专题03 相似三角形的常用模型7大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题03 相似三角形的常用模型 目录 典例详解 类型一、A字型相似 类型二、8字型相似 类型三、三角形内接矩形 类型四、一线三角模型 类型五、母子型相似 类型六、手拉手相似 类型七、做辅助线构造A字或8字型相似 压轴专练 类型一、A字型相似 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 图2 　 图3 ①“”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③同向双“”字模型 条件：如图3，；结论：⇔ 【例1】如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ACD∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD， 故共4对， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 【例2】如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-1】如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即 ∵，，， ∴， ∴EF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 【变式1-2】如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，；已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长 ． （2）若的面积为1，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 2 6 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2； （2）由（1）知，，，， ，， 的面积为1， 的面积是16， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 的面积， 平行四边形的面积． 故答案为：6． 【变式1-3】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 类型二、8字型相似 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“8”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③平行双“8”字模型 条件：如图3，；结论： ④斜双“8”字模型 条件：如图4，；结论：⇔ 【例3】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 【例4】如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， ，， 故选：A． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 【变式2-3】如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 【答案】9 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 类型三、三角形内解矩形 三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形． 若四边形DEFG为矩形，则： 【例5】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 【例6】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【答案】矩形的长为mm，宽是mm． 【详解】解：∵PQMN是矩形， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， 设边PN为xmm，则PQ为2xmm， 即 ∵AD是高， ∴PN∥AD， ∴△PBN∽△ABD， ∴ 即，， ∵AP+BP＝AB， ∴＝1， 解得x＝，2x＝． 即长为mm，宽为mm． 答：矩形的长为mm，宽是mm． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定，证明三角形相似，列出比例式求解． 【变式3-1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式3-2】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上． (1)当点P恰好为的中点时，___________． (2)当时，求出的长度； (3)若，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【答案】(1) (2) (3)矩形的长，宽为 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ，又 ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ， 故答案为：； （2）∵四边形为矩形， （3） 故设，则长为， 由题意知 ∵四边形为矩形， 故． 答：矩形的长，宽为． 类型四、一线三角模型 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． ①一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，，结论：. ②一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，，结论： 【例7】如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 【例8】如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． (1)求证：； (2)若，求MD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知：， ∵四边形ABCD是正方形，∴， ∴， ∴； （2）解：设，，则，设． 在中，， ∴， ∴，即． ∵，∴， ∵， ∴，又∵， ∴， ∴，即， 整理得，∴或（舍去）． ∴． 【变式4-1】如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 【变式4-2】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或4 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， ， ． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴的长为2或4． 【变式4-3】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 类型五、母子型相似 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 ①“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，结论：. ②双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，，结论：；， 【例9】如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 【例10】如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．    【答案】 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 在上取一点使，则， ， 是等边三角形， ， 即， ， ， 设，则， 作延长线于，    ， ， ，， ， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ，， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键． 【变式5-3】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．    【答案】 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 类型六、手拉手相似 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 ①手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，，；结论：；. 【例11】如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 故选：C． 【例12】如图1，在中，是上一点，且，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为（）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵将绕点顺时针旋转到图2的位置， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 【变式6-1】如图，在中，，，点为平面内一点，，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，若，则的长为 ． 【答案】5或/或5 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线交于点F． 当点D在外部时，如图1． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点D在内部时，如图2． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 【变式6-2】（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点， ∴ 由题意∶， ∴， 由旋转知 ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即：， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵， ∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 类型七、作辅助线构造A字或8字型相似 【例13】如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【例14】如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ． 【答案】12 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：12． 【变式7-1】如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式7-2】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 【变式7-3】如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    【答案】6 【详解】解：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 设，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，点O是对角线的交点，点M是上的一点，连结．连结，分别交于点E，F．若的面积为5，，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：∵的面积为5，， ∴的面积为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：B 2．如图，已知是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交与点P，Q，R．有下列结论①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵是三个全等的等腰三角形， ∴， ∴， ∵和有一个公用角，，， ∴，故①是正确的． ∵ ∴ ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ∵由面积关系得， ∴不平分．故④错误． 综上，正确的结论是①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及全等三角形、等腰三角形的性质运用，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 5．在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与交于点，点是的中点，则的长度是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，交于点，作于点， 四边形是正方形， ， ，． ． ． 沿翻折， 点落在点处，点 E 是边 的中点 ，．． 设，则， 在中，，，可得 ，． ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 解得（舍去），． ． ，， ． ，即． 解得 故选：A． 二、填空题 6．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交于点则 ． 【答案】 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 7．如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ 设，则 ∵中，，， ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 8．如图，在矩形中，，分别为边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点恰好落在边的中点处，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 12 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知， 点在边的中点处， ， 在中，， ， 解得， 故的长为12； ， 过点E作于点G， 又， 四边形是矩形， 同理四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， ，， 即，， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 ． 【答案】①②④⑤ 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵与同高， ∴， ∵，F不是中点， ∴， ∴,故③错误； 过点D作于M，过点P作于N， 由题意可得， ∴，， ∴， ∴，故④正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的为①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，在中，，平分，点E在上，射线交于点F，若，，则的长是 ． 【答案】2 【详解】解：如图，作交于， ， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 12．已知，如图，中， (1)求证：； (2)为线段上一点，，， ①求证： ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②6 【详解】（1）证明：，． ， ， 即； （2）①证明：，， ， ， 又， 由（1）得 ②解：由（1）得， 由①得 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的常用模型 目录 典例详解 类型一、A字型相似 类型二、8字型相似 类型三、三角形内接矩形 类型四、一线三角模型 类型五、母子型相似 类型六、手拉手相似 类型七、做辅助线构造A字或8字型相似 压轴专练 类型一、A字型相似 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 图2 　 图3 ①“”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③同向双“”字模型 条件：如图3，；结论：⇔ 【例1】如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【例2】如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则 ． 【变式1-2】如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，；已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长 ． （2）若的面积为1，则平行四边形的面积为 ． 【变式1-3】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 类型二、8字型相似 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，；结论：⇔ ②反“8”字模型 条件：如图2，；结论：⇔ ③平行双“8”字模型 条件：如图3，；结论： ④斜双“8”字模型 条件：如图4，；结论：⇔ 【例3】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【变式2-3】如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 类型三、三角形内解矩形 三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形． 若四边形DEFG为矩形，则： 【例5】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【例6】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【变式3-1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式3-2】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上． (1)当点P恰好为的中点时，___________． (2)当时，求出的长度； (3)若，则这个矩形的长、宽各是多少？ 类型四、一线三角模型 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． ①一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，，结论：. ②一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，，结论： 【例7】如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． (1)求证：； (2)若，求MD的长． 【变式4-1】如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【变式4-2】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【变式4-3】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 类型五、母子型相似 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 ①“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，结论：. ②双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，，结论：；， 【例9】如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【例10】如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【变式5-1】如图，在中，于，求证：． 【变式5-2】如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．    【变式5-3】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．    类型六、手拉手相似 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 ①手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，，；结论：；. 【例11】如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【例12】如图1，在中，是上一点，且，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为（）    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，，，点为平面内一点，，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，若，则的长为 ． 【变式6-2】（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 类型七、作辅助线构造A字或8字型相似 【例13】如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【例14】如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ． 【变式7-1】如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-2】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【变式7-3】如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    一、单选题 1．如图，在中，点O是对角线的交点，点M是上的一点，连结．连结，分别交于点E，F．若的面积为5，，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．如图，已知是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交与点P，Q，R．有下列结论①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 5．在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与交于点，点是的中点，则的长度是（        ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交于点则 ． 7．如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 8．如图，在矩形中，，分别为边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点恰好落在边的中点处，则的长为 ，的长为 ． 9．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 ． 10．如图，在中，，平分，点E在上，射线交于点F，若，，则的长是 ． 三、解答题 11．如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．已知，如图，中， (1)求证：； (2)为线段上一点，，， ①求证： ②求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$