专题2.4 直线的交点坐标与距离公式（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.4 直线的交点坐标与距离公式（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的交点坐标】 2 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 2 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 3 【题型4 由直线交点的个数求参数】 3 【题型5 三线能围成三角形的问题】 4 【题型6 直线交点系方程及应用】 5 【题型7 两点间的距离公式的应用】 6 【题型8 点到直线的距离公式的应用】 7 【题型9 两条平行直线间的距离公式的应用】 7 【题型10 与距离有关的最值问题】 7 知识点1 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）两条直线：与：的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）直线经过两直线，的交点，且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【题型4 由直线交点的个数求参数】 【例4】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式4-2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【题型5 三线能围成三角形的问题】 【例5】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【变式5-3】（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【题型6 直线交点系方程及应用】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式6-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【变式6-3】（2025高二上·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 知识点2 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型7 两点间的距离公式的应用】 【例7】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知经过与两点的直线的斜率为，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-3】（24-25高二下·全国·课后作业）三角形的两个顶点为，则的长为（ ） A．3 B．5 C．9 D．25 【题型8 点到直线的距离公式的应用】 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 【变式8-2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·吉林·阶段练习）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【题型9 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例9】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两条平行直线，则和间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两直线，之间的距离等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式9-2】（24-25高二上·山东东营·阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【变式9-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【题型10 与距离有关的最值问题】 【例10】（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【变式10-1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【变式10-2】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 直线的交点坐标与距离公式（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的交点坐标】 2 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 3 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 5 【题型4 由直线交点的个数求参数】 6 【题型5 三线能围成三角形的问题】 8 【题型6 直线交点系方程及应用】 11 【题型7 两点间的距离公式的应用】 14 【题型8 点到直线的距离公式的应用】 15 【题型9 两条平行直线间的距离公式的应用】 16 【题型10 与距离有关的最值问题】 17 知识点1 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解二元一次方程组即得交点坐标. 【解答过程】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）两条直线：与：的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立两直线的方程，解方程组即可求解. 【解答过程】因为直线：，直线：， 由，解得：， 所以与两条直线的交点坐标为， 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标. 【解答过程】易知直线的斜率为， 由两直线垂直条件得直线的斜率，解得； 联立，解得； 即交点为 故选：C. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【解答过程】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交点坐标以及直线的方向向量可求得结果. 【解答过程】已知直线经过两条直线的交点， 则，解得，故交点坐标为， 因为的一个方向向量为， 所以直线方程为，即， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）直线经过两直线，的交点，且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出两直线，的交点，再结合直线与直线垂直即可由点斜式得解. 【解答过程】联立， 所以两直线，的交点为， 所以直线经过点，又由题直线与直线垂直， 所以直线的方程为即. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程. 【解答过程】联立，即； 联立，即； 故直线的方程为，即． 故选：C. 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【解答过程】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【解答过程】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【解题思路】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C. 【题型4 由直线交点的个数求参数】 【例4】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【解答过程】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【解题思路】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【解答过程】由， 得：，即有一个交点， 或； 即或，解得：或. 【题型5 三线能围成三角形的问题】 【例5】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果. 【解答过程】由解得，即直线与的交点为， 因为直线，，不能构成三角形， 所以过点，或分别与、平行， 若过点，则，即； 若，则，即； 若，则，所以. 综上，的可能取值为. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【答案】或或 【解题思路】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值. 【解答过程】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 【变式5-3】（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解答过程】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，不能构成三角形， 则由,解得， 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 【题型6 直线交点系方程及应用】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【解答过程】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【解答过程】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 【变式6-3】（2025高二上·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案. （2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案. （3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程. 法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案. 【解答过程】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 知识点2 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型7 两点间的距离公式的应用】 【例7】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解答过程】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知经过与两点的直线的斜率为，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】利用直线斜率公式求出，得到，，再利用两点距离公式即可求得. 【解答过程】由题得，解得，即，， 所以． 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为与，可得， 即，解得或． 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二下·全国·课后作业）三角形的两个顶点为，则的长为（ ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解题思路】根据两点间的距离公式，即可求得答案. 【解答过程】根据题意，利用两点间的距离公式，可得的长为， 故选：B. 【题型8 点到直线的距离公式的应用】 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 【答案】C 【解题思路】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，， 得，解得或， 即实数的值为或. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】的最小值是点到直线的距离，利用点到直线距离公式代入求解即可. 【解答过程】由题意，的最小值是点到直线的距离，即 . 故选：A. 【变式8-3】（24-25高二上·吉林·阶段练习）若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【解题思路】由点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 【题型9 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例9】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两条平行直线，则和间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两平行线间距离公式求解即可； 【解答过程】， 所以由两平行线间的距离公式可得， 故选：D. 【变式9-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两直线，之间的距离等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】由题意知，结合两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，两直线的斜率都为且在轴上的截距不相等， 所以， 则两平行线之间的距离为. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高二上·山东东营·阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线平行的充要条件求出，再利用两平行线间距离公式求解. 【解答过程】由直线平行可得，即，解得， 则直线方程为，即， 则两平行线间的距离是. 故选：D. 【变式9-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【答案】D 【解题思路】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【解答过程】因为，所以直线与直线间的距离为， 解得或， 因为，所以. 故选：D. 【题型10 与距离有关的最值问题】 【例10】（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【解题思路】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【解答过程】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【解答过程】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B. 【变式10-2】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【解答过程】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 【变式10-3】（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【解答过程】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$