第六章 第4节 数列中的构造问题（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第六章 数列 第4节　数列中的构造问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　形如an+1=pan+f(n)型 ★★★☆☆ 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1)型 ★★★☆☆ 题型三　倒数为特殊数列(形如an+1=型) ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法,还有构造法,其总的思想是根据数列的递推公式,利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解. 题型一　形如an+1=pan+f(n)型★★★☆☆ 角度1　an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 【典例】1 在数列{an}中,a1=1,an=an-1+2(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　　　.  【答案】an=-3+4 【解析】法一　设an+λ=(an-1+λ), 即an=an-1-λ, 所以-λ=2,即λ=-4, 所以an-4=(an-1-4). 又a1-4=-3,所以an-4=(-3), 故数列{an}的通项公式为an=-3+4. 法二　由an=an-1+2(n≥2)得 an-1=an-2+2(n≥3), 所以an-an-1=(an-1-an-2)(n≥3). 因为a1=1,a2=a1+2=, 所以a2-a1=, 所以an-an-1=(n≥2), 所以由累加法可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=·+1=-3+4(n≥2),又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=-3+4. 角度2　an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0) 【典例】2 (2025·广东大联考)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　.  【答案】an=3n-2(n-1) 【解析】法一　设an+1+p(n+1)+q=3(an+pn+q),即an+1=3an+2pn+2q-p, 与原式相比较,对应项系数相等得 解得 首项a1+2-2=3, 所以数列{an+2n-2}是首项为3,公比为3的等比数列, 故an+2n-2=3×3n-1=3n, 故an=3n-2(n-1). 法二　因为an+1=3an+4n-6(n∈N*), 所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)], 因为a1=3,所以a1+2×(1-1)=3, 所以{an+2(n-1)}是首项为3,公比为3的等比数列, 则an+2(n-1)=3·3n-1=3n, 所以an=3n-2(n-1). 角度3　an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 【典例】3 (2025·宜春调研)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项an=(　　) A.-3×2n-1 B.3×2n-1 C.5n+3×2n-1 D.5n-3×2n-1 【答案】D 【解析】法一　在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1, 得=×+,① 令bn=, 则①式变为bn+1=bn+, 即bn+1-1=(bn-1), 所以数列{bn-1}是等比数列, 其首项为b1-1=-1=-,公比为, 所以bn-1=-×, 即bn=1-×, 所以=1-×=1-, 所以an=5n-3×2n-1. 法二　设an+1+k×5n+1=2(an+k×5n), 则an+1=2an-3k×5n, 与an+1=2an+3×5n比较可得k=-1, 所以an+1-5n+1=2(an-5n), 所以数列{an-5n}是首项为a1-5=-3, 公比为2的等比数列, 所以an-5n=-3×2n-1, 所以an=5n-3×2n-1. 【思维建模】 1.形如 an+1=αan+β(α≠0,1,β≠0)的递推式可用构造法求通项,构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列. 2.递推公式an+1=αan+β的推广式an+1=αan+β×γn(α≠0,1,β≠0,γ≠0,1),两边同时除以γn+1后得到=·+,转化为bn+1=kbn+(k≠0,1)的形式,通过构造公比是k的等比数列求解. 【变式训练】1 (1)已知数列{an}满足an+1=2an+n,a1=2,则an=　　　　.  【答案】2n+1-n-1 【解析】令an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y), 即an+1=2an+xn+y-x, 与原等式比较得,x=y=1, 所以=2, 所以数列{an+n+1}是以a1+1+1=4为首项,2为公比的等比数列, 所以an+n+1=4×2n-1,即an=2n+1-n-1. (2)(2025·烟台质检)若数列{an}满足a1=2,an+1-2an=3n-1,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  【答案】2n-1+3n-1 【解析】因为an+1-2an=3n-1, 即=·+1, 所以-3=, 所以=. 因为a1=2,所以-3=3, 故是以3为首项,为公比的等比数列, 所以-3=3×, 所以an=2n-1+3n-1. 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1)型★★★☆☆ 【典例】4 已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.  【答案】 【解析】法一　因为an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*), 设bn=an+1+an, 所以===3, 又因为b1=a2+a1=3, 所以{bn}是首项为3, 公比为3的等比数列. 所以bn=an+1+an=3×3n-1=3n, 从而+·=, 不妨令cn=,即cn+1+cn=, 故cn+1-=-, 即=-, 又因为c1-=-=, 所以数列是首项为,公比为-的等比数列, 故cn-=×=-, 从而an=. 法二　因为方程x2=2x+3的两根为-1,3, 可设an=c1·(-1)n-1+c2·3n-1, 由a1=1,a2=2, 解得c1=,c2=, 所以an=. 【思维建模】可以化为an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列{an-an-1},若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{an}. 【变式训练】2 若x=1是函数f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1(n∈N*)的极值点,数列{an}满足a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  【答案】3n-1 【解析】f′ (x)=4an+1x3-3anx2-an+2, ∴f′ (1)=4an+1-3an-an+2=0, 即an+2-an+1=3(an+1-an), ∴数列{an+1-an}是首项为2,公比为3的等比数列,∴an+1-an=2×3n-1, 则an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1 =2×3n-2+…+2×30+1 =2×(3n-2+3n-3+…+31+30)+1 =2×+1 =3n-1-1+1=3n-1. 题型三　倒数为特殊数列(形如an+1=型)★★★☆☆ 【典例】5 已知在数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=　　　　.  【答案】 【解析】由an+1=,得=+. 设+p=, 即=+, 故=,p=1, 所以+1=, 则数列是以+1=2为首项, 以为公比的等比数列. 所以+1=2·, 即an=. 【思维建模】两边同时取倒数转化为=·+的形式,化归为bn+1=pbn+q型,求出的表达式,再求an. 【变式训练】3 (2025·重庆诊断)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 【答案】D 【解析】易知an≠0,an+1=, 即==4+, 可得-=4,又a1=1, 所以数列是首项为1,公差为4的等差数列, 所以=1+4(n-1)=4n-3,即an=. 【限时【变式训练】】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+1,则a4的值为(　　) A.15 B.23 C.32 D.42 【答案】B 【解析】因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1), 所以{an+1}是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以an+1=3·2n-1, 所以an=3·2n-1-1,所以a4=23. 2.在数列{an}中,a1=5,且满足-2=,则数列{an}的通项公式an=(　　) A.2n-3 B.2n-7 C.(2n-3)(2n-7) D.2n-5 【答案】C 【解析】因为-2=, 所以-=2,又=-1, 所以数列是以-1为首项,公差为2的等差数列, 所以=-1+2(n-1)=2n-3, 所以an=(2n-3)(2n-7). 3.(2025·广州调研)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2n,n∈N*,则a4等于(　　) A.64 B.56 C.32 D.24 【答案】C 【解析】由an+1=2an+2n得-=,而=, ∴数列是首项为,公差为 的等差数列, ∴=+(n-1)×=, ∴an=n·2n-1,∴a4=4×24-1=32. 4.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 【答案】C 【解析】由an=3an-1+4an-2(n≥3), 得an+an-1=4(an-1+an-2), 即=4(n≥3), 又a1+a2=4, 所以数列{an+an+1}是等比数列,公比为4,首项为4,所以a9+a10=49. 5.在数列{an}中,若a1=3,an+1=,则an等于(　　) A.2n-1 B.3n-1 C. D. 【答案】D 【解析】由a1=3,an+1=知an>0, 对an+1=两边取以3为底的对数得, log3an+1=2log3an,则数列{log3an}是以log3a1=1为首项,2为公比的等比数列, 则log3an=1·2n-1=2n-1,即an=. 6.(2025·盐城质检)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 【答案】C 【解析】因为an+1=an+2+1, 所以an+1+1=()2+2+1, 即an+1+1=(+1)2, 等式两边开方可得=+1, 即-=1, 所以数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列, 所以=2+(n-1)×1=n+1, 所以an=n2+2n, 所以a10=102+20=120. 7.(2025·北京海淀区模拟)将一些数排成如图所示的倒三角形,其中第一行各数依次为1,2,3,…, 2 025,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于(　　) A.2 025×22 022 B.2 026×22 023 C.2 025×22 023 D.2 026×22 024 【答案】B 【解析】记第n行的第一个数为an, 则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2, a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2, ∴=+1,即是以=2为首项,1为公差的等差数列, ∴=2+(n-1)×1=n+1, ∴an=(n+1)×2n-2. 又每行比上一行的数字少1个, ∴最后一行为第2 025行, ∴M=a2 025=2 026×22 023. 8.(2025·哈尔滨调研)符号[x]表示不超过实数x的最大整数,如[2.3]=2,[-1.9]=-2.已知数列{an}满足a1=1,a2=5,an+2+4an=5an+1.若bn=[log2an+1],Sn为数列的前n项和,则[S2 026]=(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 【答案】B 【解析】因为an+2+4an=5an+1, 则an+2-an+1=4(an+1-an),且a2-a1=4, 所以数列{an+1-an}是首项为4,公比也为4的等比数列, 所以an+1-an=4×4n-1=4n,① 由an+2+4an=5an+1可得 an+2-4an+1=an+1-4an, 且a2-4a1=1, 所以数列{an+1-4an}为常数列, 且an+1-4an=1,② 由①②可得an=. 因为-4n==>0, -2·4n= =-<0, 则4n<an+1=<2·4n, 所以2n<log2an+1<2n+1, 所以bn=[log2an+1]=2n, 所以== =2 025, 所以S2 026=2 025× =2 025×=2 025-∈(2 024,2 025), 因此,[S2 026]=2 024. 二、多选题 9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等差数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递减数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 【答案】CD 【解析】因为an+1=, 所以==+3, 所以+3=2, 且+3=4≠0, 所以是以4为首项,2为公比的等比数列,即+3=4×2n-1, 所以=2n+1-3,可得an=,故A,B错误; 因为=2n+1-3单调递增, 所以an=单调递减, 即{an}为递减数列,故C正确; 的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=(22+23+…+2n+1)-3n =22×-3n=2n+2-3n-4.故D正确. 10.(2025·宁波质检)已知数列{an}满足a1=1,4an+1=3an-n+4,则下列结论正确的是(　　) A.a3= B.a3= C.{an+n-8}是等比数列 D.{an+2}不可能是等比数列 【答案】ACD 【解析】∵a1=1,4an+1=3an-n+4, ∴a2=,a3=,故A正确,B错误; ∵4an+1=3an-n+4, ∴an+1=an-n+1, ∴an+1+(n+1)-8=an-n+1+(n+1)-8=an+n-6=(an+n-8), 又∵a1+1-8=-6, ∴数列{an+n-8}是首项为-6,公比为的等比数列,故C正确; ∵a1+2=3,a2+2=,a3+2=, 显然(a2+2)2≠(a1+2)(a3+2), ∴{an+2}不可能是等比数列,故D正确. 11.已知数列{an}满足a1=1,an-3=2an(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=3n-n 【答案】AB 【解析】因为an-3an+1=2anan+1, 所以+1=3, 又+1=2≠0, 所以是以2为首项,3为公比的等比数列,故A正确; +1=2×3n-1,即an=,故B正确; 所以{an}为递减数列,故C错误; 的前n项和Tn=(2×30-1)+(2×31-1)+…+(2×3n-1-1) =2(30+31+…+3n-1)-n =2×-n =3n-n-1,故D错误. 三、填空题 12.(2025·海南质检)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=　　　　.  【答案】2n-1 【解析】由题知an+2-an+1=2(an+1-an), 因为a2-a1=2,所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1-an=2n, 当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1, 显然n=1时满足上式,所以an=2n-1. 13.已知数列{an}满足a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2,若[x]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]=1, [-1.6]=-2),则++…+=　　　　.  【答案】2 026 【解析】由题设,(an+2-an+1)-(an+1-an)=2, a2-a1=4, 故{an+1-an}是首项为4,公差为2的等差数列, 则an+1-an=2n+2, 则an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1 =an-a1=2[(n-1)+…+1]+2(n-1) =(n+2)(n-1), 所以an=n(n+1),故=1+, 又n∈N*, 当n=1时,=2, 当n≥2时,=1, 所以++…+=2 026. 14.(2025·武汉模拟)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时,给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛,若数列{xn}满足xn+1=xn-,则称数列{xn}为牛顿数列.如果函数f(x)=2x2-8,数列{xn}为牛顿数列,设an=ln ,且a1=1,xn>2.数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=　　　　.  【答案】2n-1 【解析】∵f(x)=2x2-8,∴f′ (x)=4x, 又∵xn+1=xn-=xn-=, ∴xn+1+2=, xn+1-2=, ∴=, 又xn>2, ∴ln =ln=2ln , 又an=ln ,且a1=1, ∴an+1=2an, ∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列, ∴{an}的前n项和Sn==2n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第4节　数列中的构造问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　形如an+1=pan+f(n)型 ★★★☆☆ 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1)型 ★★★☆☆ 题型三　倒数为特殊数列(形如an+1=型) ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法,还有构造法,其总的思想是根据数列的递推公式,利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解. 题型一　形如an+1=pan+f(n)型★★★☆☆ 角度1　an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 【典例】1 在数列{an}中,a1=1,an=an-1+2(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　　　.  角度2　an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0) 【典例】2 (2025·广东大联考)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　.  角度3　an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 【典例】3 (2025·宜春调研)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项an=(　　) A.-3×2n-1 B.3×2n-1 C.5n+3×2n-1 D.5n-3×2n-1 【变式训练】1 (1)已知数列{an}满足an+1=2an+n,a1=2,则an=　　　　.  (2)(2025·烟台质检)若数列{an}满足a1=2,an+1-2an=3n-1,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1)型★★★☆☆ 【典例】4 已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.  【变式训练】2 若x=1是函数f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1(n∈N*)的极值点,数列{an}满足a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  题型三　倒数为特殊数列(形如an+1=型)★★★☆☆ 【典例】5 已知在数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=　　　　.  【变式训练】3 (2025·重庆诊断)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 【限时【变式训练】】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+1,则a4的值为(　　) A.15 B.23 C.32 D.42 2.在数列{an}中,a1=5,且满足-2=,则数列{an}的通项公式an=(　　) A.2n-3 B.2n-7 C.(2n-3)(2n-7) D.2n-5 3.(2025·广州调研)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2n,n∈N*,则a4等于(　　) A.64 B.56 C.32 D.24 4.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 5.在数列{an}中,若a1=3,an+1=,则an等于(　　) A.2n-1 B.3n-1 C. D. 6.(2025·盐城质检)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 7.(2025·北京海淀区模拟)将一些数排成如图所示的倒三角形,其中第一行各数依次为1,2,3,…, 2 025,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于(　　) A.2 025×22 022 B.2 026×22 023 C.2 025×22 023 D.2 026×22 024 8.(2025·哈尔滨调研)符号[x]表示不超过实数x的最大整数,如[2.3]=2,[-1.9]=-2.已知数列{an}满足a1=1,a2=5,an+2+4an=5an+1.若bn=[log2an+1],Sn为数列的前n项和,则[S2 026]=(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 二、多选题 9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等差数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递减数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 10.(2025·宁波质检)已知数列{an}满足a1=1,4an+1=3an-n+4,则下列结论正确的是(　　) A.a3= B.a3= C.{an+n-8}是等比数列 D.{an+2}不可能是等比数列 11.已知数列{an}满足a1=1,an-3=2an(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=3n-n 三、填空题 12.(2025·海南质检)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=　　　　.  13.已知数列{an}满足a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2,若[x]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]=1, [-1.6]=-2),则++…+=　　　　.  14.(2025·武汉模拟)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时,给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛,若数列{xn}满足xn+1=xn-,则称数列{xn}为牛顿数列.如果函数f(x)=2x2-8,数列{xn}为牛顿数列,设an=ln ,且a1=1,xn>2.数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$