第六章 第5节 数列求和（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第六章 数列 第5节　数列求和 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 特殊数列的求和公式 ★★★☆☆ 考点2 数列求和的几种常用方法 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.特殊数列的求和公式★★★☆☆ (1)等差数列的前n项和公式: Sn==na1+d. (2)等比数列的前n项和公式: Sn= 2.数列求和的几种常用方法★★★☆☆ (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解. 【考法归纳】 1.1+2+3+4+…+n=. 2.12+22+…+n2=. 3.裂项求和常用的三种变形 (1)=-. (2)=. (3)=-. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.(　　) (2)当n≥2时,=.(　　) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和.(　　) (4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.(　　) 2.(苏教选修一P181T11(1)改编)数列{an}中,an=,则数列{an}的前2 026项和S2 026=　　　　.  3.(人教A选修二P40习题T3(1)改编)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  4.(人教B选修三P44T1改编)数列{(n+3)·2n-1}前20项的和为　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　分组求和与并项求和 【典例】1 (2025·邯郸调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列bn=(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和T2n. 【变式训练】1 (2025·潍坊测评)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an,a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. 考点二　裂项相消法求和 【典例】2 (2025·广东部分学校联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,nSn+1=(n+2)Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,若数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和. 【变式训练】2 (2025·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=2an+n2-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 考点三　错位相减法求和 【典例】3 (12分)(2024·全国甲卷)设Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 【变式训练】3 (2025·南通、徐州大联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an·,求数列{bn}的前n项和Tn. 【限时【变式训练】】（限时：60分钟） 1.已知数列{an}满足a3=,an+1=. (1)求证:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn. 2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+4,数列{bn}的首项为b1=2. (1)若{bn}是公差为3的等差数列,求证:{}也是等差数列. (2)若{}是公比为2的等比数列,求数列{bn}的前n项和. 3.(2025·上海宝山区模拟改编)已知函数f(x)=(x+1)3+1,正项等比数列{an}满足a1 014=,求 f(lg ak). 4.(2025·青岛调研)已知{an}和{bn}是各项均为正整数的无穷数列,若{an}和{bn}都是递增数列,且{an}中任意两个不同的项的和不是{bn}中的项,则称{an}被{bn}屏蔽.已知数列{cn}满足++…+=n(n∈N*). (1)求数列{cn}的通项公式; (2)若{dn}为首项与公比均为c1+1的等比数列,求数列{cn·dn}的前n项和Sn,并判断{Sn}能否被{cn}屏蔽,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第5节　数列求和 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 特殊数列的求和公式 ★★★☆☆ 考点2 数列求和的几种常用方法 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.特殊数列的求和公式★★★☆☆ (1)等差数列的前n项和公式: Sn==na1+d. (2)等比数列的前n项和公式: Sn= 2.数列求和的几种常用方法★★★☆☆ (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解. 【考法归纳】 1.1+2+3+4+…+n=. 2.12+22+…+n2=. 3.裂项求和常用的三种变形 (1)=-. (2)=. (3)=-. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.(　　) (2)当n≥2时,=.(　　) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和.(　　) (4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.(　　) 【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 【解析】(3)要分a=0或a=1或a≠0且a≠1讨论求解. 2.(苏教选修一P181T11(1)改编)数列{an}中,an=,则数列{an}的前2 026项和S2 026=　　　　.  【答案】 【解析】由题意得an==-, 故S2 026=++…+=1-=. 3.(人教A选修二P40习题T3(1)改编)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  【答案】2n+1-2+n2+n 【解析】Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=+n(n+1)=2n+1-2+n2+n. 4.(人教B选修三P44T1改编)数列{(n+3)·2n-1}前20项的和为　　　　.  【答案】22×220-2 【解析】S20=4×1+5×21+6×22+…+23×219,2S20=4×2+5×22+6×23+…+23×220, 两式相减,得-S20=4+2+22+…+219-23×220=4+-23×220=-22×220+2, 故S20=22×220-2. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　分组求和与并项求和 【典例】1 (2025·邯郸调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列bn=(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和T2n. 【解析】(1)因为Sn=n2+1, 当n=1时,a1=S1=12+1=2, 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+1, 则an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1, 当n=1时,a1不满足上式, 所以an= (2)由(1)可得 bn=(-1)nan= 所以T2n=-2+3-5+7-9+11-13+…+(4n-5)-(4n-3)+(4n-1) =-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+…+[(4n-5)-(4n-3)]+4n-1 =-2-2(n-1)+4n-1=2n-1. 【思维建模】 1.分组转化法求和的常见类型主要有:分段型(如①an=②an=2n+3n-1);周期型. 2.并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两或几个相结合求解,则称之为并项求和.形如an= (-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 【变式训练】1 (2025·潍坊测评)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an,a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. 【解析】(1)因为Sn=an, 当n≥2时,Sn-1=an-1, 两式相减得=, 所以=2,=,…,=,由累乘法得=n, 所以an=n(n≥2),当n=1时,符合上式,所以an=n(n∈N*). (2)bn= 当n为奇数时,bn=1++1--2 =2, 所以T2n=22+24+…+22n+2=+=+. 考点二　裂项相消法求和 【典例】2 (2025·广东部分学校联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,nSn+1=(n+2)Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,若数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和. 【解析】(1)因为nSn+1=(n+2)Sn,且n∈N*, 所以=, 可知数列为常数列,且==, 则=,即Sn=, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n, 且a1=1也符合上式,所以an=n,n∈N*. (2)由(1)可得bn=2n, 则cn== =- 设{cn}的前n项和为Tn, 则Tn=c1+c2+…+cn =-+-+…+-=1-, 所以{cn}的前n项和为1-. 【思维建模】 1.裂项是通分的逆变形,裂项时需要注意两点:一是要注意裂项时对系数的调整;二是裂项后,要注意从哪里开始相互抵消,前面留下哪些项,后面对应留下哪些项,应做好处理. 2.常见的几种裂项结构: (1)等差型:=(an≠0,d≠0). (2)指数型:=-. (3)对数型:logn=lognan+1-lognan(an>0). (4)无理型:=(-)(a>0,b>0). 【变式训练】2 (2025·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=2an+n2-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 【解析】(1)因为2Sn=2an+n2-1,① 所以当n≥2时,2Sn-1=2an-1+(n-1)2-1,② ①-②得2an=2an-2an-1+2n-1, 整理得an-1=n-,n≥2, 所以an=n+,n∈N*. (2)由(1)知an=n+, 所以= =-=-, 所以Tn=++…+ =-+-+…+- =-. 考点三　错位相减法求和 【典例】3 (12分)(2024·全国甲卷)设Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. [思路分析]　 (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去4Sn=3an+4中的Sn,得到an与an-1的递推式,可判断{an}为等比数列,利用公式可求其通项. (2)根据bn=(-1)n-1nan求出{bn}的通项公式,利用错位相减法求Tn. [规范解答]　 【解析】(1)因为4Sn=3an+4,① 所以当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4.② 则当n≥2时, →利用an=Sn-Sn-1消去Sn(1分) 即an=-3an-1. 当n=1时,由4Sn=3an+4. 得→求出a1(3分) 所以a1=4≠0,(4分) 所以数列{an}是以4为首项,-3为公比的等比数列, 所以an=4×(-3)n-1. →求{an}的通项公式(5分) (2)因为bn=(-1)n-1nan=(-1)n-1n×4×(-3)n-1=→求bn(7分) 所以Tn=4×30+8×31+12×32+…+4n·3n-1,所以 →给和式乘以等比数列的公比(8分) 两式相减得-2Tn=4+4(31+32+…+3n-1)-4n·3n= →作差转化为等比数列求和 =-2+(2-4n)·3n,(11分) 所以Tn=1+(2n-1)·3n. →整理求Tn(12分) [满分规则] ❶得步骤分 ①处利用an=Sn-Sn-1消去Sn即可得2分,④处有错位相减求和的意识,即使后续计算错误也可得2分,②处若忘掉求a1,则会失掉1分. ❷得关键分 ③处求得bn是解第(2)题的关键,此处出错或不能根据其特征得到求其和的方法,那么第(2)题会不得分. ❸得计算分 ⑤处需要准确的计算,否则不得分,这也是错位相减法易出错处. 【变式训练】3 (2025·南通、徐州大联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an·,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)因为4Sn=(an+1)2, 所以当n≥2时,4Sn-1=(an-1+1)2, 所以4an=(an+1)2-(an-1+1)2=-+2an-2an-1, 整理,得2an+2an-1=(an-an-1)(an+an-1), 因为an>0, 所以an-an-1=2, 所以数列{an}是公差为2的等差数列. 当n=1时,4S1=4a1=(a1+1)2, 解得a1=1, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)得bn=an·=(2n-1)(2n+1-1) =(2n-1)2n+1-(2n-1), 记An= (2i-1)2i+1, Bn=(2i-1), 则Bn=(2i-1)=n2, 因为An=(2i-1)2i+1,2An=(2i-1)2i+2, 所以-An=22+2(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+2=-(2n-3)2n+2-12, 所以An=(2n-3)2n+2+12, 所以Tn=An-Bn=(2n-3)2n+2+12-n2. 【限时【变式训练】】（限时：60分钟） 1.已知数列{an}满足a3=,an+1=. (1)求证:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn. (1)【证明】显然an≠0,an+1=两边同时取倒数,得==+2, 即-=2, 所以数列是公差为2的等差数列. 又a3=,所以=+(n-3)×2=2n, 所以an=. (2)【解析】由已知得bn=·= =,则数列{bn}的前n项和 Tn= ==. 2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+4,数列{bn}的首项为b1=2. (1)若{bn}是公差为3的等差数列,求证:{}也是等差数列. (2)若{}是公比为2的等比数列,求数列{bn}的前n项和. (1)【证明】因为数列{bn}是首项为b1=2,公差为3的等差数列, 所以bn=2+3(n-1)=3n-1, 所以=2bn+4=2(3n-1)+4=6n+2, 所以-=6(n+1)+2-(6n+2)=6, 所以数列{}是以6为公差的等差数列. (2)【解析】因为{}是公比为2的等比数列,数列{bn}的首项为b1=2,an=2n+4, 所以=a2=2×2+4=8, 所以=8×2n-1=2n+2. 又因为an=2n+4, 所以=2bn+4, 所以2bn+4=2n+2, 解得bn=2n+1-2, 所以b1+b2+b3+…+bn=(21+1-2)+(22+1-2)+(23+1-2)+…+(2n+1-2) =22+23+…+2n+1-2n =-2n=2n+2-2n-4, 所以数列{bn}的前n项和为2n+2-2n-4. 3.(2025·上海宝山区模拟改编)已知函数f(x)=(x+1)3+1,正项等比数列{an}满足a1 014=,求 f(lg ak). 【解析】函数f(x)=(x+1)3+1的图象,可看成曲线y=x3向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的. 因为曲线y=x3的对称中心为(0,0), 所以函数f(x)=(x+1)3+1的图象的对称中心为(-1,1), 所以f(x)+f(-2-x)=2. 因为正项等比数列{an}满足a1 014=, 所以a1·a2 027=a2·a2 026=…==, 所以lg a1+lg a2 027=lg a2+lg a2 026=…=2lg a1 014=-2, 所以f(lg a1)+f(lg a2 027)=f(lg a2)+f(lg a2 026)=…=2f(lg a1 014)=2, f(lg ak)=f(lg a1)+f(lg a2)+f(lg a3)+…+f(lg a2 027),① f(lg ak)=f(lg a2 027)+f(lg a2 026)+f(lg a2 025)+…+f(lg a1).② 由①②相加得2f(lg ak)=[f(lg a1)+f(lg a2 027)]+[f(lg a2)+f(lg a2 026)]+…+[f(lg a2 027)+f(lg a1)], 即2f(lg ak)=2 027×2, 所以f(lg ak)=2 027. 4.(2025·青岛调研)已知{an}和{bn}是各项均为正整数的无穷数列,若{an}和{bn}都是递增数列,且{an}中任意两个不同的项的和不是{bn}中的项,则称{an}被{bn}屏蔽.已知数列{cn}满足++…+=n(n∈N*). (1)求数列{cn}的通项公式; (2)若{dn}为首项与公比均为c1+1的等比数列,求数列{cn·dn}的前n项和Sn,并判断{Sn}能否被{cn}屏蔽,请说明理由. 【解析】(1)由题意得,++…+=n, 令n=1,可得c1=1, 当n≥2时,++…+=n-1, 作差可得cn=2n-1(n≥2), 又c1=1满足上式,所以cn=2n-1(n∈N*). (2)因为c1=1,所以dn=2n, 所以cn·dn=(2n-1)·2n, 则Sn=1×21+3×22+…+(2n-1)×2n, 2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1, 作差得,-Sn=2+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1 =2+2×-(2n-1)×2n+1 =-6+(3-2n)×2n+1, 所以Sn=(2n-3)·2n+1+6. 显然,{Sn}是递增数列,且各项均为偶数, 而递增数列{cn}的各项均为奇数, 所以{Sn}中的任意两项的和均不是{cn}中的项, 所以{Sn}能被{cn}屏蔽. 学科网（北京）股份有限公司 $$