2.2 平方根与立方根 第3课时 课件 2025-2026学年北师大版2024数学八年级上册

第二章 实数 第2课 平方根与立方根 第3课时 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.理解立方根的概念，会计算一个数的立方根，并能用符号正确表示一个数的立方根. 2.理解立方根的相关运算性质，能用立方根解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:魔方可以抽象为哪种几何体？它的体积公式如何计算？如何表示它的棱长呢？ 一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积为216的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？ 4 问题1：回忆正方体体积公式，你能计算下列三个魔方的体积吗？ 问题构建 追问：类比算术平方根和平方根的概念，你能尝试定义立方根吗？ 问题构建 立方根的概念： 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫作的立方根，也叫三次方根. 所以2是8的立方根. 所以5是125的立方根. 所以-3是-27的立方根. 问题构建 问题2：一个数可能有2个平方根，一个数的立方根可能有几个？ 正数的立方根只有1个，0有1个立方根是0，负数也只有1个立方根. 追问1：求8, 0,-27的立方根. 8的立方根是2,0的立方根是0，-27的立方根是-3. 追问2：正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 立方根只有1个 问题构建 问题3：平方根与算术平方根都能用表示，立方根如何表示呢？ 每个数都有一个立方根，记作，读作 “三次根号”. 例如：当时，是7的立方根，即= ​；而，2是8的立方根，即​=2. 正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数 求一个数的立方根的运算叫作开立方（extraction of cubic root ）,叫作被开方数. 协作破冰 问题4：平方根、算术平方根、立方根等于它本身的数存在吗？它们各等于多少？ 平方根等于它本身的数是0； 算术平方根等于它本身的数是0和1； 立方根等于它本身的数是0和±1. 开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算 .例如，已知=16，通过开平方运算可得x=±​=±4；已知=27，通过开立方运算可得= ​=3. 协作破冰 例1：求下列各数的立方根 （1）-27 ； （2）（3）0.216；（4）-5 解：（1）因为所以-27的立方根是-3， 即 (2)因为，所以的立方根是，即 (3)因为所以0.216的立方根是0.6，即 (4)-5的立方根是. 协作破冰 问题5：一些数的立方根的结果没有 “​” 了，这些数有什么特点？ 类比平方数，可以称这些数为立方数，例如1,8,27,125,216,0.343，等. 求 的立方根. 带分数化为假分数计算更方便 求 的立方根. 逆用幂的乘方法则解决幂的方根计算更方便 协作破冰 探索1： ，也就是一般地， ？ 根据立方根的概念，上述等式成立，且可以取任意实数. 求下列各式的值: 结论：对于任何数a , a 2 4 0 -2 -3 3 23 = 3 4 3 = 协作破冰 探索2： 成立吗？与同伴交流. 求下列各式的值: 8 27 0 -8 -27 结论：对于任何数a , a 教师示范 例2：求下列各式的值. (1) (2); (3);(4) 解:(1)= (2) = =0.4 (3) = -=- (4) =9 进行开立方运算时，依据题目特点，对被开方数进行适当变形，有利于快速得出答案. 巩固拓展 问题6：平方根与立方根有怎样的的区别与联系？ 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 可以为任何数 非负数 巩固拓展 例3：一个正方体的体积变为原来的 8 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 27 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 1000 倍呢？体积变为原来的n倍呢？ 正方体的体积公式为：体积 = 棱长 ³（即 V=，其中 V 为体积， 为棱长） 1. 体积变为原来的 8 倍时 设原棱长为  ，原体积为 V= 新体积为 8V=8，设新棱长为 ​，则：​= 8 因为 8=，所以  ​= ，即  ​=2 结论：棱长变为原来的 2 倍. 巩固拓展 例3：一个正方体的体积变为原来的 8 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 27 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 1000 倍呢？体积变为原来的n倍呢？ 正方体的体积公式为：体积 = 棱长 ³（即 V=，其中 V 为体积， 为棱长） 2. 体积变为原来的 27 倍时 设原棱长为  ，原体积为 V= 新体积为 27V=2，设新棱长为 ​，则：​= 27 因为 27=，所以  ​= ，即  ​=3 结论：棱长变为原来的 3倍. 巩固拓展 例3：一个正方体的体积变为原来的 8 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 27 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 1000 倍呢？体积变为原来的n倍呢？ 正方体的体积公式为：体积 = 棱长 ³（即 V=，其中 V 为体积， 为棱长） 3. 体积变为原来的 1000 倍时 设原棱长为  ，原体积为 V= 新体积为 1000V=1000，设新棱长为 ​，则：​= 1000 因为 1000=，所以  ​= ，即  ​=10 结论：棱长变为原来的 10倍. 巩固拓展 例3：一个正方体的体积变为原来的 8 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 27 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的 1000 倍呢？体积变为原来的n倍呢？ 正方体的体积公式为：体积 = 棱长 ³（即 V=，其中 V 为体积， 为棱长） 4. 体积变为原来的 n 倍时 设原棱长为  ，原体积为 V= 新体积为 nV=n，设新棱长为 ​，则：​= n 所以  ​= 结论：棱长变为原来的 倍. 当堂检测 基本概念的运算 1.（1） （___）， 的立方根是___，用数学式子表示为 ________. （2） （____）， 的立方根是____，用数学式子表示 为____________. 2 2 当堂检测 2.下列说法正确的是( ) A. 负数没有立方根 B. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D. 一个不为0的数的立方根与被开方数同号 D 任何数都有立方根 负数 正数的平方根 当堂检测 3.求下列各数的立方根： （1）0.216. 解：0.6. （2）0. 解：0. （3） . 解： . （4） . 解： . 当堂检测 及 4.求下列各式的值： （1） . 解：5. （2） . 解： . （3） . 解： . （4） . 解： . （5） . 解： . 当堂检测 5.已知第一个正方体纸盒的棱长为 ，第二个正方体纸盒 的体积比第一个纸盒的体积大 ，求第二个纸盒的棱长. 解：设第二个纸盒的棱长为 .根据题意，得 ， . . 答：第二个纸盒的棱长为 . 反思总结 1.如何定义一个数的立方根？ 2. 平方根与立方根有什么区别与联系？ 3.体积为5的正方体的棱长大概是多少呢？精确到十分位？精确到百分位？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P35-36 第1题，第2题 二、素养类作业 课本P39 第20题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$