江西师大附中红谷滩区滨江分校2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年江西师大附中红谷滩区滨江分校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组数中，是“勾股数”的一组是(    ) A. 4，5，6 B. ，2， C. 6，8，10 D. 1，，2 3.已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是(    ) A. B. C. 1 D. 5 4.关于函数，下列结论正确的是(    ) A. 图象必经过 B. 当时， C. 图象经过第一、二、三象限 D. y随x的增大而增大 5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形ABCD的面枳是(    ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 7.欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以B为圆心，BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是(    ) A. CE的长度 B. CD的长度 C. DE的长度 D. AE的长度 8.如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线有且仅有一个交点，则k的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.写一个使在实数范围内有意义的x的正整数值______. 10.如图，CD是的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则______. 11.已知，是一元二次方程的两个实数根，则______. 12.如图，直线和相交于点，则不等式的解集为______. 13.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一动点，则的最小值为______. 14.如图，将两块含角的三角板拼成等边三角形ABC，斜边，点D是BC的中点，E是AB边上的一个动点，过点E作，交AC边于点F，连接DE，当是等腰三角形时，AE的长为______. 三、解答题：本题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 用适当的方法解方程： 16.本小题3分 如图，在▱ABCD中，连接AC，，，求证：四边形ABCD是菱形. 17.本小题6分 已知关于x的一元二次方程有实数根. 求实数k的取值范围. 设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值. 18.本小题6分 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … 根据表中数据和图1中描出的散点图，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式不要求写出x的取值范围； 如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据中求出的函数解析式，估计这个人的身高. 19.本小题6分 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过四条. 在图中，画出的BC的中线AD； 在图中，在的基础上，在射线AD上画点E，使 20.本小题8分 先阅读下列材料，然后解决后面的问题. 材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：，或，， 问题： 用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则k的值可以为______； 已知实数x满足，求代数式的值？ 21.本小题8分 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地.八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙墙的最大可用长度为22米，用长为34米的篱笆篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分，围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践. 若设菜地的宽AB为x米，______米用含x的代数式表示； 求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米； 要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由. 22.本小题8分 阅读下面材料，回答下列问题： 构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决． 材料：已知，求代数式的值； 分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现x是方程的根，所以，，所以原式 以2，为根的方程可以是______； 已知，请用材料中的方法求代数式的值； 求代数式的值． 23.本小题10分 综合与实践 特例感知如图1，在等腰直角中，D为斜边AB的中点，P是斜边AB上一动点，过点P分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，连接DE，DF，则DE，DF的关系是______. 类比迁移如图2，在等腰直角中，D为斜边AB的中点，P是斜边AB延长线上一动点，过点P分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，连接DE，DF，求证：是等腰直角三角形. 拓展应用如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为，，C是AB的中点，P是射线AB上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接DC，FC，DF，点E与点C关于DF对称，连接DE， ①当点P在线段AB上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动.若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由. ②设点F的横坐标为x，四边形CDEF的面积为y，求y与x的函数解析式. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选： 被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、， ，5，6不是勾股数，不符合题意； B、，2，不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、， ，8，10是勾股数，符合题意； D、1，，2这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选： 根据勾股数的定义解答即可． 本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：根据题意可得：，，， ， 该方程一个根为，令， ，解得： 故选： 根据，，求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则， 4.【答案】B  【解析】解：A、把代入函数得，，故点不在此函数图象上，故本选项错误； B、可化为，，，故本选项正确； C、函数中．，，此函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； D、函数中．，随x的增大而减小，故本选项错误． 故选 根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数中， 当时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 5.【答案】A  【解析】解：根据题意得： 故选： 利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：依题意得：，，则四边形ABCD是平行四边形． 如图，过点A作于点E，过点A作于点F， ，， ， 又， ，， 四边形ABCD的面枳 故选： 根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作于点E，过点A作于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积． 本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法． 7.【答案】D  【解析】解：， ， 则， ， ， ，， 在中，，，， ， 方程较大的根为的长度， 故选： 先利用配方法求出方程的根为，，结合中，，，知，继而可得方程较大的根为的长度． 本题主要考查配方法解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤，利用勾股定理表示出BC的长度． 8.【答案】B  【解析】解：， 当时，， 函数图象的最高点为， ， 当时，， 直线与x轴交点的坐标为， 经过点时，直线与折线有且仅有一个交点， ， 时，直线与折线平行，当时，与折线有两个交点，当时，与折线有一个交点， 的取值范围是或 故选： 根据图象经过点，借助图象即可求得． 本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与系数的关系，是基础题． 9.【答案】答案不唯一  【解析】解：若在实数范围内有意义， 则， 解得， 所以满足条件的x的正整数值可以是答案不唯一， 故答案为：答案不唯一 二次根式有意义即被开方数为非负数，由此找出满足条件的正整数x的值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 10.【答案】4  【解析】解：点E、F分别是AC、DC的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中线， ， 故答案为： 由题意可知EF是的中位线，由此可求出AD的长，再根据中线的定义即可求出AB的长． 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 11.【答案】2  【解析】解：根据根与系数的关系得，， 所以 故答案为： 先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 12.【答案】  【解析】解：直线和相交于点， 不等式的解集为， 故答案为： 根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生观察图形的能力和理解能力，利用数形结合是解题的关键． 13.【答案】10  【解析】解：如图： 作交AB于E，连接EN， 则EN就是的最小值， 四边形ABCD是菱形， ，， 、N分别是边BC、CD的中点， ， 四边形EBCN是平行四边形， ， 而由题意可知，可得， ， 的最小值为 故答案为： 要求的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解． 考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 14.【答案】或或  【解析】解：①当时，过E作于G，如图： 设，则，， ，， ，，， 是BC中点， ， ， 在中，， 即， 解得：负值已舍； ②当时，过F作于H，如图： 设，则，， ， ，， ， 在中，， 即， 解得：或舍； ③当时，作于M，于N，如图： 为等边三角形，D是BC中点， 平分， ，， ， ≌， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或 故答案为：或或4 设，根据腰不同分类讨论： 当时，过E作于G，根据角直角三角形是三边数量关系，求出DG，EG，在中根据勾股定理列出方程求解； 当时，过F作于H，同理，用x表示出FH，DH，DF，在中利用勾股定理列出方程求解； 当时，作于M，于N，利用全等三角形得出，再根据角直角三角形是三边数量关系，用x表示出EM，以及求出BM，从而可以求得AE的长． 本题主要考查了角直角三角形的三边关系、勾股定理、等边三角形的性质以及解一元二次方程，正确的构造直角三角形是本题解题的关键． 15.【答案】解：， ， 或， 所以原方程的解为：，  【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 16.【答案】见解析过程．  【解析】证明：，， 是等边三角形， ， ▱ABCD是平行四边形． 由题意可证是等边三角形，可得，即可求解． 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 17.【答案】；     【解析】根据题意得， 解得， 所以实数k的取值范围为； 根据根与系数的关系得，， ， ， 解得 根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； 根据根与系数的关系得，，再利用得到，然后解一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 18.【答案】一次函数解析式为   脚长约为，估计这个人的身高为  【解析】描点如图示： 转化为， 与x的函数不可能是， 故选一次函数，将点、代入解析式得： ， 解得， 一次函数解析式为 当时， 答：脚长约为，估计这个人的身高为 根据表格数据在直角坐标系中描点即可；先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； 将代入一次函数解析式求出y值即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 19.【答案】见解析．  【解析】如图1中，线段AD即为所求； 如图2中，点E即为所求． 取格点J，K，连接JK交BC于点D，连接AD即可； 作点A关于BC的对称点，连接交AD于点E，点E即为所求． 本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 20.【答案】，，2，14；    【解析】， 当时， ， ， ； 当时， ， ， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述k的值可以是，，2，14； 由题意，设， 原方程可化为： ， 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故m的值为6； 故答案为：，，2，14； 依据题意，分四种情形分别计算分析即可判断得解； 将看作一个整体，然后用换元法解方程求出的值，再整体代值求解． 本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法． 21.【答案】  【解析】解：篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为x米， 长BC为米． 故答案为：； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为81平方米时，宽AB为9米 不能围成面积为120平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即不能围成面积为120平方米的菜地． 根据各边之间的关系，可得出长BC为米； 根据围成的菜地面积为81平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； 根据菜地面积若为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 22.【答案】答案不唯一 ， ， 是方程的根， ， ； 设， ， ， 是方程的根， ， 原式   【解析】解：以2，为根的方程可以是， 故答案为：， 见答案； 见答案； 写出一个满足条件的方程即可； 是方程的根，可得，把所求式子变形再整体代入即可； 设，知x是方程的根，可得，再代入可得答案． 本题考查二次根式的混合运算，涉及分式，一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料的方法解决问题． 23.【答案】；   证明见解析；   ①是，； ②  【解析】解：连接CD，如图： 为等腰直角三角形， ，，， ，， 四边形PECF为矩形，为等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ≌， ； 故答案为：； 证明：连接CD，如图： 由知，，，， ， ≌， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形； ①是， 由可知，为等腰直角三角形， 点E与点C关于DF对称， 也为等腰直角三角形， 四边形CDEF为正方形， 连接OE，如图： 四边形PDOF为矩形， ， ， ，， ，， ≌， ， ， ， ， 在直线上， ②点A，B的坐标分别为，，C是AB中点， ， ， ， 四边形CDEF为正方形， 连接CD，根据等腰直角三角形的性质以及矩形的性质得出和全等，即可求出DF和DE的关系； 由方法得出，然后证明，即可证明； ①连接OE，根据可知为等腰直角三角形，由对称可知也是等腰直角三角形，所以四边形CDEF为正方形，根据四边形PDOF为矩形，可以推出和全等，从而得到OE与y轴夹角为定值，即E在直线上； ②根据C，F的坐标得出的表达式，根据四边形CDEF为正方形得出，从而得解． 本题主要考查了一次函数与几何的综合，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是本题解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$