湖南省永州市宁远一中崇德学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

宁远一中崇德学校2025年7月高一期末考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若幂函数的图像经过点，则当时的函数值为（ ） A．16 B．2 C． D． 2．计算（ ） A．8 B．6 C．－8 D．－6 3．函数的图象（ ） A．关于原点成中心对称 B．关于y轴对称 C．既关于原点成中心对称又关于y轴对称 D．既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称 4．下列命题是真命题的是（ ） A．函数在上是减函数最大值为 B．函数在是增函数，最小值为 C．函数在区间先减再增，最小值为0 D．函数在区间先减再增，最大值为0 5．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D．如果，那么 6．年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7,若的内角A满足，则（ ） A． B． C． D． 8,已知函数，则下列说法错误的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图像的一个对称中心 D． 2、 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9．已知函数，则（ ） A． B． C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点 10．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A．不等式的解集不可能为． B．不等式的解集可能为或． C．存在实数，使得不等式的解集为闭区间的形式． D．存在唯一一对实数对，使得不等式的解集为． 11．若函数的部分图象如图，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在区间上有2个零点 B．为的一个对称中心 C． D．要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，，则______． 13．已知，其中是常数，且，若，则___________. 14．里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________ 倍． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知是第二象限角，试判断的符号． （2）若，则为第几象限角？ 16．已知函数f（x）＝ax+（a＞1）. （1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）. 17，在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值. 18.（1）已知向量，，若，求的最小值. （2），，与的夹角为，求的最小值 19， 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3， （1） 求sin∠PAC=　　　　　； （2）若AC∶AB∶BC=6∶5∶4，则PA+PB+PC的值为　　　　　　.  答案 1．若幂函数的图像经过点，则当时的函数值为（ ） A．16 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 由题知：，解得，即， 当时，. 故选：D 2．计算（ ） A．8 B．6 C．－8 D．－6 【答案】C 【解析】 , 故选：C. 3．函数的图象（ ） A．关于原点成中心对称 B．关于y轴对称 C．既关于原点成中心对称又关于y轴对称 D．既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称 【答案】A 【解析】 设， 由题得，所以函数的定义域关于原点对称. 所以， 所以. 所以，，所以函数是奇函数. 所以其图象关于原点成中心对称，不关于轴成轴对称. 故选：A 4．下列命题是真命题的是（ ） A．函数在上是减函数最大值为 B．函数在是增函数，最小值为 C．函数在区间先减再增，最小值为0 D．函数在区间先减再增，最大值为0 【答案】D 【解析】 选项A，由一次函数的单调性知，在上是减函数，最大值为，故A错误； 选项B，由反比例函数的单调性可知，在是增函数，最小值为，故B错误； 选项C，函数为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单增，在单减，先增再减，故C错误； 选项D，函数为开口向上的二次函数，对称轴为，故在单减，在单增，先减再增，最大值为，故D正确 故选：D 5．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D．如果，那么 【答案】C 【解析】 ABD选项是不等式的性质. 对于C选项，设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，个小正方形的面积之和为， 由图可知，当且仅当时等号成立. 故选：C 6．年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件. 故选：B. 7,若的内角A满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵sinA•cosA0，又A为的内角， ∴sinA＞0，cosA＞0， ∴（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA， 则sinA+cosA. 故选：A 8,已知函数，则下列说法错误的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图像的一个对称中心 D． 【答案】D 【解析】 因为， 所以函数的最小正周期，故A正确. 由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确. 由，， 得，， 当时，， 所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确. 因为， ， 所以，故D不正确. 故选：D. 4、 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9．已知函数，则（ ） A． B． C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点 【答案】AD 【解析】 令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误. ，所以在上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确. 故选：AD 10．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A．不等式的解集不可能为． B．不等式的解集可能为或． C．存在实数，使得不等式的解集为闭区间的形式． D．存在唯一一对实数对，使得不等式的解集为． 【答案】CD 【解析】 ，当时，解集为，A错误； 若不等式的解集可能为或， 根据二次不等式解与系数的关系，需满足，，不成立，故B错误； 取，，得到，解得，C正确； 和的解都关于对称， 故只能是恒成立，，的解集为， 故，解得或（舍去），D正确； 故选：CD. 11．若函数的部分图象如图，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B ∵由题中图象可知.∴.∴.∴.故选B. 10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在区间上有2个零点 B．为的一个对称中心 C． D．要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 【答案】AB 【解析】 解：， A:令，解得，令， 解得，则，故函数在上有2个零点，故A正确； B:令，解得，所以为的一个对称中心,故B正确； C:等价于直线是函数f(x)的图象的对称轴，，∴不是f(x)的图象的对称轴，∴C不正确； D:向左平移个单位长度得， 横坐标缩短为原来的可得，故D不正确； 故选:AB. 5、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 ， ， 所以， 故答案为：. 13．已知，其中是常数，且，若，则___________. 【答案】 【解析】 设，函数的定义域为关于原点对称. 因为， 所以函数是奇函数， 所以， . 故答案为： 14．里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________ 倍． 【答案】6，10000 根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001， 则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102， ∴． 故答案耿：6，10000． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知是第二象限角，试判断的符号． （2）若，则为第几象限角？ 【答案】（1）；（2）为第二、三象限角或角终边在x轴的非正半轴上． 【解析】 （1）∵是第二象限， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴， 故要使，则必有． ∴，即为第二、三象限角或角终边在x轴的非正半轴上． 16．已知函数f（x）＝ax+（a＞1）. （1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）. 【答案】（1）证明见解析；（2）0.312 5. 【解析】 证明：（1）设 ∴， ∵，∴ ∴＜0； ∵，且a＞1，∴，∴， ∴，即， ∴函数在上为增函数； （2）由（1）知，当a＝3时，在上为增函数， 故在上也单调递增，由于，因此的正根仅有一个， 以下用二分法求这一正根，由于 ， ∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点 中点函数值 （0，1） 0.5 0.732 （0，0.5） 0.25 ﹣0.084 （0.25，0.5） 0.375 0.322 （0.25，0.375） 0.312 5 0.124 由于|0.312 5﹣0.25|＝0.062 5＜0.1， ∴原方程的近似解可取为0.312 5. 17，在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值. 【答案】答案见解析. 【解析】选择条件①，，， ，， 选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，. 18.（1）已知向量，，若，求的最小值. （2），，与的夹角为，求的最小值 解析：（1）， 则， 当时，取得最小值. （2）2 19，某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3， （2） 求sin∠PAC=　　　　　； （2）若AC∶AB∶BC=6∶5∶4，则PA+PB+PC的值为　　　　　　.  答案　　 解析　设外接圆半径为R，则R=2， 由正弦定理，可知==2R=4， 即sin∠ACB=， 由于∠ACB是锐角，故cos∠ACB=， 又由题意可知P为△ABC的垂心，即AP⊥BC，故∠PAC=-∠ACB， 所以sin∠PAC=cos∠ACB=； 设∠CAB=θ，∠CBA=α，∠ACB=β， 则∠PAC=-β，∠PCA=-θ， ∠PAB=-α， 由于AC∶AB∶BC=6∶5∶4，不妨假设AC=6，AB=5，BC=4， 由余弦定理知cos θ==， cos α==， cos β==， 设AD，CE，BF为三角形的三条高，由于∠ECB+∠EBC=， ∠PCD+∠CPD=， 故∠EBC=∠CPD， 则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC， 所以= ===2R=4， 同理可得===2R=4， 所以PA+PB+PC=4(cos θ+cos α+cos β)=4×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$