2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷

2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某天：，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是  城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州 气温 A. 哈尔滨 B. 广州 C. 武汉 D. 杭州 2.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为(    ) A. B. C. D. 3.数据显示，自年月日正式发布至年月日，的全球下载量已突破万次，这无疑是应用市场上的一次巨大成功，数据万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列式子运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是(    ) A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 6.如图，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，将正方形绕点顺时针旋转后，点的坐标变为(    ) A. B. C. D. 8.不等式组的解集在数轴上的表示正确的是(    ) A. B. C. D. 9.若点，，其中都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解： ______． 12.分式方程的解是______． 13.从拼音“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 14.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为______． 15.如图，过外一点作圆的切线，，点，为切点，为直径，设，，则，的等量关系为           ． 16.如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点若，且、、三点共线，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 先化简，再求值： ，其中． 小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式 当时，原式． 19.本小题分 如图，在四边形中，，． 求证：． 若，求的长． 20.本小题分 某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按分制进行评分，成绩单位：分均为不低于的整数为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩分 人数 已知八年级名学生成绩的中位数为分． 请根据以上信息，解答下列问题： 样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______，七年级活动成绩的众数为______分 ______， ______． 若认定活动成绩不低于分为“优秀”，则根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 21.本小题分 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． 如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； 如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______； 如图，已知四边形中，，，，作出四边形的“紫金线”． 22.本小题分 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． 图乙中，点对应状态______，点对应状态______，“状态”后填写图形序号 ______， ______； 求线段对应的函数关系式． 已知弹簧测力计在状态时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 23.本小题分 已知函数为常数． 若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； 设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； 若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 24.本小题分 如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，交于点，连接已知． 如图，求证：． 如图，经过圆心，，． 求的值； 若，求的半径． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：哈尔滨与北京的温差为， 广州与北京的温差为， 武汉与北京的温差为， 杭州与北京的温差为， 则与北京气温最接近的城市是杭州， 故选：． 根据正数和负数的实际意义，分别求得各地与北京的温差后选取最小的温差所对应的城市即可． 本题考查正数和负数，有理数的减法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形． 故选：． 找到从左侧面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左侧面看得到的视图． 3.【答案】  【解析】解：万． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：不能合并同类项，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意； 故选：． 根据合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小． 故选：． 根据平均数和方差的定义解答即可． 此题考查了算术平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6.【答案】  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】 解：如图，， ， ， ， 故选C． 7.【答案】  【解析】解：如图，作，将绕点顺时针旋转至， 则，， ， ， 正方形绕点顺时针旋转后，点的坐标变为． 故选：． 作，将绕点顺时针旋转至，即可得出点的坐标． 本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，正确的作出旋转以后的图形是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 故选：． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：反比例函数的， 反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 点在第二象限，，和在第四象限， ， ， ． 故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是关键． 10.【答案】  【解析】解：连接 ：： 设，，则 是平行四边形 ， ：： ：： ：： 设， 则， 则的面积与四边形的面积之比： 故选：． 由：：，可得：：，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得：：，：：，可求的面积与四边形的面积的比值． 本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 应用平方差公式进行因式分解即可． 本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：方程两边都乘， 得出， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 故答案为：． 方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽中字母的结果有种， 抽中字母的概率为． 故答案为：． 由题意知，共有种等可能的结果，其中抽中字母的结果有种，利用概率公式可得答案． 本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：底面半径为，则底面周长， 侧面展开图的面积 故答案为：． 圆锥的侧面积底面周长母线长． 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 15.【答案】  【解析】解：连接， ，是的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 连接，由切线的性质得到，由四边形内角和为得到，根据圆内角定理得到，代入上式即可得到结论． 本题主要考查了切线的性质，四边形内角和为，圆内角定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 16.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，， 如图，过点作于点，得矩形，矩形， ，， 由折叠可知：， ， ， 平分， ， ， ≌， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 过点作于点，得矩形，矩形，证明≌，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 本题考查了作图轴对称变换，角平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 利用算术平方根的定义，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可． 本题考查实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】解：小明的解答中步骤开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 ， 当时， 原式 ．  【解析】根据分式的加减运算顺序和法则即可判断错误位置，先将两分式通分，再计算加法，继而约分即可化简，最后将的值代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19.【答案】证明：， ，， 在和中， ， ≌， ． 解：，， ， ， ， ， ， 的长为．  【解析】由，得，，而，即可根据“”证明≌，得； 根据等腰三角形的“三线合一”得，则，所以，求得． 此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键． 20.【答案】解：；． ；； 不是，理由如下： 结合中所求可得七年级的优秀率为， 八年级的优秀率， 七年级的平均成绩为分 八年级的平均成绩为分 ，， 本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．  【解析】解：由扇形统计图可得，成绩为分人数为 人， 成绩为分的人数为人， 成绩为分的人数为人， 则成绩为分的学生数为人 出现次数最多的为分， 七年级活动成绩的众数为分 故答案为：；． 将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第个和第个数据的平均数， 八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第个和第个数据的和为， 第个和第个数据分别为分，分， 成绩为分和分的人数为人， 成绩为分的人数为人， 成绩为分的人数为人 即，， 故答案为：；； 不是，理由如下： 结合中所求可得七年级的优秀率为， 八年级的优秀率， 七年级的平均成绩为分 八年级的平均成绩为分 ，， 本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高． 分别求得成绩为分，分，分的人数，再结合总人数为人列式计算即可求得成绩头分的学生数，然后根据众数定义即可求得众数； 根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第个和第个数据的平均数，结合已知条件易得第个和第个数据分别为，，再根据表格中数据即可求得答案； 结合中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可， 本题主要考查扇形统计图相关知识，众数，中位数及平均数的求法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 21.【答案】过点不能作出的“紫金线”，   ；   见解析．  【解析】过点不能作出的“紫金线”， 理由：设过点能作直线“紫金线”交于点， 如图： 则点为中点，满足平分面积， ， ， 与周长不相等， 故不能平分该图形周长， 不能作出的“紫金线”； 由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ≌， ， ， ，左右两部分梯形面积也一样， 即平分周长也平分面积， 直线是矩形的“紫金线”， ，， ， ， ， 故答案为：； 如图，直线即为所求： 记直线与，分别交于点、，连接，． 直线是的垂直平分线， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， 直线平分该图形周长， ， ， 直线平分该图形面积， 直线为四边形的“紫金线”． 设过点能作直线“紫金线”交于点，证出，得出与周长不相等，则可得出结论； 由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，证明≌，得出，则可得出结论； 作出的中垂线，记直线与，分别交于点、，连接，证明直线平分该图形周长，也平分该图形面积，则可得出答案． 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22.【答案】，，，；   ；   ．  【解析】圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小， 图乙中，点对应状态，点对应状态， 弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和， ，． 故答案为：，，，． 设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段对应的函数关系式为． 当时，得， 解得， ． 答：圆柱体浸入水中的高度为． 根据“圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小”和“弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和”填空即可； 利用待定系数法解答即可； 当时，求出对应的值，根据“圆柱体浸入水中的高度圆柱体下降的高度从圆柱体开始下降到刚刚接触水面的高度”计算即可． 本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 23.【答案】经过，理由见解析；  ；  或．  【解析】把点代入中，． ． 此函数表达式为：， 当时，． 图象经过点． 抛物线函数为常数的顶点坐标是， ，． ， 把代入， ． 关于的函数解析式为由题意，把代入得， 抛物线不经过第三象限， ，即， ， 抛物线顶点， ， 当时，抛物线不经过第三象限， 解得， ，， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， 不符合题意，舍去或． 当时， 或不符合题意，舍去． 综上所述，或． 把点代入中，即可得到函数表达式，然后根据当时，，即可判断得解； 利用顶点坐标公式得到，，然后消去可得到与的关系式． 由抛物线不经过第三象限可得的取值范围，分别讨论与时为最大值求解． 本题主要考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． 24.【答案】证明见解析；  ；．  【解析】证明：， ． ， ； 解：连接，，如图， 在和中， ， ≌， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ∽， ， ． 为圆的直径， ， ． ， ； 连接，，的延长线交于点，如图， 设的半径，则， 由知：， ， 由知：， ， ，， ， 为的中位线， ， ， ，， ， ， ． 利用等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可； 连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，利用圆的有关性质，等腰三角形的性质和平行线的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用直径所对的圆周角为直角的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； 连接，，的延长线交于点，设的半径，则，利用的结论得到，利用三角形的中位线定理得到，再利用勾股定理列出关于的方程解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，连接圆的半径构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$