专题2.2 圆与方程讲义-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学讲义通过框架图系统梳理圆与方程的知识体系，涵盖圆的标准方程、一般方程、点线圆位置关系等11个必备知识点，按“定义-性质-应用”逻辑呈现，用对比表格归纳直线与圆、圆与圆位置关系的判定方法，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的考点专练，每个考点配备基础例题与变式题，如“圆中的最值问题”通过光线反射、动点轨迹等情境题，引导学生用数学思维分析距离最值，培养空间观念与推理能力。强化实训包含选择、填空、解答题，适配不同层次学生，教师可据此实施精准复习，学生能自主巩固提升。

专题2.2 圆与方程 高中数学导学案 专题2.2 圆与方程 考点预览 一、必备知识 1.圆的标准方程： 设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为： 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：. 2.圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.其中，圆心为,半径为. 3.点圆位置关系： 点与：或（）， 设到圆心的距离为，即，则： （1）则点在外； （2）则点在上； （3）则点在内. 4.圆上的点到定点的最大、最小距离： 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记，则 ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5.直线与圆的位置关系：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离 6.直线与圆相交所得弦长：(d为圆心到直线的距离) 7.切线长公式：记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；切线长公式. 8.圆上点到直线的最大（小）距离：设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 9.圆与圆位置关系： 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. 10.一般地过圆：与圆：的交点的圆的方程可设为 11.若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.（两圆方程相减）. 二、考点专练： 地 城 考点01 由圆的方程求基本量及参数取值范围 【例题1-1】 (24-25高二上·广西南宁·期中)已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（    ） A．，5 B．，5 C．， D．， 【答案】C 【详解】解：将圆的一般式方程化为标准方程得，所以圆心为，半径为.故选：C. 【例题1-2】(22-23高二上·江苏盐城·期末)方程表示一个圆，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得.故选：B 直线经过两点，，其斜率. 【变式1-1】(24-25高二上·广西南宁·期中)圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D. 【变式1-2】(24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A. 【变式1-3】(24-25高二上·广西来宾·期中)方程所表示的圆的最大面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意整理可得：，则，解得， 且圆的半径，当且仅当时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为.故选：B. 地 城 考点02 求圆的方程 【例题2-1】(24-25高二上·广西玉林·期中)以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，令，则，即直线恒过定点，则圆的方程为，即，故选：D. 【例题2-2】(24-25高二上·广西平果·期中)已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，半径，设，设切线与圆分别切于，所以，因为两切线，所以四边形为正方形，所以，点P在以C为圆心，2为半径的圆上,则的轨迹方程为．故选：B．   1.若，，则; . 2.若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,则 ①（排除重合）； ② 【变式2-1】13．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设圆M的一般式方程为：，因为圆M经过点，，，所以，解得，得圆M的一般式方程为：，故圆M的标准方程为：.故答案为 【变式2-2】(24-25高二上·广西名校·月考)已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以，又在圆：上，故，即的方程为．故选：C 【变式2-3】(24-25高二上·广西梧州·)已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【详解】（1）可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上，点与点连线的斜率为，所以直线的斜率为1，故直线的方程为，即. （2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为，所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得.故圆的标准方程为或. 【例题3-1】数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ）地 城 考点03 点圆、线圆位置关系判断与求参 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，，，所以动点的轨迹为阿氏圆：，又直线恒过点，若对任意实数直线与圆恒有公共点，在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，即的取值范围为.故选：C 【例题3-2】直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记曲线，由题意，，∴曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，记直线，即，∴直线过定点.如图所示：，当直线与曲线相切时，.由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，.故选：B. 1.求直线方程一定要优先考虑直线是否有斜率.过点无斜率的直线方程为. 2.截距不是距离，而是直线与数轴交点对应的坐标，可正可负还可以是0. 3.求再截距相等的直线方程要注意对截距为0的情况进行分类讨论. 【变式3-1】(23-24高二上·广西三新·期末)已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B. 【变式3-2】 (24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A. 【变式3-3】(24-25高二上·广西南宁·期中)已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径. 若圆的切线关于直线对称，则，结合直线的斜率， 可知直线的方程为，由，解得，所以， ，由对称性可知，故， 故选：B. 【例题4-1】 (23-24高二上·福建莆田·月考)圆C与直线相切于点，且圆心的横坐标为，则圆被轴截得的弦长为（    ）地 城 考点04 弦长及切线问题 A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】设圆心，因为圆C与直线相切于点，所以直线与直线垂直，则，解得，所以圆心，故圆C的半径，圆心在轴上，所以圆被轴截得的弦长为.故选：A. 【例题4-2】 (24-25高三上·山东临沭·月考)过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示，由圆的几何性质可得，，，，所以，，所以，，设，则，因为。 易知为锐角，则，，所以，，因此， .故选：C. 求圆的切线方程的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 【变式4-1】(22-23高二上·四川·月考)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又，  所以.故选：C 【变式4-2】(23-24高二上·广西玉林·期末)(多选)过点作两条相互垂直的射线与圆分别交于两点，则弦长可能的取值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【来源】广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题 【分析】画出图形，利用特殊位置，求解判断即可. 【详解】如图，圆的圆心，半径为3，圆的直径为6，若直径的端点为，不存在的情况，否则在圆上，所以排除选项D.当轴时，，当与正方向成角时，，，解得，此时，同理当与正方向成角时，可得，故ABC均可能取到.故选：ABC. 【变式4-3】 (24-25高二上·广东深圳·期中)设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径，设切点为，由题意可知，点到圆的切线长最小时，，因为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值为：．故答案为：． 地 城 考点05 圆中的最值问题 【例题5-1】已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为，由于，，所以在圆内. 在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦，，所以最短弦长为.故选：B   【例题5-2】已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是（ ） A．6－2 B．8 C．4 D．10 【答案】B 【详解】由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时， 最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=8，故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8．故选B． 这类题关键是找边界斜率（端点连线斜率），再结合倾斜角与斜率的关系（正切函数单调性）分析范围。核心是“斜率边界→倾斜角边界”，通过计算边界值，利用三角函数性质确定范围 【变式5-1】(24-25高二上·广西钦州·期末)已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径.圆心到直线的距离，所以A不正确，B正确.从点向圆引一条切线，设切点为，连接，  则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故C正确，D不正确.故选：BC 【变式5-2】 (23-24高二上·广西桂林·期末)已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示，圆的圆心为原点，半径为，因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，由垂径定理可知，，则，所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， 则.当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， 故的最大值为.故选：B. 【变式5-3】 (21-22高二上·湖南益阳·期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以， 因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D 地 城 考点06 圆与圆的位置关系判断与求参 【例题6-1】(24-25高二上·河南开封·期中)已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径，圆的标准方程为，圆心，半径，所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条．故选：A． 【例题6-2】17．(23-24高二上·广西·期末)若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（    ） A． B．1 C．3.8 D．4.2 【答案】AC 【详解】两圆的圆心分别为，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或.故选AC. 求点关于直线：的对称点，解方程组可得. 【变式6-1】(23-24高二上·广西桂林·期末)圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，则，故两圆相交.故选：C. 【变式6-2】(23-24高二上·江苏宿迁·期中)若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 【答案】AB 【详解】由圆与圆，则圆，可得，且，则，若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切，则满足，即，解得或，故选：AB. 【变式6-3】(24-25高二上·广西河池·期末)已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 三、强化实训 1． (24-25高二上·广西玉林·)圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】圆的方程可化为：，圆心坐标为，半径.故选：C. 2．(23-24高二上·广西玉林·期末)若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，直线方程为，或，将点代入上式，解得，直线的方程为或.故选C. 3．(21-22高二上·北京·期中)过点且与圆相切的直线的方程是 ． 【答案】或 【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.综上：直线的方程为或.故答案为：或 4．(24-25高二上·广西南宁·期中)若点在圆上,则实数 . 【答案】或 【详解】解：因为点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即，得解得：或.故答案为或. 5．在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.故答案为： 6．(24-25高二上·广西平果·期中)已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】方程可化为，所以是以为圆心，半径为的圆上的点，与的距离是，所以的最小值是.故答案为：   7．(24-25高二上·广西武鸣”·期中)已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，设，则，，因为，整理可得，即点P在以为圆心，半径的圆上，可知两圆有公共点，则，即，整理可得，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：. 8．(24-25高二上·广西南宁·期中)已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）． 如图，、、，当直线经过点时，，求得；当直线经过点、点时，，求得；当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），故要求的实数的范围为或， 故选：C． 9．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A. 10．(24-25高二上·广西河池·期末)（多选）已知直线与圆相交于两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】BC 【详解】对于AB，圆：的圆心为，半径，故A错误，B正确；对于C，点到直线：的距离，C正确；对于D，，D错误.故选：BC 11.(24-25高二上·广西百色·期末)已知圆和圆，则（  ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【详解】由题可得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误;对于C，因为，，所以公切线段长为，故C错误;对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确;故选：D. 12．(23-24高二上·广西北海·期末)在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由，得到，整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，故选：D. 13．已知为坐标原点，圆上恰好有两个点到点的距离为1，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题，圆：（），所以圆圆心为，半径为， 圆上恰好有两个点到点的距离为1等价于以为圆心，1为半径的圆与圆相交， 即，解得，故实数的取值范围为． 故答案为： 14．(24-25高二上·广西柳州·期末)圆关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，因为圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，则，所以，当且仅当时，即当时等号成立，故的最小值为.故答案为：. 15．(24-25高二上·河南·月考)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为 ；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设点，依题意，，即，则，整理得，所以所求圆的标准方程为；该阿氏圆的圆心为，半径，点到直线的距离，依题意，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；   16．(24-25高二上·广西钦州·期末)已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为，则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 16．(23-24高二上·广西百色·期末)已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【详解】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心， 又圆心在直线上，由，解得，即圆心， 圆的半径.所以圆的标准方程为. （2）圆的方程为，则圆心，半径.   圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交. 17．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【详解】（1）圆C的标准方程为: ,点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. （2）设因为为的中点,所以, 点E在圆C上 ,即，即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 18．(23-24高二上·广西三新·期末)已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程. 【详解】（1）因为，A，B的中点为， 故AB的垂直平分线所在的直线方程为，即， 由解得，故圆心为， 半径，故圆C的方程为； （2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时与圆C没有交点，不合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 由，可得圆心到直线l的距离为， 解得或0， 故直线l的方程为或. 19．(24-25高二上·天津西青区·期中)已知方程：， (1)若方程C表示圆，求实数m的范围； (2)在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值. 【详解】（1）若方程表示圆，则，所以， 所以方程C表示圆，实数m的范围是； （2）圆的方程可化为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，所以，解得，满足， 所以. 20．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【详解】（1）令为线段的中点，又，则， 又在圆上运动，故， 所以，故点的轨迹方程为. （2）由（1）知圆心，且半径， 所以圆心到的距离， 所以直线与曲线相离. 21．已知圆. （Ⅰ）写出圆C的圆心坐标及半径长； （Ⅱ）已知圆C与x轴相交于A、B两点，试问在圆C上是否存在点P，使的面积等于？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（Ⅰ）圆心，半径. （Ⅱ）对于方程，令，解得. ∴，∴. 假设圆C上存在点，使得的面积等于， 即，解得， ∴（舍去）.将代入方程，解得. ∴圆C上存在点满足题意. 22．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得，消得，； 法3：设，联立方程组得 消得，解得，则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即，则圆心C到直线的距离为， 又的面积，所以当时取最大值8， 由，得，解得，， 所以直线的方程为或. 23．(23-24高二上·广西玉林·期末)如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.（附：参考数据.） 【详解】（1）解法一：由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 设圆的方程为，则，解得， 圆的方程为，即， 建筑物的中心的坐标为. 解法二：由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 线段中点为，且线段的垂直平分线为， 线段中点为，且，线段的垂直平分线为， 联立，得，所以建筑物的中心的坐标为. （2）因为为建筑物的中心坐标， 设线段的中点为，由垂径定理得的长度为点到的最小距离， ，圆的半径为， 点到的距离为， 开通的这条路的最低造价为（万元）. 试卷第1页，共3页 6 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $专题2.2 圆与方程 高中数学导学案 专题2.2 圆与方程 考点预览 一、必备知识 1.圆的标准方程： 设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为： 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：. 2.圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.其中，圆心为,半径为. 3.点圆位置关系： 点与：或（）， 设到圆心的距离为，即，则： （1）则点在外； （2）则点在上； （3）则点在内. 4.圆上的点到定点的最大、最小距离： 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记，则 ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5.直线与圆的位置关系：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离 6.直线与圆相交所得弦长：(d为圆心到直线的距离) 7.切线长公式：记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；切线长公式. 8.圆上点到直线的最大（小）距离：设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 9.圆与圆位置关系： 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. 10.一般地过圆：与圆：的交点的圆的方程可设为 11.若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.（两圆方程相减）. 二、考点专练： 地 城 考点01 由圆的方程求基本量及参数取值范围 【例题1-1】 (24-25高二上·广西南宁·期中)已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（    ） A．，5 B．，5 C．， D．， 【例题1-2】(22-23高二上·江苏盐城·期末)方程表示一个圆，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 直线经过两点，，其斜率. 【变式1-1】(24-25高二上·广西南宁·期中)圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】(24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1-3】(24-25高二上·广西来宾·期中)方程所表示的圆的最大面积为（ ） A． B． C． D． 地 城 考点02 求圆的方程 【例题2-1】(24-25高二上·广西玉林·期中)以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2-2】(24-25高二上·广西平果·期中)已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1.若，，则; . 2.若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,则 ①（排除重合）； ② 【变式2-1】13．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 【变式2-2】(24-25高二上·广西名校·月考)已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高二上·广西梧州·)已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【例题3-1】数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ）地 城 考点03 点圆、线圆位置关系判断与求参 A． B． C． D． 【例题3-2】直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.求直线方程一定要优先考虑直线是否有斜率.过点无斜率的直线方程为. 2.截距不是距离，而是直线与数轴交点对应的坐标，可正可负还可以是0. 3.求再截距相等的直线方程要注意对截距为0的情况进行分类讨论. 【变式3-1】(23-24高二上·广西三新·期末)已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】 (24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3-3】(24-25高二上·广西南宁·期中)已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【例题4-1】 (23-24高二上·福建莆田·月考)圆C与直线相切于点，且圆心的横坐标为，则圆被轴截得的弦长为（    ）地 城 考点04 弦长及切线问题 A． B． C．1 D．2 【例题4-2】 (24-25高三上·山东临沭·月考)过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（    ） A． B． C． D． 求圆的切线方程的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 【变式4-1】(22-23高二上·四川·月考)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】(23-24高二上·广西玉林·期末)(多选)过点作两条相互垂直的射线与圆分别交于两点，则弦长可能的取值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【变式4-3】 (24-25高二上·广东深圳·期中)设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 地 城 考点05 圆中的最值问题 【例题5-1】已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A． B． C． D． 【例题5-2】已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是（ ） A．6－2 B．8 C．4 D．10 这类题关键是找边界斜率（端点连线斜率），再结合倾斜角与斜率的关系（正切函数单调性）分析范围。核心是“斜率边界→倾斜角边界”，通过计算边界值，利用三角函数性质确定范围 【变式5-1】(24-25高二上·广西钦州·期末)已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【变式5-2】 (23-24高二上·广西桂林·期末)已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】 (21-22高二上·湖南益阳·期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点06 圆与圆的位置关系判断与求参 【例题6-1】(24-25高二上·河南开封·期中)已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题6-2】17．(23-24高二上·广西·期末)若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（    ） A． B．1 C．3.8 D．4.2 求点关于直线：的对称点，解方程组可得. 【变式6-1】(23-24高二上·广西桂林·期末)圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内含 C．相交 D．外离 【变式6-2】(23-24高二上·江苏宿迁·期中)若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 【变式6-3】(24-25高二上·广西河池·期末)已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 三、强化实训 1． (24-25高二上·广西玉林·)圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(23-24高二上·广西玉林·期末)若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．(21-22高二上·北京·期中)过点且与圆相切的直线的方程是 ． 4．(24-25高二上·广西南宁·期中)若点在圆上,则实数 . 5．在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为 . 6．(24-25高二上·广西平果·期中)已知实数满足，则的最小值是 ． 7．(24-25高二上·广西武鸣”·期中)已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 8．(24-25高二上·广西南宁·期中)已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 9．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 10．(24-25高二上·广西河池·期末)（多选）已知直线与圆相交于两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 11.(24-25高二上·广西百色·期末)已知圆和圆，则（  ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 12．(23-24高二上·广西北海·期末)在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知为坐标原点，圆上恰好有两个点到点的距离为1，则实数的取值范围为 ． 14．(24-25高二上·广西柳州·期末)圆关于直线对称，则的最小值是 ． 15．(24-25高二上·河南·月考)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为 ；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 . 16．(24-25高二上·广西钦州·期末)已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 16．(23-24高二上·广西百色·期末)已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 17．(24-25高二上·江苏南通启东等2地·期中)已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 18．(23-24高二上·广西三新·期末)已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程. 19．(24-25高二上·天津西青区·期中)已知方程：， (1)若方程C表示圆，求实数m的范围； (2)在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值. 20．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 21．已知圆. （Ⅰ）写出圆C的圆心坐标及半径长； （Ⅱ）已知圆C与x轴相交于A、B两点，试问在圆C上是否存在点P，使的面积等于？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 22．(23-24高二上·广西南宁·调研)已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 23．(23-24高二上·广西玉林·期末)如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.（附：参考数据.） 试卷第1页，共3页 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $