专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求充分条件】 2 【题型2 求必要条件】 3 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 5 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 6 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 7 【题型6 根据充要条件求参数】 9 【题型7 充要条件的证明】 10 【题型8 充分、必要条件与集合交汇】 12 知识点1 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 4．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 5．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 6．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型1 求充分条件】 【例1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案. 【解答过程】因为推不出，故不是的充分条件，A错误； 因为推不出，故不是的充分条件，B错误； 因为一定能推出，故是的充分条件，C正确； 因为推不出，故不是的充分条件，D错误； 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【解题思路】由全等三角形的判定定理可得结果. 【解答过程】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【解答过程】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解出不等式，然后根据充分条件的定义求解即可. 【解答过程】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 【题型2 求必要条件】 【例2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【解答过程】 ， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【解答过程】少年强则国强；国强不一定少年强， 所以“国强”是“少年强”的必要条件. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【解题思路】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【解答过程】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【解答过程】由题意,且， 所以,则,可得; 故选：A. 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用绝对值不等式的解法求出的解，然后根据充分条件与必要条件的定义即可求解. 【解答过程】若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【解答过程】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【解答过程】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”， 但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用推出充分性成立，举反例可说明必要性不成立. 【解答过程】，则，即， 于是，可得， 即可以推出，充分性成立； 但时，取，满足， 但，必要性不成立. 于是“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【解答过程】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，当时，，故A不符题意； 对于B，当时，，故B不符题意； 对于C，当时，，故C不符题意； 对于D，因为，所以， 若，则， 所以“”的一个充分不必要条件可以是，故D符合题意. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一上·江西·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方程可得或1，即得，再根据题意，需使选项中的范围是区间的真子集，结合选项即得. 【解答过程】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是． 故选：D. 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 【题型6 根据充要条件求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】由题意可得，进而可求的值. 【解答过程】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为恒成立即可求解. 【解答过程】恒成立，，所以，解得． 故选：B. 【变式6-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【解答过程】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D. 【题型7 充要条件的证明】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【解题思路】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【解答过程】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】证明见解析. 【解题思路】先由高相等，再由同一个三角形的面积相等得到证明充分性；再由和同一个三角形的面积相等得到证明必要性； 【解答过程】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析. 【解题思路】先证明充分性，再证明必要性即可． 【解答过程】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【题型8 充分、必要条件与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【解答过程】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 【变式8-1】（24-25高一上·江苏·期中）已知集合， (1)若，求实数m的取值范围; (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由可得，讨论，从而得到不等式，求解参数m； （2）若p：，q：，p是q的充分条件，知，即可求参数范围． 【解答过程】（1），由可得， 当B为空集时，则，可得， 当B不为空集时，则，解得， 综上所述，m的取值范围为 （2）若p是q的充分条件，则，则，可得， 故m的取值范围为 【变式8-2】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【解题思路】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式8-3】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【解题思路】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【解答过程】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求充分条件】 2 【题型2 求必要条件】 2 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 3 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 3 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 4 【题型6 根据充要条件求参数】 4 【题型7 充要条件的证明】 5 【题型8 充分、必要条件与集合交汇】 6 知识点1 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 4．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 5．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 6．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型1 求充分条件】 【例1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【变式1-2】（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求必要条件】 【例2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【变式2-3】（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式3-2】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·江西·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据充要条件求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7 充要条件的证明】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示：. 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【题型8 充分、必要条件与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式8-1】（24-25高一上·江苏·期中）已知集合， (1)若，求实数m的取值范围; (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【变式8-2】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式8-3】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$