第六章 第6节 数列中的奇偶项、放缩问题（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第六章 数列 第6节　数列中的奇偶项、放缩问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　奇偶项问题 ★★☆☆☆ 题型二　放缩问题 ★★★☆☆ 考点3 共线向量定理 ★★★☆☆ 【知识拓展】等和线 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】 1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 2.证明数列不等式,有时需要应用放缩法结合数列的求和解决,求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩. 题型一　奇偶项问题★★★☆☆ 角度1　含有(-1)n的类型 【典例】1 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,且2Sn=+an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记cn=(-1)nanan+1,求数列{cn}的前n项和Tn. 【解析】(1)当n=1时,2S1=2a1=+a1, 解得a1=1或a1=0(舍去), 当n≥2时,由2Sn=+an得2Sn-1=+an-1, 两式相减得2an=+an--an-1,n≥2, 所以(an+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=0,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, 又{an}各项均为正数,所以an-an-1=1,n≥2, 所以{an}是公差为1的等差数列,所以an=n. (2)由(1)知cn=(-1)nn(n+1), 当n为偶数时,Tn=(-1)×2+2×3+(-3)×4+4×5+…+[-(n-1)×n]+n×(n+1) =2×(-1+3)+4×(-3+5)+…+n[-(n-1)+n+1] =2×(2+4+…+n) =2×=; 当n(n≥3)为奇数时, Tn=Tn-1-n(n+1) =-n(n+1)=-, 经检验,n=1也满足上式. 综上,Tn= 角度2　已知条件明确的奇偶项问题 【典例】2 (2023·新高考Ⅱ卷节选)已知an=2n+3,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,证明:当n>5时,Tn>Sn. 【证明】因为an=2n+3, bn= 所以Sn==n2+4n. 当n为奇数时, Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+7+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+30+…+(4n+2)] =+ =. 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)==>0, 所以Tn>Sn; 当n为偶数时, Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+7+…+(2n-5)]+[14+22+30+…+(4n+6)] =+=. 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)==>0, 所以Tn>Sn. 综上可知,当n>5时,Tn>Sn. 【思维建模】 1.含有(-1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和; 2.对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以先求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k,求S2k-1. 【变式训练】1 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=2,且an是2与Sn的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(-1)n·log2a2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)因为an是2与Sn的等差中项, 所以2an=Sn+2,① 当n≥2时,2an-1=Sn-1+2,② ①-②得2an-2an-1=an, 所以an=2an-1(n≥2), 又a1=2,所以{an}是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n. (2)bn=(-1)n·log2a2n+1=(-1)n·(2n+1), 当n为偶数时, Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn)=(-3+5)+(-7+9)+…+[-(2n-1)+(2n+1)]=2+2+…+2=2·=n; 当n为奇数时,Tn=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(bn-1+bn)=-3+(-2)+(-2)+…+(-2)=-3+(-2)·=-n-2. 综上所述,数列{bn}的前n项和 Tn= 题型二　放缩问题★★★☆☆ 角度1　先求和再放缩 【典例】3 (2025·丽水、湖州、衢州模拟)设等差数列{an}的公差为d,记Sn是数列{an}的前n项和,若S5=a3+20,S15=a2a3a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若d>0,bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<n+. (1)【解析】由S5=a3+20得5a3=a3+20,故a3=5. 由S15=a2a3a8得15a8=a2a3a8=5a2a8, 所以a8=0或a2=3, 当a8=0时,d==-1, 此时an=a3+(n-3)×d=8-n; 当a2=3时,d=a3-a2=2, 此时an=a3+(n-3)×d=2n-1. 综上,数列{an}的通项公式为an=8-n或an=2n-1. (2)【证明】因为d>0,所以an=2n-1, 所以Sn=n2. 则bn== ==1+ =1+. 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =1++1++1++…+1+ =n+ =n+=n+. 故Tn=n+=n+-<n+. 【思维建模】先对通项进行化简变形,再对数列求和(可以等差、等比数列求和、错位相减、分组求和、倒序相加、裂项相消求和等),再对最后的和进行放缩,完成解题目标. 角度2　先放缩再求和 【典例】4 (2025·重庆部分学校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n+1. (1)证明:数列为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=++…+,证明:Tn<对任意n∈N*恒成立. 【证明】(1)由an+an+1=2n+1得+×=1, 因此-=-, 又-=-, 所以数列 是首项为-,公比为-的等比数列, 因此,-=-×, 所以an=. (2)由已知得a1=1,a2=3,a3=5,…,显然Tn单调递增,T1<T2=+=<. 当n>2且n是奇数时, +=3 =3×<3× =3, 所以Tn=++…+<1+3× =1+3× =-<. 当n>2且n是偶数时,n+1是奇数, 有Tn<Tn+1<, 所以对任意n∈N*,Tn=++…+<. 【思维建模】 1.先放缩再求和方法的使用 (1)使用情景:数列结构复杂,不方便直接求和,通项比较方便放缩(通常放缩成等差数列、等比数列、差比数列或裂项相消数列). (2)解题步骤:先放缩数列的通项,再求和,完成解题目标. 2.放缩的常见技巧 (1)添加或舍去一些项,如:>=|a|,>=n,<=n. (2)将分子或分母放大或缩小,如:<=-,>=-. (3)利用基本不等式等,如:<. 【变式训练】2 (2025·郑州调研)已知函数f(x)=2sin x,把方程|f(x)|=2的正数解从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<. (1)【解析】因为f(x)=2sin x, 令|f(x)|=2,即=1, 所以x=kπ+,k∈Z, 解得x=2k+1(k∈Z), 所以方程|f(x)|=2的正数解从小到大依次为1,3,5,7,…, 所以an=2n-1. (2)【证明】记bn=,数列{bn}的前n项和为Tn, bn===<=, 所以Tn=b1+b2+…+bn < =<. 【限时【变式训练】】（限时：30分钟） 1.已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,证明:Sn<2. 【证明】由an=知Sn=1×+2×+3×+…+n×, 所以Sn=1×+2×+…+(n-1)×+n×, 两式作差得Sn=++++…+-=-=1-, 所以Sn=2-<2. 2.设cn=(-1)n+1(2n-1),求数列{cn}的前n项和Sn. 【解析】当n为偶数时, Sn=(21-1)-(22-1)+(23-1)-(24-1)+…+(2n-1-1)-(2n-1) =21-22+23-24+…+2n-1-2n ==[1-(-2)n] =(1-2n); 当n为奇数时,n-1为偶数, 所以Sn=Sn-1+cn=(1-2n-1)+2n-1=, 综上所述,Sn= 3.(2025·西安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=n2+n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求T99; (3)证明:+++…+>9. (1)【解析】因为2Sn=n2+n,所以Sn=, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n, 因为a1=1也满足上式,故an=n(n∈N*). (2)【解析】因为bn=,且an=n(n∈N*), 所以bn= = =-, 所以T99=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1=9. 即T99=9. (3)【证明】由于==>=-, 故+++…+>-1+-+…+-=-1=9. 所以原不等式成立. 4.(2025·盐城六校联考)已知{an}是首项为1的等比数列,{bn}是首项为2的等差数列,a3=b2且a4=b1+b3. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)将{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A,B,将A∪B的所有元素按从小到大的顺序排列组成新数列{cn},求数列{cn}的前50项和S50; (3)设数列{dn}的通项公式为dn= n∈N*,记{dn}的前n项和为Tn,若 3T2n-1≥22n+1+3nt-14对任意的n∈N*都成立,求正数t的取值范围. 【解析】(1)设{an}的公比为q(q≠0),{bn}的公差为d, 因为a3=b2且a4=b1+b3, 所以q2=2+d,q3=4+2d, 解得q=2,d=2, 所以an=2n-1,bn=2n. (2)由(1)知an=2n-1,bn=2n, 因为数列{bn}是正偶数构成的等差数列, 数列{an}除首项外,其余项都是2的倍数, 所以数列{cn}的前50项和S50=1+2×49+×2=2 451. (3)因为dn= 所以T2n-1=d1+d2+d3+d4+…+d2n-1=(2+23+25+…+22n-1)+(4+6+8+…+2n)=+(n-1)=-++n2+n, 由3T2n-1≥22n+1+3nt-14得3≥22n+1+3nt-14, 即t≤n++1对任意的n∈N*都成立, 因为n++1≥2+1,n∈N*,等号取不到, 当n=1时,1+2+1=4, 当n=2时,2+1+1=4, 所以正数t的取值范围是0<t≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第6节　数列中的奇偶项、放缩问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　奇偶项问题 ★★☆☆☆ 题型二　放缩问题 ★★★☆☆ 考点3 共线向量定理 ★★★☆☆ 【知识拓展】等和线 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】 1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 2.证明数列不等式,有时需要应用放缩法结合数列的求和解决,求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩. 题型一　奇偶项问题★★★☆☆ 角度1　含有(-1)n的类型 【典例】1 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,且2Sn=+an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记cn=(-1)nanan+1,求数列{cn}的前n项和Tn. 角度2　已知条件明确的奇偶项问题 【典例】2 (2023·新高考Ⅱ卷节选)已知an=2n+3,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,证明:当n>5时,Tn>Sn. 【变式训练】1 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=2,且an是2与Sn的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(-1)n·log2a2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn. 题型二　放缩问题★★★☆☆ 角度1　先求和再放缩 【典例】3 (2025·丽水、湖州、衢州模拟)设等差数列{an}的公差为d,记Sn是数列{an}的前n项和,若S5=a3+20,S15=a2a3a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若d>0,bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<n+. 角度2　先放缩再求和 【典例】4 (2025·重庆部分学校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n+1. (1)证明:数列为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=++…+,证明:Tn<对任意n∈N*恒成立. 【变式训练】2 (2025·郑州调研)已知函数f(x)=2sin x,把方程|f(x)|=2的正数解从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<. 【限时【变式训练】】（限时：30分钟） 1.已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,证明:Sn<2. 2.设cn=(-1)n+1(2n-1),求数列{cn}的前n项和Sn. 3.(2025·西安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=n2+n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求T99; (3)证明:+++…+>9. 4.(2025·盐城六校联考)已知{an}是首项为1的等比数列,{bn}是首项为2的等差数列,a3=b2且a4=b1+b3. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)将{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A,B,将A∪B的所有元素按从小到大的顺序排列组成新数列{cn},求数列{cn}的前50项和S50; (3)设数列{dn}的通项公式为dn= n∈N*,记{dn}的前n项和为Tn,若 3T2n-1≥22n+1+3nt-14对任意的n∈N*都成立,求正数t的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$