河北省邯郸市涉县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

绝密★启用前 分， 定分对很表公本) 笔分型店半厨甲讲5：D警归站学同5,8停A要绿码甲，吃第型生阳啊5单 处 2024-2025学年下学期期末考试 9 )址 高二数学 官货上防数阔甲(1 户图元枝忠所本感同甲德(S) 里群地理容技计代无，X诗年女远道 甲米过 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x1x<2},B={xy=lnx),则AUB=n试谷，n联 A.(-2,十o）装 B.(2,十∞) C.(-2,2) D-o,2》 2.已知复数z满足z=1十2i,则复数：在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 3.某同学记录了以下数据，分别为12,10,13,11,6,8,16,14，则该组数据的第80百分位数为 A.10 B.13 C.13.5 D.14准茅( 4已知点P(2,1),将线段OP绕坐标原点0逆时针旋转至OP,则点P的纵坐标为 (2 A-号 B号 c3② 2 9 5巳知双商线 _y2 =1>>0)的两条渐近线的夹角的正切值为 ,则该双曲线的离心率为 A号 B.2 C.5 D.3 6已知扇形的圆心角为2，孤长为1，面积为S,扇形所在圆的半径为r,则，5+1+，取最小值 时，半径r的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知函数f)的定义域为R,函数y=f十3)+2是奇函数，则2f)- A.-10 B.-5 C.5 D.10 8已知实数a,6则a-b)2+(侣-b+2+号的最小值为 A婴-吉 c+ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知m,n是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则 A若m⊥a,n⊥a,则m/m 有询，。缺由中 B.若m⊥a,na,则m⊥n )充0 C.若a⊥B,a∩B=n,m⊥n,则m⊥B 大报降日e士A2米() D.若m/a,mB,a∩B=n,则mm 。伤8阳收情述 10.已知函数f)=子+x+(2a-1)x,则 A若a=-1,则函数fG)的极小值点是-号 B函数f(x)的图象关于点(-1，-2a+)中心对称 (代！代小年 C若过点1,0有三条直线与面线y-了)湘句，则实最。的取值范用为仁需 D.若函数f(x)在(1,3)上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（一7,1） 11.已知半圆01：(x一2)2+(y-4)2=4(y≥4)，半圆02与半圆0：关于y轴对称，焦点为F的 抛物线C:x2=4y的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形2，点M,N在2的抛物线 C部分上，点P在半圆O1或半圆O2上，则下列说法正确的是 A若P在半圆O,上，则P到直线0，F的距离最大值为12压+2 13 B.若P在半圆O2上，则|PN|+|FN|的最小值为5 C,若M示=M症，则△PMN的面积的最大值为7 色41个母 D.若P在半圆0，上，Q(1,1)是MN的中点，则Pd:P时的最太值为4香破 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分：1)，S=3S=G.进詩直门 12.已知等比数列{an)的前n项和为Sn,若S2=12,S4=18,则S6= 48且.M 13.如图，在△ABC中，点P在边BC上，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M, N,且P是MN的中点，若Ai=mA店，AN=nA花(m,n>0),则鼎+号的最小值为 潮领五解须强5气商平，米，是比肉帕Q9面平阅日点落 14.已知小张、小王等6名同学需要到甲、乙、丙、丁4个单位去实习，要求每名同学只去一个单位 实习，每个单位都有学生参加实习，则在小张去丁单位实习的前提下，小王不去丁单位实习的 概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+b2-c2-2ab=0. (1)求C (2)求cosA+√2cosB的最大值. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e-2a.x十b,其中a,b∈R (1)若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为x十y一2=0，求a,b的值； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若曲线y=f(x)的一条切线是x轴，求b的取值范围。 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,平面PADL平面ABCD,底面 ABCD为直角梯形，AD=2BC=2,CD⊥BC,AC与BD相交于点N,点M满足PM= 2Md,且BMLAC. (1)求证：PA⊥平面ABCD; (2)求CD的长度； (3)若点B到平面PCD的距离为号，求BD与平面PBC所成角的正弦值 18.(本小题满分17分) 甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B,乙同学做试题C,已知甲同学做对试题 A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对 试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响， (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为X,求X的分布列和数学期望。 19.(本小题满分17分) 列{an》是各项均为正数的递增数列，序列椭圆Ca:。十y=1的离心 a 2 C2的-个焦点为(2,0)，过C.上一点P.(Wany.)(yn>0)作Cm的两条弦PmAn,PB。,交 Cn于另两点A.,B.,且∠A.P.B.的平分线垂直于x轴. (1)求{an}的通项公式； (2)求直线AnB.的斜率； (3)若0为坐标原点，当△0A,B.的面积为受a,时，直线A,B,交x轴于(c0),求证： 一册味公 寸形以3队.3核学 、, 火01甜进过 5题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D c c B A B ABD BCD ABD 1.A解析：根据题意，计算可得集合A=(一2,2)，B=(0,十∞)，所以AUB=(一2，十∞)，故选A 2.C解折：因为=1十2，所以之=1+2-计2登=一2+i,则三=-2-1，所以复数：在复平面内对应的 3 点位于第三象限，故选C, 3.D解析：根据定义，这些数据由小到大的排序为6,8,10,11,12,13,14,16，因为8×80%=6.4，所以第80 百分位数为14，故选D. 4,C解析：设点P是角a终边上一点.则cosa 25 5sinaV5 号，线段OP绕坐标原点O逆时针旋转天至 Op,侧则1OP=5,由题意知，点P'的纵坐标为5sne+)-5停na+竖osa)-3号放选C 5.C解析：因为6>a>0,所以>1，所以-4、 2 下计算可得名-2或名=一（舍去.所以 √5，故选C 6B解折：因为扇形的圆心角为2，所以长1-2，面积S--号×2=r,所以5+1+，名 i=r+ 2+,名=3+1)+，名-3≥15，当且仅当，=2时取等号放选以 7.A解析：函数y=∫(x十3)十2的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数y= ∫(x)的图象，因为函数y=∫(x+3)+2是奇函数，即该函数图象关于(0,0)中心对称，所以函数y= f(x)的图象关于(3，一2)中心对称，所以∫(x)+f(6-x)=一4，因此f(1)+f(5)=一4，∫(2)+ f4)=-4,3)=-2,所以2∫i)=f1)+f(2)+(3)+f4)+f5)=-10,故选A &B解析：根据题意√a一b)+(号-b+2)的几何意义为点(a,)与点6.b-2)之间的距离，分析可 得点a,气)在抛物线2=2上，点66-2)在直线y=x-2上，所以a一b)+(?-b+2)+2的 几何意义为抛物线x2=2y上的点到直线y=x一2的距离与到x轴的距离之和，而抛物线x2=2y上的 点到x轴的距离可转化为抛物线x-2y上的点到抛物线r2=2y的焦点(0，号)的距离减去号，所以最小 值即焦点(6，号)到直线y=:一2的距离碱去号所以最小值为平-方故选且 9.ABD解析：对于选项A,若m⊥a,n⊥a,则m∥m,故选项A正确：对于选项B,由na,不妨设nCy,且 a∩y=l,则lm,又lCa,且m⊥a,所以m⊥l,所以m⊥n,故选项B正确：对于选项C,a⊥B,a∩B=n, m⊥n,因为直线m不一定在平面a上，故选项C错误；对于选项D,由线面平行的性质定理得m∥，故选 项D正确，故选ABD. 10.BCD解析：对于选项A,当a=-1时，x)=弓r+r2-3fx)的定义线为R,f)=r2+2x 3=(x+3)(x-1),令f'(x)=0,得x=-3或x=1,当x∈(-∞，-3)U(1,+∞)时，f'(x)>0, f(x)在（一∞，一3），(1，+∞)上单调递增：当x∈（一3,1）时，f(x)<0,∫(x)单调递减，故函数 fr)的极大值点为-3，极小值点为1，故选项A错误：对于选项.由/)+/-2-)=一如+9得 函数∫)的图象关于点(-1，-2a+)中心对称，故选项B正确：对于选项C,设切点为 (m,子m2+m2+(2a-1)m),此切线的斜率为了(m)=m2+2m+2a-1,所以切线方程为y [启m2+m2+(2a-1Dm]=(m2+2m+2a-1D6-m).化简可得y=(m2+2m+2a-1x- 3m2、 m,将1,0)代入得子m2-2m=2a-1,由题知方程有三个解，令h(m)=号m-2m,则由'(m) 2m2一2=0得m=士1，所以当m∈（一∞，一1）及m∈(1，十∞)时，h'(m)>0,函数h(m)单调递增，当 高二数学(2)·期未A卷答案第2页（共7页） m∈（一1,1）时，h'(m)0,函数么(m)单调递减，所以h(m)有极大值a(一1D-子，极小值么()=一子 分析函数h(m)的图象可得-言<2a-1<专，解得一日<a<名，故选项C正确：对于选项D.厂x) x2+2x+2a一1，若函数f(x)在(1,3)上存在唯一的极值点，则f(x)在(1,3)内只有一个零点，因为 f'(x)图象的对称轴为直线x=一1<1，所以 )<0即2+20：解得-7<a<-1,赦选项D正 f'(3)>0,14+2a>0. 确，故选BCD, 11.ABD解析：根据题意，因为半圆O1:(x一2)2+(y一4)=4(y≥4)表示以O,(2,4)为圆心，2为半径的 圆的上半部分，又因为半圆O2与半圆O1关于y轴对称，可得半圆O2:(x+2)2+(y一4)2=4(y≥4)， 表示以O:(一2,4)为圆心，2为半径的圆的上半部分.对于选项A,直线O,F的方程为3x+2y一2=0， O,到直线0，F的距离为12压，所以P到直线0，F的距离最大值为12压+2，故选项A正确：对于 13 13 选项B,抛物线C:x2-4y的准线为l:y=-1,过点N作NN:⊥l,垂足为N1,则|NF|=|NN,I则 IPN|+|NF|=|PN|+INN:|≥4+1=5，故选项B正确：对于选项C,不妨设直线MN:y=kx+ 1k>0,显然离MN距离最远的，点在O,上，设P到直线MN的距离为d,则d<-2-3到+2，联立 k+1 y=kx+l x2=4y, 消去整理得r-化一4=0,0<k<号-是，则w十红N=,mN=一4，所以 IMNl=+E√cw+)-4rr=4传+1D,所以SAN=是IMNId≤号X +1D气+2-2+T2+3+42+10,设A)=2+T(2+3+4k2+,易 得h(k)在0，上单调递增，所以S△w的最大值为h(经)-，故选项C错误；对于选项D,因为 xi,=4w,=4y,所以(xw一xx)(xu十x)=40yw一yw),所以k=二-u十=之，所 IM-IN 4 x-2y+1=0, 以直线MN的方程为x-2y+1=0,联立 x2=4y, 消去y,整理得x2一2x一2=0，则xM十xy= 2,xwrv=-2,所以MNl=1+)w+w)-4rw-而，PM·P成-(Pi+QM)· +Q)=P:-}1m:=1P:-<1Oà+2)-5-4而+故选项D正确，故 选ABD. 12.21解析：因为数列{an}是等比数列，所以S:,S,一S2,S,一S:成等比数列，因为S2=12,S,=18,所以 S:-S2=6,所以S6-S,=3,所以S6=21. 13.号+反解析：因为点P在BC上，所以A户=AA店+(I-X)AC,因为P是MN的中点，所以A泸- 2AM+2a,又因为i=mA店.AN=nCmn>0),所以A泸=2mA店+2A花所以2m=1 高二数学(2)·期术A卷答案第3页（共7页） 含-1-1.计第可得m+a=2,所以+号-×月+)+)=名×+要+兴）》≥是+，当 且仅当-为，即n=2m=4一2反时等号成立，所以品+子的最小值为号+反。 m'n 11 14.13 解析：限据题意，小张去丁单位实习的简况共有三种：一人去丁单位实习有(C+©)N种，两人 去丁单位实习有CCA种，三人去丁单位实习有CgA种，所以小张去丁单位实习的情况共390种，在 上述小张去丁单位实习的前提下，小王不去丁单位实习的情况共有三种：一人去丁单位实习有 (9+cN种，两人去T单位实习有CGCN种，三人去T单位实习有G州种，共计3知种，所以在 小张去丁单位实习的前提下，小王不去丁单位实习的概率为器-是 15.解：(1)由a2+b2-c2-2ab,得cosC=a2+62-c2_ 4*4*4*44*444*405”(3分） 2ab 2 国为C∈(0，x,所以C=圣 …(5分） (2aosA+EsB=-coB+A》+B-号nB+竖omsB=(B+》, …(10分) 因为0<B<还，所以子<B十< 所以当B十骨-受，即B=晋时，c0sA十2c0sB取得最大值1.…（13分） 16.解：(1)将x=0代入切线方程可得y=2,即f(0)=2,所以1十b=2,解得b=1,…(2分） 由题意得，∫'(0)=一1， 因为f'(x)=e一2a,所以f'(0)=1一2a=一1，解得a=1.…(4分) (2)f(x)=e一2a,当a≤0时，f'(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增；…(5分) 当a>0时，由f'(x)=0,得x=ln(2a), 当x∈（一o∞，ln(2a))时，f'(x)<0,所以f(x)在（一co,ln(2a)上单调递减： 当x∈(ln(2a),十o∞)时，f'(x)>0,所以f(x)在(ln(2a),十co)上单调递增. 综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增：当a>0时，函数f(x)在（一o,ln(2a)上单调递减，在 (n(2公)，十0∞)上单调递增。…(9分) (3)设切点为(o,0),则xo)=0,即e-2a,+b=0, 即 f'(xa)=0,le-2a=0, 以x。=n(2a),a>0,…(11分) 则b=2n(2公）一2，…(12分) 设g(x)=xlnx-x,则g'(x)=lnx, 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,所以g(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以g(x)=g(1)=一1，所以g(x)的值战为[一1，十o∞)， 故b的取值范围为一1，十0∞).…(15分) 17.解：(I)证明：因为底面ABCD为直角梯形，且CD⊥BC,所以ADBC,所以CD⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面PAD, 又因为PAC平面PAD,所以CD⊥PA,…(2分) 过点D可以作DH⊥AB于点H, 高二数学(2)·期末A卷答案第4页（共7页） 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以DH⊥平面PAB, 又因为PAC平面PAB,所以DH⊥PA, …(4分) 又DH∩CD=D,DH,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.…(5分) (2)因为△BNC∽△DNA,所以AN:NC=AD:BC=2:1=PM:MC, 所以MNPA,由(I)可知MN⊥平面ABCD,所以MN⊥AC,…(7分） 又因为BM⊥AC,MN∩BM=M,所以AC⊥平面MBN, 又BDC平面MBN,所以AC⊥BD,所以△ADC刀△DCB,…(8分) 分桥可得品-瓷· 又因为AD=2BC=2,所以CD=√2.… …(10分) (3)以A为坐标原点，D心，AD,A户方向分别为x轴，y轴，：轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Aryz, 则B(√2,1.0)，C(2,2,0),D(0,2,0),设P(0,0,h), DC=(2,0,0),Pi=(0,2.-h),BC=(01,0),B=(-2,-1h),Bd=(-2,1,0),…(11分) 设平面PCD的法向量为m=(x1y1,1), m·DC=0,2x1=0, 则 m·Pi=0,2y1-h:1=0. 令g1=2,则m=(0,h,2),…(12分） 点B到平面PCD的距离为=配m 2 m + 解得h=2,………(13分) 设平面PBC的法向量为n=(x2y2,2), n·BC=0,y:=0, 则 即 n·Bd=0,-2x2-y2+2z2=0. 令=1.则n=(√2,0,1)， 444（14分) 设BD与平面PBC所成角为O, 则in0=|cos(n,Bd)1= 即BD与平面PBC所成角的亚值为号 …（15分） 18.解：(1)设甲同学做对试题A为事件M,甲同学做对试题B为事件N, 由题设可知P(M)=P(MN)十P(MN)=0.6,所以P(MN)=0.4.…(4分) (2)由题设可知，P(M)=0.6,P(N)=0.4,P(MN)=0.2,P(M)=1-P(M)=0.4, 又P(N)=P(MN)十P(MN)=0.4,所以P(MN)=0.2,…(7分) 故P(WIM)=PMN)1 P(M)2 (3)报据题意，P(MN)=1一P(MN)一P(MN)一P(MN)=0.2,…(11分) 分析可得X=0,1,2,3, P(X=0)=0.2×0.4=0.08,P(X=1)=0.6×0.4+0.2×0.6=0.36, P(X=2)=0.6X0.6十0.2X0.4=0.44,P(X=3)=0.2X0.6=0.12,…(15分) 可得X的分布列为 高二数学(2)·期末A卷答案第5页（共7页） X 0 1 2 3 P 0.08 0.36 0.44 0.12 …(们6分） 数学期望E(X)=0×0.08+1X0.36+2×0.44+3×0.12=1.6.…(17分) 19.解：(1)e= a1-a-2 a+1 ，解得1=2a，…(2分) 因为C2的一个焦点为(2,0)，所以4=4x一a2=2a2一a2,所以a2=4, 所以4n=4X20-2=2”.…(4分) (2)由(1)知C.:x2+2y2=2"+ 因为∠APBn的平分线垂直于x轴，所以kA十kp,=0,… (5分) 设A.(x1y1),Bn(x2y:),由题知，直线AB。的斜率存在，可设方程为y=kx十b, 代入C.中整理得(1+2k2)x8+4bx+2(b2-2")=0, 所以x1十x2=一1+20x12 2(b2-2") 1+2k2 …(6分) 由P(2√2可)及kpA,十kp.a=0, 得-2+-2四 =0， x1-2x2-2 即(k.x1十b-√2可)(x2-√2)十(kx2十b-√2可)(x1-√2r)=0,…(8分) 即2kx1x1+(6-√2可-kV√2)(x1十x2)-26-√2可)·√2=0， 代入+签与-222，装理得(E+h-Tk-0-0, 当√2k十b-√2可=0时，ABn过点P.,舍去. 所以k-1=0,解得-竖 …(10分) (3)证明：由(2)知直线A,B的方程为y-号 x+bx+z2=-2b,x1x=62-2, A,B.1=1件Rx+2》-x-5.-2W,…12分) 2 点0到直线AB,的距离d-号16l,（13分 所以△OAB,的面称为号AB,d-号 2 2-6万-号0，解得62=2g,…（14分】 因为y>0,所以b=-V2,cn=√2币. 云安是-0所以 所以 11111-2" 则21 1 1 14115 =3+2一2<6 …(17分) 高二数学(2)·期末A卷答案第6页（共7页）