专题2.3 直线的方程（二）（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的方程（二）（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 直线方程的求解】 1 【题型2 直线过定点问题】 2 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 3 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 4 【题型5 根据两直线平行求参数】 4 【题型6 根据两直线垂直求参数】 5 【题型7 直线方程的实际应用】 5 【题型8 直线方程的综合应用】 6 知识点1 求直线方程的一般方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（24-25高二上·河南商丘·期中）已知直线经过点，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·陕西安康·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件分别求直线l的方程： (1)直线过点，直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0； (2)直线l经过点，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点 ． 【变式2-3】（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（24-25高二上·广东·期中）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【变式5-1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）“”是“两条直线，平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线和直线平行，则（    ） A．或3 B．或2 C． D．3 【变式5-3】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 知识点3 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【变式7-1】（24-25高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【变式7-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式8-1】（24-25高二上·四川成都·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【变式8-2】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 【变式8-3】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线的方程（二）（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 直线方程的求解】 1 【题型2 直线过定点问题】 4 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 6 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 7 【题型5 根据两直线平行求参数】 8 【题型6 根据两直线垂直求参数】 10 【题型7 直线方程的实际应用】 12 【题型8 直线方程的综合应用】 14 知识点1 求直线方程的一般方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（24-25高二上·河南商丘·期中）已知直线经过点，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先求出直线的斜率，再由斜截式得到直线方程，最后化为一般式即可. 【解答过程】因为直线经过点，， 所以，所以直线的方程为，即. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·陕西安康·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意直接点斜式求解即可. 【解答过程】由题意，直线的斜率为，过点， 所以的方程为，即. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件分别求直线l的方程： (1)直线过点，直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0； (2)直线l经过点，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）①当直线l经过原点时，直线l的方程为；②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为，代点求得a的值，得出直线方程． （2）设直线l方程为，由l与两坐标轴围成的三角形的面积为1，可得，解得k的值，得出直线方程． 【解答过程】（1）①当直线l经过原点时，在x轴、y轴上的截距之和等于0， 此时直线l的方程为，即； ②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为， 在直线l上， ，，即. 综上，直线l的方程为或. （2）由题意，斜率k存在，设直线方程为， 令得，令，得， 又由l与两坐标轴围成的三角形的面积为1， 可得，解得或， 直线l的方程为或， 综上所述，直线l的方程为或. 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线化为，据此可得定点坐标. 【解答过程】 ， 令，解得，则所过定点为. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【解答过程】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【解题思路】将不等式变形为，可得原直线过直线的交点，联立直线，求交点即可. 【解答过程】由可得， 所以直线过直线的交点， 故，解得， 故定点为. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【解题思路】把直线方程整理成关于参数的恒等式，再由恒等式知识求解． 【解答过程】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（24-25高二上·广东·期中）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由条件可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得到结果. 【解答过程】由题意可得直线的斜率为1，则直线的方程为，即. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案. 【解答过程】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【解答过程】由，可知边上的中线所在的直线即为边的垂直平分线， 由，，可得边的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 故选：D. 【变式3-3】（2025·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 【解答过程】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设所求直线方程为，代入点的坐标可求. 【解答过程】设所求直线方程为， 因为该直线经过点，所以，故， 故所求直线方程为． 故选：A． 【变式4-1】（24-25高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为，代入已知点的坐标待定系数可得. 【解答过程】与直线平行的直线的方程可设为， 又经过点，所以，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解答过程】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【解答过程】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B. 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行列方程求解即可. 【解答过程】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）“”是“两条直线，平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用直线平行的条件计算可得结论. 【解答过程】当时，两条直线，，两直线平行， 所以“”是“两条直线，平行”的充分条件； 因为直线的斜率存在且为， 由两直线平行，所以的斜率存在且为， 所以，解得或， 当时，直线方程均为，此时直线重合，故不符合题意，舍去； 所以“”是“两条直线，平行”的充要条件. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线和直线平行，则（    ） A．或3 B．或2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】用两直线平行的条件求解，注意去除两直线重合的情形即可得． 【解答过程】因为直线与直线平行，所以，解得或， 当时，和重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行要求，若直线与平行,则满足计算即可. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得或， 经检验时两直线重合. 故选：A. 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线垂直在一般式满足的系数关系即可求解. 【解答过程】由于直线与直线互相垂直，故，解得， 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】因为直线，， 所以当时，，即，即或， 所以“”能推出“”，“”不能推出“”， 所以“”是“”充分不必要条件， 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【解答过程】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 知识点3 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可. 【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【答案】；铁棒在100℃时的长度是m. 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【解题思路】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【解答过程】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    【变式7-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【答案】（1）；（2）当时，，此时． 【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式8-1】（24-25高二上·四川成都·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由边上的高所在直线的斜率可求直线的斜率，已知点，由点斜式方程可得直线方程，又点也在边的中线上，联立方程组求解交点的坐标即可； （2）设点，则中点在已知中线上，又点在已知边的高线上，则联立方程组可得，再由两点式可得直线的方程. 【解答过程】（1）因为边上的高所在直线方程为， 设线的斜率为，则，解得， 又因为直线过点， 则直线的方程为,， 又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点， 所以联立， 解得的坐标为． （2）设，因为边上的中线所在直线方程为， 所以的中点在直线上， 且边上的高所在直线过顶点， 所以，解得，即的坐标为． 由（1）知，由两点式方程得， 化简得. 即直线的方程为． 【变式8-2】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【解题思路】（1）将方程变形为，再由，得到，即可证明结果； （2）根据条件，求出直线的横、纵截距，从而得得，再利用基本不等式即可求出最小值，从而求出结果. 【解答过程】（1）直线的方程变形为为， 由，得到， 又时，恒成立， 故直线恒过定点. （2）由， 令，得到，令，得到， 由，得到， 所以，， 令，得到， 当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为， 又，， 所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为. 【变式8-3】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为 (2)或 (3) 【解题思路】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决. 【解答过程】（1）证明：整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组， 解得， 所以直线过定点，点的坐标为. （2）当截距为0时，直线的方程为，即， 当截距不为0时，设直线的方程为， 则， 解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或. （3）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，不符合题意； 当，且时，， 所以 解得或， 综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$