专题04 相似三角形与动点5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题04 相似三角形与动点 目录 典例详解 类型一、相似三角形与运动时间 类型二、相似三角形中动点求线段长度 类型三、相似三角形与函数关系 类型四、相似三角形与线段、线段和的最值问题 类型五、相似三角形与特殊几何的探究问题 压轴专练 类型一、相似三角形与运动时间 【例1】如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 【例2】如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在．理由见解析 (2)存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析 【详解】（1）解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． （2）解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 【变式1-1】如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 秒． 【答案】2或/2或 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 【变式1-2】，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，. (2)在中，；在中， (3)存在，在中，；在中， 【详解】（1）解：，， ∴，. （2）解：当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E． ∴，, 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键. 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．    (1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）； (2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由； (3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值． 【答案】(1)， (2)四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：根据题意，，，又点B的坐标为， 则点P坐标为，点Q坐标为， 故答案为：，； （2）解：四边形的面积不会随时间t的变化而变化， 理由：∵点B坐标为，四边形是矩形， ∴，， 则四边形的面积 ； （3）解：当时， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 【点睛】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 类型二、相似三角形中动点求线段长度 【例3】如图，在正方形中，，E为边上一动点，F为的中点，连接，G为上一点，连接，，H为上一点，，连接．若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图①， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，即． 连接，在中，，， ， ， 点在线段上，如图②，此时， ∴， ∴，， ∵， ， ∵， ， ， 为的中点， ， ， ． 【例4】在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接． (1)如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ； (2)如图2，若，当点运动到中点时，求的值； (3)已知，若，则的长为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于， 由折叠的性质可知垂直平分， 是中点， 是中点， 是的中位线， ，即， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图，延长交于， ∵四边形是菱形，且， ，， 若连接对角线，则为等边三角形， ∵点为中点， ， 设，则， 由勾股定理得， ， 是中点， ∴， ， 由（1）可知，，， ， 又， ， ， ， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 由题意可得，为的中位线， ∴， ； （3）解：①如图，当点在上时，延长交于， ，， ， 在中，设，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ， ； ② 当点在延长线上时， 同理可得， 设，则， ， ，即， 解得， ， 过作于点，则，， ， ； 综上，的长为或； 故答案为：或． 【变式2-1】如图，在中，，点、分别是、边上的动点（不与的顶点重合），且，连接交于点于点，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则，又， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴， 则． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2-2】如图，在边长为2的正方形中，对角线，相交于点，若点为的中点，为直线上的动点（不与点重合），当为以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【详解】解：在正方形中，，，， ， ， 为的中点， ， ， 当为以为腰的等腰三角形时， 如图，当点在的上方时，连接， 若，则，点与点重合，不符合题意， 当， ， ； 如图，当点在的下方，时，连接，，作于点， 设相交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或 【变式2-3】菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 类型三、相似三角形与函数关系 【例5】如图，在中，，，点在边上，，点是边上的动点（不与端点重合），点是边上的动点（不与端点重合），连接，且，若，的面积为，则关于的函数图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 【例6】如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　）     A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是平行x轴的直线的一部分； （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是一条直线的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C． 【变式3-1】如图，正方形的边长为是的中点，是上的动点，在的下方作，设，正方形中在右方的部分面积为，则关于的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图1：当时，点在上．过点作于点，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即． ， ； 如图2：当时，点在上． ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选A 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 类型四、相似三角形与线段、线段和的最值问题 【例7】如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，当取最大值时，值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，即点与点重合时，有最大值， 此时， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例8】如图，矩形纸片中，，，点、分别是边、上的动点，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：当B与重合时，最大，此时E在的垂直平分线上，如图： 矩形纸片中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：；． 【变式4-1】如图所示，矩形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，的平分线分别交于点， （1）当为中点时，的长为 ； （2）当点从运动到的过程中，的最大值为 ； 【答案】 【详解】解：（1）由折叠的性质得，又， ∴， ∴， ∵为中点时， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接，，,当三点共线时，最小，则的值最大． ∵矩形， ∴． ∵，，， ∴． ∵将沿翻折得， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理，角平分线计算，直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形判定是解题的关键． 【变式4-2】【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 【答案】（1）12；（2）①，②存在，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由得，， 故答案为：12； （2）①∵在矩形中， ∴， ∵在中，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当t为时，点A在线段的垂直平分线上； ②存在，理由如下： 如图，过点M作于E， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与四边形面积之比为， ∴与的面积之比为， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴当时，与四边形面积之比为； （3）如图，连接， ∵旋转得到， ∴ ∴， ∴当共线时，的值最小， 如图，连接，作于F，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵旋转得到， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∵ （对顶角相等） ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【变式4-3】如图，在中，，，，点D为斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接． (1)当点D为的中点时，线段与有何位置关系？并说明理由． (2)当点D在什么情况下时，线段的长最小？这个最小值是多少？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)当时，线段的长最小，最小为，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点，即， ∴， ∴点M为的中点， 同理可证点N为的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）解：当时，线段的长最小，理由如下： 如图所示，连接， ， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵点D在上， ∴当时，最小，即此时最小． ∵， ∴ ∵当时，的面积， ∴的最小值为． ∴线段的最小值为， ∴当时，线段的长最小，最小为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 类型五、相似三角形与特殊几何的探究问题 【例9】在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6的正方形中，是边上的动点，过点作交于点，连接，与交于点，取的中点，连接． (1)【问题发现】 试判断线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)【拓展探究】 如图②，延长交于点，连接，试判断线段，与的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题解决】 在（2）的条件下，当是的点时，直接写出线段的长． 【答案】(1)且， (2)，证明见解析 (3)线段的长为或 【详解】（1）结论：且， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 综上所述：且． （2）解：，证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 则，，，． ∵在正方形中，，， ∴， ∴H，B，Q三点共线， 由（1）知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：当点P是的点时，分和两种情况： ①当时，由题意可知，， ∴，， 由（2）知，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得． ②当时，则，， 由（2）知，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得，即， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 【例10】小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形中，，E是边上一点，连接，将沿翻折，得到，点C关于的对称点F恰好落在边上，P是边上一动点(点P不与点D重合)，连接，作关于的对称线段，射线交射线于点G，连接． (1)问题解决： 如图①，当点落在边上时，的度数是________； (2)问题探究： 如图②，当点不在边上时，求的值； (3)拓展延伸： 当时，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解： ∵四边形为矩形， ∴． 由对称的性质可知，， ∴四边形是矩形． ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 由对称的性质可知，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如解图①，过点E作于点H． 由对称的性质可知，， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）知，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论：①如解图②，当点G在的延长线上时，过点G作于点I， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 由（2）知， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②如解图③，当点G在线段上时，过点G作于点H， ， 设与相交于点I． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 由（2）中相似三角形知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了矩形翻折．熟练掌握矩形判定和性质，翻折性质，正方形判定和性质，等边三角形判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 【变式5-1】在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究． 【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______． 【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______． 【答案】（1）1 （2），理由见解析 （3）， 【详解】（1）解：如图，过点P分别作，垂足分别为， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角直角三角三角形， 同理是等腰直角直角三角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点P分别作，垂足分别为， 同理（1）得四边形是矩形，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，即， ∵， ∴， 连接， ∴当两点重合，则时，有最小值，即有最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当两点重合时，有最大值，则有最大值，即有最大值， 此时，， ∴的最大值为； ∴面积的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、相似三角形的判定、勾股定理． 【变式5-2】【初步探究】 （1）如图1，在中，点、、分别在边，，上，，这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你直接写出这组等角（不添加其他辅助线）， 【深入研究】 （2）如图2，，，试说明 【变式探究】 （3）如图3，在等边中，，分别为，边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与，重合）的任意一点，连接，，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）①；②的最小值是 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中， ， ． ， ，且， ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键． 1．如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，； 如图，延长到G，使，连接， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴， 当点E在线段上时，取得最小值，从而取得最小值； ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴取得最小值为，即； 故答案为：． 2．如图1，在平面直角坐标系中，矩形中，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，两点同时停止运动． (1)求、的长（用的代数式表示）； (2)如图2，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图像始终同时经过点和点，求的值； (3)若动点的运动速度是每秒1个单位长度，在运动过程中，平面内是否存在这样一点，使为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）如下图，过点作于点， ∵动点的运动速度是每秒个单位长度， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵点和点均在反比例函数的图像上， ∴， 整理可得， ∵无论为何值时，反比例函数的图像始终同时经过点和点， ∴对于任意，均有成立， ∴，解得， 此时等号两边二次项系数，符合题意， ∴的值为； （3）根据题意，，由（1）（2）可知，，，，， ∴， 分情况讨论， 当点在线段上时， ①如下图，若， 此时， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴； ②若，如下图，连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； ③若，如下图，连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当点在线段上时，如下图，只能是钝角三角形， 若使为顶点的四边形为菱形， 只能有， 此时， ∵， ∴，解得， ∴，，， 设， 则有，， 解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． (1)求的度数； (2)填空： ①__________，②__________，③__________； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)①；②的最小值为 【详解】（1）解：在菱形中，，， ， ，，则， 是等边三角形，则， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：①由（1）知，， ； ②由（1）知， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， ， ， ，， ； ③，， ， ， ，则； ，， ， ， ，则； ； 故答案为：； （3）解：①由（2）中③可知：， ， 由（2）中②可知：， ， ， ， ， ， ， 设、的高为， ； ②， ， ， ， ， 同理可证明， ， 设， ， 当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题主要涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及三角形面积公式等数学概念和定理．通过证明三角形相似得出对应成比例的线段是正确解答此题的关键． 4．如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，见解析 (4)存在，， 【详解】（1）解：如图所示，过D作于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴ ∴当时，则， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，．    当时， ∴，即， ∴（已检验，符合题意）．   当时， ∴，即 ∴（已检验，符合题意）．   ∴当或时，以A，D，P为顶点的三角形与相似． （3）解：不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分，理由如下： ． ， ∴． ∵， ∴方程无实根． ∴不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分． （4）解：∵， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，     ∴， 解得，（已检验）． 5．问题背景 如图1，在中，，，，点、分别是边、上的动点，过点作的垂线，垂足为，连接，．设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为 初步运用 （1）当时， ； 思维探究 （2）若与全等，则 ； 思维拓展 （3）如图2，以，为邻边作，当时，是否存在，使得的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，y 【详解】解：（1），， ， 则， ， ， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． （2）①，此时， 如图1， 此时与重合，此时； ②，此时， 如图， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ 设，则、， 则，， ∴， 解得， ， ， 故答案为：或； （3）①如图，落在上，过作于点， 则四边形是矩形，则， 在中，、、， 则； ②如图，落在上，过作于点，同上， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．如图，在中，．一动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点即停止．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为斜边在左侧作等腰直角三角形．设运动时间为秒． (1)直接写出的长（用含的式子表示）； (2)设与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围； (3)当点在线段上时，连接、，是否存在这样的，使得为等腰三角形？若存在，直接写出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，．当时，．当时， (3)存在这样的，使得成为等腰三角形，即， 【详解】（1）解：由题意得， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （2）解：当过点时，点与点重合，， ， 则，， 当在直线上时，， 当在点时，， 分三种情况：①当时，如图2， ，， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图3， 在中，，， ， ； ③当时，如图4， 由得：， ， ； 综上所述： 当时，． 当时，． 当时，． （3）解：存在这样的，使得成为等腰三角形，，理由如下： 如图5，当在线段上时，， ， ，， ， ， ， 过作于， ， ，， ， 在中，， 当，则， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，如图6，过作于，则， ， ， ， ， ， ， ， 则， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，过作于， 如图7，则四边形是矩形，， 若，由于，则有，即， 即，， 当时，、、三点共线，不存在，故舍去， 综上所述：存在这样的，使得成为等腰三角形，即，； 【点睛】本题是几何中的动点问题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和相似三角形的性质；动点问题一直是中考的热点问题，这类题综合性较强，要认真分析动点运动的时间、速度和路程；本题还考查了动点运动中的问题：等腰直角三角形、重叠部分的面积、函数解析式等；另外，如果某三角形是等腰三角形时，要分三类情况进行讨论． 7．如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当为时，点在线段的垂直平分线上； （3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶ 如图，过作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴当时，的面积是矩形面积的， （4）解：如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴当，，共线时，的值最小， 如图，连接，，设交于，作于，作于， 由知，，， 同理可得，， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， '∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量． 8．如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点不与、重合，过点作交于点．设，点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)． 【答案】(1) (2)图见解析， 随x增大而减小 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可知， 随x增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，． 9．如图，在矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿着折线运动，作，交边或于点，连结．当点与点重合时，点停止运动． (1)当时，求的面积； (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当平分矩形的面积时，求线段的长； (4)当与矩形的对角线平行时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 作，则：， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （2）∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，交于点，当经过点时，平分矩形的面积，作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴； 同（1）可知：为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ； ； （4）当时，如图，过点作，同（3）可知：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得： 当时，如图：作，由（1）可知：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：； 综上：或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 10．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值为或． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形与动点 目录 典例详解 类型一、相似三角形与运动时间 类型二、相似三角形中动点求线段长度 类型三、相似三角形与函数关系 类型四、相似三角形与线段、线段和的最值问题 类型五、相似三角形与特殊几何的探究问题 压轴专练 类型一、相似三角形与运动时间 【例1】如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【例2】如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 秒． 【变式1-2】，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．    (1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）； (2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由； (3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值． 类型二、相似三角形中动点求线段长度 【例3】如图，在正方形中，，E为边上一动点，F为的中点，连接，G为上一点，连接，，H为上一点，，连接．若，则的长为 ． 【例4】在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接． (1)如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ； (2)如图2，若，当点运动到中点时，求的值； (3)已知，若，则的长为 ． 【变式2-1】如图，在中，，点、分别是、边上的动点（不与的顶点重合），且，连接交于点于点，若，则的长为 ． 【变式2-2】如图，在边长为2的正方形中，对角线，相交于点，若点为的中点，为直线上的动点（不与点重合），当为以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【变式2-3】菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 类型三、相似三角形与函数关系 【例5】如图，在中，，，点在边上，，点是边上的动点（不与端点重合），点是边上的动点（不与端点重合），连接，且，若，的面积为，则关于的函数图像是（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　）     A． B． C． D． 【变式3-1】如图，正方形的边长为是的中点，是上的动点，在的下方作，设，正方形中在右方的部分面积为，则关于的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 类型四、相似三角形与线段、线段和的最值问题 【例7】如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，当取最大值时，值等于（     ） A． B． C． D． 【例8】如图，矩形纸片中，，，点、分别是边、上的动点，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最大值为 ． 【变式4-1】如图所示，矩形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，的平分线分别交于点， （1）当为中点时，的长为 ； （2）当点从运动到的过程中，的最大值为 ； 【变式4-2】【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 【变式4-3】如图，在中，，，，点D为斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接． (1)当点D为的中点时，线段与有何位置关系？并说明理由． (2)当点D在什么情况下时，线段的长最小？这个最小值是多少？ 类型五、相似三角形与特殊几何的探究问题 【例9】在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6的正方形中，是边上的动点，过点作交于点，连接，与交于点，取的中点，连接． (1)【问题发现】 试判断线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)【拓展探究】 如图②，延长交于点，连接，试判断线段，与的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题解决】 在（2）的条件下，当是的点时，直接写出线段的长． 【例10】小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形中，，E是边上一点，连接，将沿翻折，得到，点C关于的对称点F恰好落在边上，P是边上一动点(点P不与点D重合)，连接，作关于的对称线段，射线交射线于点G，连接． (1)问题解决： 如图①，当点落在边上时，的度数是________； (2)问题探究： 如图②，当点不在边上时，求的值； (3)拓展延伸： 当时，请求出的面积． 【变式5-1】在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究． 【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______． 【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______． 【变式5-2】【初步探究】 （1）如图1，在中，点、、分别在边，，上，，这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你直接写出这组等角（不添加其他辅助线）， 【深入研究】 （2）如图2，，，试说明 【变式探究】 （3）如图3，在等边中，，分别为，边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与，重合）的任意一点，连接，，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 1．如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，．若，则的最小值为 ． 2．如图1，在平面直角坐标系中，矩形中，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，两点同时停止运动． (1)求、的长（用的代数式表示）； (2)如图2，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图像始终同时经过点和点，求的值； (3)若动点的运动速度是每秒1个单位长度，在运动过程中，平面内是否存在这样一点，使为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． (1)求的度数； (2)填空： ①__________，②__________，③__________； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．问题背景 如图1，在中，，，，点、分别是边、上的动点，过点作的垂线，垂足为，连接，．设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为 初步运用 （1）当时， ； 思维探究 （2）若与全等，则 ； 思维拓展 （3）如图2，以，为邻边作，当时，是否存在，使得的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 6．如图，在中，．一动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点即停止．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为斜边在左侧作等腰直角三角形．设运动时间为秒． (1)直接写出的长（用含的式子表示）； (2)设与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围； (3)当点在线段上时，连接、，是否存在这样的，使得为等腰三角形？若存在，直接写出对应的的值；若不存在，请说明理由． 7．如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 8．如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点不与、重合，过点作交于点．设，点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)． 9．如图，在矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿着折线运动，作，交边或于点，连结．当点与点重合时，点停止运动． (1)当时，求的面积； (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当平分矩形的面积时，求线段的长； (4)当与矩形的对角线平行时，求线段的长． 10．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$