2.2 充分条件、必要条件、充要条件讲义【七大考点+七大题型】-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二：充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【题型归纳】 题型一：充分条件和必要条件的判断 【例1】．（24-25高一上·江苏无锡·期中）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练1】．（23-24高一上·天津南开·期中）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【跟踪训练2】．（23-24高一·全国）（1）“”是“”的 条件； （2）“”是“”的 条件； （3）已知、，则“”是“”的 条件； （4）设、，若；.则是的 条件； （5）若、、是常数，则“且”是“对任意，有”的 条件. 题型二：根据充分不必要条件求参数问题 【例2】．．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【跟踪训练2】．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题 【例3】．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 题型四：充要条件问题 【例4】．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【跟踪训练2】．（22-23高一上·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：根据充要条件求参数问题 【例5】．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【跟踪训练1】．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【跟踪训练2】．（21-22高一上·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 题型六：充分条件、必要条件与充要条件的综合 【例6】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江苏苏州）已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型七：充要条件的证明 【例7】．（21-22高一上·安徽六安·阶段练习）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【跟踪训练2】．（20-21高一上·浙江温州·阶段练习）设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）“”是“”（     ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·上海·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高一·全国·专题练习）如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 10．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 11．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 12．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 15．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 16．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是 17．（23-24高一上·江苏扬州）已知集合或，非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 18．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 19．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 21．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，全集． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 22．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二：充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【题型归纳】 题型一：充分条件和必要条件的判断 【例1】．（24-25高一上·江苏无锡·期中）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】“”不能推出“”，故充分性不成立； “”能推出“”，故必要性成立. 综上可知，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 【跟踪训练1】．（23-24高一上·天津南开·期中）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，由不等式性质得到必要性成立，得到答案. 【详解】当，此时满足，，但， 充分性不成立， 当，时，相加得，即， 必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B 【跟踪训练2】．（23-24高一·全国）（1）“”是“”的 条件； （2）“”是“”的 条件； （3）已知、，则“”是“”的 条件； （4）设、，若；.则是的 条件； （5）若、、是常数，则“且”是“对任意，有”的 条件. 【答案】 必要非充分 充分非必要 既不充分也不必要 充分非必要 充分非必要 【分析】（1）利用集合的包含关系判断即可； （2）解不等式，利用集合的包含关系判断即可； （3）利用特殊值法结合充分条件、必要条件判断即可； （4）求得的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可； （5）找出使得不等式在上恒成立的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】（1），所以，“”是“”的必要非充分条件； （2）解不等式，即，解得或， 或，所以，“”是“”的充分非必要条件； （3）充分性：，取，，则，充分性不成立； 必要性：若，可取，，则，必要性不成立. 所以，“”是“”的既不充分也不必要条件； （4）若，则，所以，. 若，则、中至少有一个为零，若，，则，则. 所以，是的充分非必要条件； （5）充分性：若、、是常数，且，则对任意，有， 充分性成立； 必要性：若、、是常数，对任意，有， 则“且”或“且”，必要性不成立. 所以，“且”是“对任意，有”的充分非必要条件. 故答案为：（1）必要非充分；（2）充分非必要；（3）既不充分也不必要；（4）充分非必要；（5）充分非必要. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查利用集合的包含关系、充分条件、必要条件的定义的应用，考查推理能力，属于中等题. 题型二：根据充分不必要条件求参数问题 【例2】．．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练2】．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【详解】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题 【例3】．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，即可得解. 【详解】因为“”是“”的必要条件， 所以，所以. 故答案为：. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 【跟踪训练2】．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据“或”是“”的必要不充分条件，得到不等式组，解出即可． 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则是或的真子集， 或， 解得：或， 故答案为：． 题型四：充要条件问题 【例4】．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题干直接判断即可. 【详解】因为，且 ， 所以， 所以是的充要条件. 故选：C 【跟踪训练2】．（22-23高一上·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系及充分条件、必要条件 【详解】因为方程有一正根和一负根，则有， 所以，故p是q的充分必要条件. 故选：C 题型五：根据充要条件求参数问题 【例5】．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 【跟踪训练1】．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【跟踪训练2】．（21-22高一上·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】0 【分析】根据充要条件的定义即可求解. 【详解】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 题型六：充分条件、必要条件与充要条件的综合 【例6】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【详解】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江苏苏州）已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围； （2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围． 【详解】（1）对于，等价于或，解得或， 所以或， 且，可得， 若，则有： ①当时，，即 ，满足 ②当时，，解得， 综上所述：a的范围是. （2）由（1）得， 若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集， 因为，即集合， 可得，且等号不同时成立，解得． 故存在实数m满足条件，且 m的范围是：. 题型七：充要条件的证明 【例7】．（21-22高一上·安徽六安·阶段练习）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【答案】证明见解析 【分析】利用二次方程根与系数的关系结合充分条件、必要条件的定义即可证得结论成立. 【详解】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意； 若时，，设方程的两根分别为、，则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得， 设方程的两根分别为、，则， 则、均为负数，由题意可知，可得. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”. 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，即当时，方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程有两个同号且不相等的实根，则． 【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【跟踪训练2】．（20-21高一上·浙江温州·阶段练习）设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：先证充分性：，讨论： i当，继续讨论： ①时，，，所以； ②时，，，所以； ③时，所以； 当时，有成立 ii当，即或 ①当时， ②当时，，， 再证必要性：，两边平方有： ，， 综上：成立的充要条件是. （2）因为， 所以成立的充要条件. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）“”是“”（     ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则或，不能推出，所以充分性不成立； 若，不一定有成立，所以必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可. 【详解】当时，有，，但； 当时，有，但. 所以原条件不是充分的也不是必要的. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】少年强则国强；国强不一定少年强， 所以“国强”是“少年强”的必要条件. 故选：B 4．（24-25高二上·上海·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（2025高一·全国·专题练习）如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知方程有实根，分和两种情况讨论，得出，经验证，时，，方程有实根成立. 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 7．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 10．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 12．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 【答案】AC 【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误. 【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集， 由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根， 若，方程为，满足题意； 若，则可得，解得，满足题意； 因此或，所以B错误； 对于C，由可得，即一元二次方程有两根，且两根之积为，所以两根为一正一负，即充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根则须满足，且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确； 对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D错误. 故选：AC 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件. 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件. 故选：ABD. 三、填空题 14．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 【答案】必要不充分 【分析】化简，然后应用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为由可得或， 所以即且. 因为由“”不能推出“且”； 由“且”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 15．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【详解】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 16．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题可知是成立的充分条件，因此集合B是集合A的子集，由此列出不等式求解即可. 【详解】因为是成立的必要条件，所以是成立的充分条件，因此, 当时满足题意，此时，解得； 当时，有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 17．（23-24高一上·江苏扬州）已知集合或，非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意推出，由此可列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知“”是“”的必要不充分条件， 故，则或， 解得或， 即实数的取值范围为， 故答案为： 18．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】先依题意判断集合B是集合A的真子集，再讨论集合B是否空集求参数m的取值范围即可. 【详解】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集. 当时即，集合A的真子集，符合题意； 当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故； 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 四、解答题 19．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 20．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用交集的定义求解，再写出所有真子集. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）由，得， 则，所以的所有真子集为. （2）由是的充分条件，得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 21．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，全集． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再根据补集和交集的概念求出答案； （2）为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，，或， 又， 故或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解集为， 若，则或， 解得， 综上，实数的取值范围是 22．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是真命题得到是假命题，利用判别式列不等式来求得的取值范围. （2）根据“是的必要不充分条件”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $