时，； 当点在二次函数图象的对称轴左侧，即时， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴对称的点的坐标为． ，综上所述，或， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 14. 如图所示的正五边形的每个顶点为一个花坛，已知花坛分别种植了凌霄、三角梅，在花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且不重复），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，由于花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，则列举、、种植凤仙花、木槿、月季的可能结果，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：三个花坛种植花卉的等可能结果有6种，按顺序分别为 ①凤仙花、木槿、月季； ②风仙花、月季、木槿； ③木槿、凤仙花、月季； ④木槿、月季、凤仙花； ⑤月季、凤仙花、木槿； ⑥月季、木槿、风仙花． 其中凤仙花与木槿两种花卉相邻的结果共有4种， （凤仙花与木槿两种花卉相邻）． 故答案为：． 15. 明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，能制成个笔套， 根据题意可列方程为． 故答案为： ． 16. 如图，在等腰中，是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，解直角三角形；延长至点，使，连接，根据旋转以及等腰直角三角形的性质证明，进而得出，证明是的中位线，解得出，进而根据中位线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ， 为等腰直角三角形，， 又， 旋转得到， ， ， ， ∴ ∴ ∴， 是的中位线， ，， 在中，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）下面是小星进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 任务1：化简步骤中，小星的过程第__________步开始出现错误，错误的原因是_____________________； 任务2：请写出该分式正确的化简过程． 【答案】（1）； （2）任务1：二，完全平方公式用错， 任务2： ． 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，分式的混合运算，熟记运算法则并灵活应用是解本题的关键． （1）根据零指数幂，绝对值和负整数指数幂计算即可； （2）任务1：根据完全平方公式因式分解可得第二步出错； 任务2：根据分式的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）任务1：化简步骤中，小星的过程第二步开始出现错误，错误的原因是完全平方公式用错； 故答案为：二；完全平方公式用错； 任务2：略 18. 某航模专卖店为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两款热销的航模玩具．下面是该专卖店店员小星与小红的对话： 小星：款航模的进价比款航模的进价贵元． 小红：花费元购进款航模的数量比花费元购进款航模数量少． 若设款航模玩具的进价为元，解答下列问题： （1）款航模玩具的进价为_______元（用含的式子表示）； （2）求两款航模玩具的进价． 【答案】（1） （2）款航模玩具的进价为110元，款航模玩具的进价为80元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据题意了“款航模的进价比款航模的进价贵30元”，即可求解． （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【小问1详解】 解：设款航模玩具的进价为元，依题意，款航模玩具的进价为元； 故答案为：． 【小问2详解】 由题意得．解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际，则（元）， 答：款航模玩具的进价为110元，款航模玩具的进价为80元． 19. 【项目背景】 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力．通过科学分析，为优化种植方案提供依据． 【数据收集与整理】 从两种小麦试验田中各随机抽取株麦苗，测量苗高（单位：），具体数据如下： 甲种小麦苗高：，，，，，，，，，，，，，，， 乙种小麦苗高：，，，，，，，，，，，，，，， 将数据分组整理如下： 表1 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 表2 统计量 甲种小麦 乙种小麦 平均数 中位数 众数 方差 【任务要求】 任务1：基础统计量计算 计算：__________，__________；__________； 任务2：统计结论验证 基于数据验证以下结论的正确性（填写正确的结论序号）__________； ①抽取的甲种小麦的苗高有一半超过； ②抽取的两种小麦的苗高最大值差异显著． 任务3：种植决策建议 结合以下要求，给出种植建议并说明理由： 稳定性优先：选择方差更小的品种；产量潜力；选择优质麦苗占比更高的品种． 【答案】任务1：12.5，11.5，15；任务2：①；任务3：建议选择甲种小麦 【解析】 【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、用样本估计总体、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任务1：根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； 任务2：根据中位数的意义和用样本估计总体即可得出结论； 任务3：比较两种小麦的稳定性和产量潜力即可得出结论． 【详解】解：任务1：乙种小麦苗高的平均数 ， ， 将甲种小麦苗高从小到大顺序排列，中位数为第8位和第9位的平均数， ， 由数据得，乙种小麦苗高的众数为， ， 综上所述，，，． 故答案为：；；． 任务2： 甲种小麦苗高的中位数为， 抽取的甲种小麦的苗高有一半超过，故①正确； 甲种小麦苗高最大值为，乙种小麦苗高最大值为， 抽取的两种小麦的苗高最大值差异不显著，故②错误； 基于数据结论正确的有①． 故答案为：①． 任务3：建议选择甲种小麦 理由：甲种小麦苗高的方差约为7.609，乙种小麦苗高的方差为10， 对于稳定性优先应选择方差更小的甲种小麦． 甲种小麦优质麦苗频数为11，比例为，乙种小麦优质麦苗颗数为9，比例为． 对于产量潜力应选择优质变苗占比更高的甲种小变，故建议选择甲种小变进行种植． 20. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，平分， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； （1）根据菱形的性质得出，平分，进而证明得出四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，即可得证； （2）根据已知证明，根据，设，则，根据勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ， 平分， ， 又， ， ， 在中，， 设，则． 在菱形中，． ， 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）， ， ． 21. 在客厅的天花板边缘安装灯带，可以配合主灯创造出柔和而均匀的光线，使空间显得更加宽敞明亮．如图，在安装之前需要测量安装长度，将平面镜放置在地面处，使沿天花板边缘射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的端点，从处测得的仰角为，移动平面镜到达点处，使沿天花板边缘射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的另一端点，从处测得的仰角为，已知天花板距地面的高度为． （1）求平面镜从处移动到处的距离； （2）求灯带的安装长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作直线的垂线，垂足为，解直角三角形求出，即可解答； （2）由平面镜反射可得，均为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得，，，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：如解图，过点作直线的垂线，垂足为， 在中，， ， 在中，， ∴， ， 答：平面镜从处移动到处的距离为； 【小问2详解】 由平面镜反射可得，均为等腰三角形， 由（1）得， 根据等腰三角形三线合一性质可得，， 将线段平移至与重合、与重合 ． 答：灯带的安装长度为． 22. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为点，连接．已知的面积为6． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）点是轴负半轴上一点，平分，现有条件： ①过点作轴的垂线，交于点； ②点在上（不与点重合），点在轴负半轴上，连接，且．请从①②中任选一个作为已知条件，求出点的横坐标． 【答案】（1）， （2）①选条件①，点的横坐标为；②选条件②，点的横坐标为． 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解决问题的关键． （1）由的面积为6，结合k的几何意义可得反比例函数的解析式，再由A的横坐标可得A的纵坐标； （2）选条件①：如解图①，设与轴的交点为，由轴，可知轴，故，根据角平分线的定义可得，因此，根据等腰三角形的性质得，结合即可求出答案． 选条件②：如解图②，连接交轴于点，由勾股定理得，根据已知，可得，由角平分线的定义可得，因此，再证明四边形是平行四边形，故轴，，利用即可求出答案． 【小问1详解】 解： 的面积为轴， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ，解得， ； 【小问2详解】 选条件①： 如解图①，设与轴的交点为， ， ， 轴， 轴，， ， 平分， ， ． ， ． 点的横坐标为． 或选条件②： 如解图②，连接交轴于点， ． ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 轴，， ， ， 点的横坐标为． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接，过点作的切线，交于点，交的延长线于点． （1）写出图中一条与相等的线段：__________； （2）连接，求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 或 （2） 证明：连接如图， ， ． ， ， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，得出根据等腰三角形三线合一可得，，进而得出， （2）根据得出，根据得出，进而可得，即可证明； （3）先证明，可得进而得出，，由可得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 或；（任填一个即可） 如解图，连接 是的直径， ，即 根据等腰三角形三线合一可得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如解图， 是的切线， ． 由（2）知， ， ． ， ． 是的直径， ， ． ， ， ， ，即， ， ， ， 由可得， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的性质与判定，正切的定义，圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和圆周角定理及其推论是解题的关键． 24. 背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为 ，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为 ，喷水口的竖直高度为 ，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为； 任务2： ； 任务3：，所设计的喷泉比较美观． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为 ； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 25. 综合与探究：如图，在正方形中，连接，点是边上一动点． （1）【操作判断】 如图①，过点作交于点，交与点，根据题意在图①中画出，图中的度数为__________度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，在图②中取的中点，连接，探究与的数量和位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，在图③中延长交于点，连接，若点是的三等分点，，求线段的长． 【答案】（1） 画出图形如解图①； （2） ，理由： 如解图②，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形，且， ，和均是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ． ， ，即， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意作，则；根据正方形的性质可得，，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）连接，证明得出，进而可得，即可得证； （3）如解图③，连接，将绕点顺时针旋转得到，则三点共线， 根据和的度数，考虑通过旋转构造全等三角形转化线段，由旋转将转化为，，故需证，证明即可得出，则；线段的三等分点有两个，故需分两种情况讨论，①当时，②当时，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，则, 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如解图③，连接，将绕点顺时针旋转得到，则三点共线， ，，， 由（2）知， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 线段的三等分点有两个，故需分两种情况讨论 ①当时， ， ，设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即， ， 在正方形中，， ． ， ， 解得； ②当时，则， ， 设，则，， 在中，由勾股定理，得； 解得，即， ， ， ， ， ， 解得． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了作平行线，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省印江自治县第二集团校5月月考试卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时长为120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 数据显示，随着访问使用量急速上升，在2月1日DeepSeek已经成为目前最快突破3000万日活跃用户量的应用程序．将数据3000万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，直线过点，点都在格点处，则点到直线的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 传统版本俄罗斯方块的游戏区域为10列行的正方形网格布局，如图是小红玩俄罗斯方块某一时刻的截图，小红需要将刷新的方块进行左右平移，使方块自由落下时，顶点A与已经垒起来的方块缺口顶点重合，从而消除方块获得积分，她的操作应该是（ ） A. 向左平移4个格子 B. 向左平移3个格子 C. 向左平移2个格子 D. 向左平移1个格子 7. 关于的一元一次不等式的解集为，则的值可能是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 0 8. 某校准备组织七年级500名学生进行研学实践活动，随机抽取其中50名学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（其中分别代表贵州交通红色教育基地、中共贵州省工委旧址、麒麟洞、达德学校旧址），估计该校七年级愿意去“贵州交通红色教育基地”的学生人数为（ ） A. 200人 B. 180人 C. 160人 D. 140人 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴为直线，点在抛物线上，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 因式分解：______． 14. 如图所示的正五边形的每个顶点为一个花坛，已知花坛分别种植了凌霄、三角梅，在花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且不重复），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是__________． 15. 明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为__________． 16. 如图，在等腰中，是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长度为__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）下面是小星进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 任务1：化简步骤中，小星的过程第__________步开始出现错误，错误的原因是_____________________； 任务2：请写出该分式正确的化简过程． 18. 某航模专卖店为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两款热销的航模玩具．下面是该专卖店店员小星与小红的对话： 小星：款航模的进价比款航模的进价贵元． 小红：花费元购进款航模的数量比花费元购进款航模数量少． 若设款航模玩具的进价为元，解答下列问题： （1）款航模玩具的进价为_______元（用含的式子表示）； （2）求两款航模玩具的进价． 19. 【项目背景】 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力．通过科学分析，为优化种植方案提供依据． 【数据收集与整理】 从两种小麦试验田中各随机抽取株麦苗，测量苗高（单位：），具体数据如下： 甲种小麦苗高：，，，，，，，，，，，，，，， 乙种小麦苗高：，，，，，，，，，，，，，，， 将数据分组整理如下： 表1 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 表2 统计量 甲种小麦 乙种小麦 平均数 中位数 众数 方差 【任务要求】 任务1：基础统计量计算 计算：__________，__________；__________； 任务2：统计结论验证 基于数据验证以下结论的正确性（填写正确的结论序号）__________； ①抽取的甲种小麦的苗高有一半超过； ②抽取的两种小麦的苗高最大值差异显著． 任务3：种植决策建议 结合以下要求，给出种植建议并说明理由： 稳定性优先：选择方差更小的品种；产量潜力；选择优质麦苗占比更高的品种． 20. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 21. 在客厅的天花板边缘安装灯带，可以配合主灯创造出柔和而均匀的光线，使空间显得更加宽敞明亮．如图，在安装之前需要测量安装长度，将平面镜放置在地面处，使沿天花板边缘射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的端点，从处测得的仰角为，移动平面镜到达点处，使沿天花板边缘射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的另一端点，从处测得的仰角为，已知天花板距地面的高度为． （1）求平面镜从处移动到处的距离； （2）求灯带的安装长度． 22. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为点，连接．已知的面积为6． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）点是轴负半轴上一点，平分，现有条件： ①过点作轴的垂线，交于点； ②点在上（不与点重合），点在轴负半轴上，连接，且．请从①②中任选一个作为已知条件，求出点的横坐标． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接，过点作的切线，交于点，交的延长线于点． （1）写出图中一条与相等的线段：__________； （2）连接，求证：； （3）若，求的长． 24. 背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为 ，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为 ，喷水口的竖直高度为 ，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 25. 综合与探究：如图，在正方形中，连接，点是边上一动点． （1）【操作判断】 如图①，过点作交于点，交与点，根据题意在图①中画出，图中的度数为__________度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，在图②中取的中点，连接，探究与的数量和位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，在图③中延长交于点，连接，若点是的三等分点，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $