2025年宁夏回族自治区吴忠市第四中学中考数学二模试卷

2025年宁夏吴忠四中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点.中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为已知，则70nm用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.将一元二次方程配方后.结果正确的是(    ) A. B. C. D. 4.为庆祝鹊桥二号中继通信卫星发射成功.学校开展了航天知识竞赛活动.甲、乙、丙、丁四位同学的初赛成绩如表.如果要从4名同学中选一名成绩好且状态稳定的参加决赛，那么应该选择(    ) 甲 乙 丙 丁 平均分 97 96 98 98 方差 A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 5.如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.关于x，y的二元一次方程组的解为，则〇和☆代表的数分别为(    ) A. 和 B. 9和1 C. 和 D. 和1 7.将直尺和量角器按如图方式摆放，其中AB为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与BA的延长线交于点已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①≌；②是等边三角形；③如果，那么以上结论正确的是(    ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，化简：______. 10.因式分解：______. 11.若关于x的分式方程无解，则m的值为______. 12.从，，2，3，5中任取一个数作为a，则抛物线开口向下的概率为______. 13.如图是一个数值转换机的示意图，当输入时，输出的结果是______. 14.我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为______. 15.如图，是的外接圆，，，BD平分，交于点D，则的度数为______. 16.在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上，则代数式的值是______. 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解. 18.本小题6分 下面是小明化简分式的过程，仔细阅读并解答所提出的问题. 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 小明的解法从第______步开始出现错误； 第一步进行了______，它的数学依据是______； 请写出正确的过程和化简结果. 19.本小题6分 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹. 在图①中作出直线AP，使，点P为格点； 在图②中作出以线段AB为腰的等腰三角形ABC，点C为格点，且的面积为8； 在图②中作出的外接圆圆心不要求画 20.本小题6分 某校开设了四类非遗文化社团：A粤剧，B粤绣，C英歌舞，D醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加，学校随机调查了部分参与社团的学生的情况.根据调查结果绘制了不完整的统计图如图： 本次共调查了______名学生，其中参与 B社团的人数是______人； 请补全条形统计图； 学校计划从A、B、C、D四个社团中任选两个社团进行成果展示.请用列表或画树状图的方法.求同时选中A和C两个社团的概率. 21.本小题6分 如图，在中，，D、E分别是AB、BC的中点，， 求证：四边形BDEF是菱形； 连接DF交BC于点M，若，，则______. 22.本小题6分 下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务. 题目：某中学组织学生们到离学校3000m的郊区进行社会调查.一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度. 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间-骑自行车时间 解法二 设… 等量关系：步行的速度=骑自行车的速度 任务： 解法一所列的方程中的x表示______，解法二所列的方程中的 x表示______； A.步行的速度为 B.骑自行车的速度为 C.步行的时间为 任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度. 23.本小题8分 如图.在直角三角形ABC中，，，，动点D以个单位每秒的速度沿的线路运动，交BC于点E，设运动时间为x秒，三角形BDE的周长记为，BC与BD的比值记为 请直接写出、分别关于x的函数表达式，并注明x的取值范围； 在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象； 请结合函数图象，直接写出时，x的取值范围结果保留根号 24.本小题8分 如图，在中，AB是直径，CD是弦，且，垂足为E，，，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使 求证：CF是的切线； 求EF的长. 25.本小题10分 综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，， 解决问题 勤奋小组将和按图1所示的方式摆放点A，C，B在同一条直线上，连接AE，发现，请你给予证明； 如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求的面积； 拓展延伸 如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿CD方向平移acm，得到，连接，，当恰好是以为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值． 26.本小题10分 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点 求直线AB的函数表达式及点C的坐标； 点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为 ①当时，求m的值； ②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：1米纳米， 70纳米米米． 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2.【答案】C  【解析】解：根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方以及积的乘方运算法则逐项分析判断如下： A.计算结果是，原计算错误，故该选项不符合题意； B.计算结果是，原计算错误，故该选项不符合题意； C.，原计算正确，故该选项符合题意； D.计算结果是，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选： 根据选项各自的运算法则一一计算并判断即可． 本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是关键． 3.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， 故选： 根据解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答． 本题考查了解一元二次方程-配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：由表格可知，丙同学的平均分最高，方差最小， 所以应该选择丙同学参加决赛； 故选： 根据平均数越大，方差越小，成绩越优秀越稳定，进行判断即可． 本题考查利用平均数和方差作决策，熟练掌握该知识点是关键． 5.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， ，， ， 故选： 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出的度数． 6.【答案】A  【解析】解：由题意可得：把代入， 得：， 解得：， 即：☆代表的数为， 把，代入〇， 得：〇； 故选： 把代入，求出x的值，再把x，y的值代入第一个方程中，进行求解即可． 本题考查二元一次方程组的解，正确进行是解题关键． 7.【答案】D  【解析】解：由题意可得， ，，，， ， ， 解得， 图中阴影部分的面积为：， 故选： 根据题意可以得到，，，，然后根据锐角三角函数可以求得OC的长，再根据图形可知图中阴影部分的面积为的面积-扇形OCA的面积，然后代入数据计算即可． 本题考查切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数、扇形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8.【答案】D  【解析】解：由题知， BD由BP绕点B逆时针旋转得到， ， 又是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌ 故①正确． ， 是等腰三角形， 又， 是等边三角形． 故②正确． 是等边三角形， ， ， 在中， ≌， ， 故③正确． 故选： 根据图形旋转的性质结合等边三角形的性质，可判断出与全等，利用全等三角形的性质可判断出的形状，根据的度数，得出，再利用勾股定理可得出 本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由数轴上a的位置可得，， 则， 故： 故答案： 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：， ， 先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解． 11.【答案】2  【解析】解：将分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程无解，即分式方程只有增根， ， 即 故答案为： 根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行解答即可． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键． 12.【答案】  【解析】解：从，，2，3，5中任取一个数作为a，共有5种等可能结果，其中抛物线的开口向下的有2种结果， 抛物线开口向下的概率为 故答案为： 共有5种等可能结果，其中抛物线的开口向下的有2种结果，根据概率公式求解可得答案． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数及二次函数的图象与性质． 13.【答案】28  【解析】解：把代入得：， 故答案为：28 把代入数值转换机中计算即可得到输出结果． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， ， ， ，， ， 故答案为 由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由，，BD平分， 得，， 由BD平分， 得， 得 由，，BD平分，得，，由BD平分，得，即可得 本题主要考查了三角形的外接圆，解题关键是利用圆的性质解题． 16.【答案】  【解析】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点， ，且在直线上， ，，， 由旋转的性质可知，， 又， ， ≌， ，， 是双曲线上的一点， ，即 故答案为： 过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，易证≌，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可． 本题考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 17.【答案】1，2，  【解析】解：， 由①得， 由②得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的所有整数解为1，2， 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集内确定其整数解即可． 本题主要考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.【答案】二；   通分，分式的基本性质；    【解析】解：小明的解法从第二步开始出现错误． 故答案为：二； 第一步进行了通分，它的数学依据是：分式的基本性质， 故答案为：通分，分式的基本性质； 观察小明的化简过程，然后找出出现错误的步骤； 根据分式的基本性质进行通分，然后解答即可； 先把分式的分母分解因式，然后进行通分，再按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分即可． 本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 19.【答案】作图见解析；  作图见解析；  作图见解析．  【解析】取格点P，画出直线AP，如图， 则直线AP，使，点P为格点； 由题意：，， ， ， ∽， ， ， ， ， 取格点C，作出，如图， 则为所画的三角形； 由题意：，，， 的面积 以线段AB为腰的等腰三角形，点C为格点，且的面积为8； 由题意：直线BD垂直平分AC， 利用的方法作AB的垂直平分线EF，EF与BD交于点O，如图， 则点O为的外接圆圆心． 利用直角三角形的性质解答即可； 利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； 利用弦的垂直平分线经过圆心的性质解答即可． 本题主要考查了垂直的定义与性质，基本作图，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，三角形的外心，再利用掌握网格的特征是解题的关键． 20.【答案】50；   见解答．    【解析】由题意得，本次共调查了名学生． 其中参与B社团的人数是人 故答案为：50； 补全条形统计图如图所示． 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中同时选中A和C两个社团的结果有：，，共2种， 同时选中A和C两个社团的概率为 用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次共调查的学生人数；本次共调查的学生人数分别减去A，C，D的人数可得参与B社团的人数． 根据所求数据补全条形统计图即可． 列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中A和C两个社团的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】证明见解答过程；    【解析】证明：如图，连接AE， ，， 四边形BDEF是平行四边形， ，E是BC的中点， ， ， 点D是AB的中点， ， 四边形BDEF是菱形； 解：如图，BE交DF于点M， 四边形BDEF是菱形，， ，， ，E分别是AB，BC的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 故答案为： 先证明四边形BDEF是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形BDEF是菱形； 由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出，再根据正切的定义求解即可． 本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】A，C；   答：步行的速度为，骑自行车的速度为；  【解析】解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为； 解法二所列的方程中的x表示步行的时间为 故答案为：A，C； 解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为； 解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为； 根据列表中给出的等量关系得出结论； 根据分式方程的解法解方程即可． 本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． 23.【答案】，；   见解析；   当时，x的取值范围为  【解析】，；理由如下： 在直角三角形ABC中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，，， ，， ，， ，； 依题意，列表： x ⋯ 0 1 2 5 6 ⋯ 0 6 ⋯ 10 5 2 ⋯ 描点，连线，函数图象如图即为所求； 当时，x的取值范围为理由如下： 联立得：， 解得：或不合题意，舍去， 由图象得，当时x的取值范围为 先利用勾股定理求得，，，在中，，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可； 列表，描点，连线，画出函数图象即可； 观察图象分析，找图象在图象上方及交点的部分． 本题属于反比例函数综合题，主要考查了一次函数与几何结合问题、反比例函数的图象与性质、勾股定理及解直角三角形等内容，利用数形结合是解题的关键． 24.【答案】证明：连接OC， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：是直径，CD是弦，且， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ，   【解析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； 根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 25.【答案】解：如图1中， ，都是等边三角形， ，，， ≌， 如图2中，过点B作交AC的延长线于 ， ， ， ， ， 如图3中， 由题意， ， ， ， ， ， 在中，  【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 如图1中，证明≌可得结论． 如图2中，过点B作交AC的延长线于解直角三角形求出BH即可解决问题． 证明，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可． 26.【答案】解：由得，当时，， 解得，， 点A在x轴正半轴上． 点A的坐标为 设直线AB的函数表达式为 将A，B两点的坐标，分别代入， 得， 解得， 直线AB的函数表达式为 将代入，得 点C的坐标为； ①解：点P在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为 点P，D的坐标分别为，， ，， 点C的坐标为， ， 如图1，当点P在直线AB上方时，， ， ， 解得 如图2，当点P在直线AB下方时，， ， ， 解得， ，“ 综上所述，m的值为2或3或； ②解：如图3， 由得，，， 轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为， ， 点P在直线AB上方， 轴于点E， ， ，， ∽， ， ， ， ， 四边形FQED为平行四边形， 轴， 四边形FQED为矩形． ，即， ，， 当时，S的最大值为；  【解析】利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可； ①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明∽，推出，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$