第六章 第3节 等比数列及其前n项和（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第六章 数列 第3节　等比数列及其前n项和 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 等比数列的概念 ★★★☆☆ 考点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 ★★★☆☆ 考点3 等比数列的性质 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.等比数列的概念★★★☆☆ (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则G2=ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式★★★☆☆ (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1; 通项公式的推广:an=amqn-m. (2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==. 3.等比数列的性质★★★☆☆ 已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn. (4)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. 【考法归纳】 1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},,{an·bn},也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q,或=q. 3.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 5.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　) (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)在等比数列中,q≠0. (2)若a=0,b=0,c=0满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列. (3)当a=1时,Sn=na. (4)若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,不成等比数列. 2.(北师大选修二P29【典例】5(2)改编)等比数列1,,,…,前10项的和为　　　　.  【答案】 【解析】S10==. 3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中,已知a2=6,6a1+a3=30,则an=　　　　.  【答案】3·2n-1或2·3n-1 【解析】设数列{an}的公比为q, 由题意得 解得或 故an=3·2n-1或an=2·3n-1. 4.(人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列{an}满足a4+a6=10,a2·a8=2,则+=　　　　.  【答案】5 【解析】+====5. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　等比数列基本量的求解 【典例】1 (1)(多选)(2025·河南部分名校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1+a(a为常数),则(　　) A.a=-1 B.数列{an}的公比为2 C.an=2n D.S9=1 023 【答案】BC 【解析】因为Sn=2n+1+a, 所以a1=4+a, a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8. 因为{an}是等比数列,所以=a1a3, 即42=8(4+a),解得a=-2,则A错误; 数列{an}的公比q==2,则B正确; 因为a1=2,公比q=2,所以an=a1qn-1=2n,则C正确; 因为a=-2,所以Sn=2n+1-2, 所以S9=210-2=1 022,则D错误. (2)(多选)(2025·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(　　) A.此人第二天走了九十六里路 B.此人第三天走的路程占全程的 C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D.此人后三天共走了四十二里路 【答案】ACD 【解析】设此人第n天走an里路, 则数列{an}是首项为a1,公比为的等比数列, 因为S6=378,所以S6==378, 解得a1=192. 对于A,由于a2=192×=96,所以此人第二天走了九十六里路,所以A正确; 对于B,由于a3=192×=48,>, 所以B不正确; 对于C,由于378-192=186,192-186=6, 所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以C正确; 对于D,a4+a5+a6=378-192-96-48=42, 所以此人后三天共走了四十二里路, 所以D正确. (3)(2025·淄博模拟)已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q=　　　　.  【答案】2 【解析】依题意,知a1+a3+a5+…+a2n+1=85, 即a2q+a4q+…+a2nq=84, 而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2. 【思维建模】 1.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==. 【变式训练】1 (2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{Sn}的前n项和. 【解析】(1)因为2Sn=3an+1-3, 所以2Sn+1=3an+2-3, 两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1, 即an+2=an+1, 所以等比数列{an}的公比为. 因为2S1=3a2-3=5a1-3, 所以a1=1,故an=. (2)因为2Sn=3an+1-3, 所以Sn=(an+1-1)=, 设数列{Sn}的前n项和为Tn, 则Tn=×-n =×-n-. 考点二　等比数列的判定与证明 【典例】2 (2025·1月八省联考节选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列; (2)求{an}的通项公式. (1)【证明】因为an+1=, 所以==+, 所以=·+, 所以1-=1-, 即1-=-·+=, 所以=, 又因为1-=1-=, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. (2)【解析】由(1)知,1-=·=, 所以=1-=, 所以an=. 【思维建模】等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列. (2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列. (3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列. 【变式训练】2 (2025·郑州模拟)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列;②数列{Sn+a1}是等比数列;③a2=2a1. 注:若选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分. 【证明】选①②作条件证明③. 因为数列{an},{Sn+a1}是等比数列, 所以(S2+a1)2=(S1+a1)(S3+a1), 即(2a1+a2)2=2a1(2a1+a2+a3), 故4+4a1a2+=4+2a1a2+2, 所以=2a1a2. 又因为a2≠0,所以a2=2a1. 选①③作条件证明②. 因为a2=2a1,{an}是等比数列, 所以数列{an}的公比q=2, 所以Sn==a1(2n-1), 即Sn+a1=a12n, 因为=2,Sn+a1≠0, 所以{Sn+a1}是等比数列. 选②③作条件证明①. 因为数列{Sn+a1}是等比数列,且a2=2a1, 所以===2, 则数列{Sn+a1}是以2a1为首项,2为公比的等比数列, 所以Sn+a1=2a1·2n-1=a1·2n, Sn=a1·2n-a1, 所以an=Sn-Sn-1=a1·2n-a1-(a1·2n-1-a1)=a1·2n-1(n≥2), 当n=1时,a1=a1,也符合上式, 所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列. 考点三　等比数列的性质及应用 角度1　项的性质 【典例】3 (2025·重庆七校诊断)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=4π,b2b4b6=3,则tan=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A 【解析】因为{an}是等差数列, 所以a2+a4+a6=3a4=4π, 故a4=, 则a1+a7=2a4=. 因为{bn}是等比数列,所以b2b4b6==3, 故b4=,则b2b6==3, 所以tan=tan=-. 角度2　和的性质 【典例】4 (2025·大连调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=(　　) A.8 B.9 C.16 D.17 【答案】A 【解析】设S4=x(x≠0),则S8=4x. 因为{an}为等比数列,所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12仍成等比数列. 易知==3, 所以 则故==8. 角度3　等比数列的最值 【典例】5 (多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1, a2 025a2 026>1,<0,下列结论正确的是(　　) A.S2 025<S2 026 B.a2 025a2 027-1<0 C.T2 026是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值 【答案】AB 【解析】当q<0时,a2 025a2 026=q<0,不成立; 当q≥1时,∵a1>1,∴a2 025>1,a2 026>1,则<0不成立; 故0<q<1,且a2 025>1,0<a2 026<1, 故S2 026>S2 025,A正确; a2 025a2 027-1=-1<0,故B正确; T2 025是数列{Tn}中的最大值,C,D错误. 【思维建模】 1.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【变式训练】3 (1)(2025·蚌埠质检)已知各项均为正数的等比数列{an}中,若a5=9,则log3a4+log3a6=(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 【答案】C 【解析】因为{an}是等比数列, 所以=a4a6,所以a4a6=81, 所以log3a4+log3a6=log381=log334=4. (2)(多选)(2025·南京、盐城调研)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,满足a3=2a1+a2,则下列说法中正确的有(　　) A.若{an}是正项数列,则{an}是递增数列 B.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定是等比数列 C.若存在M>0,使|an|≤M对n∈N*都成立,则{|an|}是等差数列 D.若存在M>0,使|an|≤M对n∈N*都成立,则{Sn}是等差数列 【答案】AC 【解析】A中,设数列{an}的公比为q, 则有a1q2=2a1+a1q, 故q2=q+2,解得q=-1或q=2, 若{an}是正项数列,则a1>0,q>0,故q=2, 故{an}是递增数列,A正确; B中,当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n均为0,不符合题意,B错误; C中,若q=2,则{|an|}为递增数列,此时不存在M>0,使|an|≤M对n∈N*都成立, 若q=-1,此时|an|=|a1|,故存在M=|a1|,使得|an|≤M对n∈N*都成立, 此时{|an|}为常数列,也为公差为0的等差数列,C正确; D中,由C选项可知,q=-1,故当n为偶数时,Sn=0, 当n为奇数时,Sn=a1≠0,显然{Sn}不是等差数列,D错误. (3)已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值为　　　　.  【答案】2 【解析】由已知得数列{an}的公比满足q3==,解得q=, ∴a1=2,a2=1,a3=, 故数列{anan+1}是首项为2,公比为=的等比数列, ∴a1a2+a2a3+…+anan+1= =∈. 故最小值为2. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·青岛检测)等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则a7=(　　) A.32 B.24 C.20 D.16 【答案】A 【解析】设公比为q, 由题意得则a1=,q=2. 所以a7=×26=32. 2.(2025·惠州模拟)设正项等比数列{an}的公比为q,若a2,3a1,a3成等差数列,则q=(　　) A. B.2 C. D.3 【答案】B 【解析】因为a2,3a1,a3成等差数列, 所以6a1=a2+a3, 所以6a1=a1q+a1q2, 则q2+q-6=0, 解得q=2或q=-3(舍去), 所以q=2. 3.(2025·西安模拟)已知{an}是等比数列,a3a5=8a4,且a2,a6是方程x2-34x+m=0的两根,则m=(　　) A.8 B.-8 C.64 D.-64 【答案】C 【解析】因为{an}是等比数列, 所以a3a5=,a2a6=, 又a3a5=8a4,所以a4=8, 又a2,a6是方程x2-34x+m=0的两根, 所以m=a2a6==64. 4.(2025·湖南九校联考)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和.若a3-a1=3,S4=5S2,则a2的值为(　　) A.2 B.4 C.±2 D.±4 【答案】C 【解析】设公比为q, 由a3-a1=3,得q≠1. ∵S4=5S2,∴=5×, 整理得1+q2=5,∴q=±2, 又∵a3-a1=a1q2-a1=3, ∴a1=1,∴a2=a1q=±2. 5.(2025·北京海淀区模拟)已知数列{an}是等比数列,{bn}是等差数列,a1=1,若b1,2a2,3a3,2b3为常数列,则a4b2=(　　) A.0 B.8 C. D. 【答案】C 【解析】设{an}的公比为q, 则a2=q,a3=q2,则2q=3q2, 解得q=或q=0(舍), 则an=, 又b1=2b3=, 则{bn}的公差为-, 所以bn=-(n-1)=-n, 所以a4b2=. 6.(2025·成都诊断)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且数列{ka3k-1}(k=1,2,3)是等差数列,则=(　　) A.1或 B.2或 C.2或 D.或 【答案】C 【解析】设等比数列{an}的公比为q, 由a2,2a5,3a8成等差数列可得4a5=a2+3a8, 即4a1q4=a1q+3a1q7, 化简得3q6-4q3+1=0,解得q3=或q3=1, 当q3=1时,==1+q3=2, 当q3=时,==1+q3=. 7.(2025·天津模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+1,则数列{}的前n项和为(　　) A. B. C.4n-1 D.2n-1 【答案】A 【解析】因为an+1=Sn+1, 所以当n≥2时,an=Sn-1+1, 两式相减,得an+1=2an. 因为数列{an}是等比数列, 所以a2=2a1. 由a2=S1+1=a1+1, 解得a1=1,所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列, 所以an=2n-1,即=(2n-1)2=4n-1, 所以数列{}是首项为1,公比为4的等比数列, 所以数列{}的前n项和为=. 8.(2025·石家庄质测)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)不是等比数列,则S2 026=(　　) A.0 B.2 C.2 026 D.4 052 【答案】A 【解析】设等比数列{an}的公比为q, 则Sn+2-Sn=an+1+an+2=an+1(1+q), 若q=-1,则Sn+2-Sn=an+1(1+q)=0, 此时,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)不是等比数列,符合题意; 若q≠-1,则对任意的n∈N*,有an≠0, ==q, 此时,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)是等比数列,不符合题意. 综上所述,q=-1, 所以S2 026===0. 二、多选题 9.已知{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且{Sn}是等差数列,则下列结论正确的是(　　) A.{an+Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列 C.{}是等差数列 D.是等比数列 【答案】ACD 【解析】由{Sn}是等差数列,可得2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3,∴a2=a3, ∵{an}是各项均为正数的等比数列, ∴a2=a2q,可得q=1. ∴an=a1>0,∴an+Sn=(n+1)a1, ∴数列{an+Sn}是等差数列,因此A正确; ∵=,∴{}是常数列,为等差数列,因此C正确; ∵=a1>0,∴是等比数列,因此D正确; ∵anSn=n,∴{an·Sn}不是等比数列,因此B不正确. 10.(2025·北京昌平区模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=20,2a6+a5-a4=0,数列{an}的前n项积为Tn,则(　　) A.数列{an}单调递增　 B.数列{an}单调递减 C.Tn的最大值为T5　 D.Tn的最小值为T5 【答案】BC 【解析】设等比数列{an}的公比为q, 因为2a6+a5-a4=0, 所以2a4q2+a4q-a4=0. 因为a4>0,所以2q2+q-1=0, 解得q=或q=-1(舍去). 所以数列{an}单调递减,A错误,B正确. 因为数列{an}单调递减,且各项均为正数, 所以数列{an}的前n项积Tn有最大值,无最小值,D错误. 若Tn取最大值,则即 又n∈N*,所以n=5, 即Tn的最大值为T5,C正确. 11.(2025·合肥质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S8=3S4.若∀n∈N*,=q(q是非零常数),则(　　) A.数列是等比数列 B.数列{Sn+1-Sn}是等比数列 C.a2 025=2506 D.S2 026-S2 025=2506 【答案】BC 【解析】由题意知{an}是公比为q的等比数列, 若q=1,则S8=8a1≠3S4=12a1,所以q≠1, 又a1=1,所以Sn=, 所以====q+,不是定值, 故不是等比数列,故A错误; 因为Sn+1-Sn=-==qn, 所以==q,是定值, 故{Sn+1-Sn}是等比数列,故B正确; 因为==1+q4=3, 所以q4=2,所以a2 025=a1·q2 024=(q4)506=2506,故C正确; S2 026-S2 025=(S2-S1)·q2 024=a2·q2 024=q2 025≠2506,故D错误. 三、填空题 12.(2025·武汉调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an=　　　　.  ①anan+1<0;②|an|<|an+1|. 【答案】(-2)n(答案不唯一) 【解析】设等比数列{an}的公比为q, 由anan+1<0,可知q<0, 又|an|<|an+1|,所以|q|>1, 所以q<-1,所以q可取-2, 设a1=-2, 则an=-2·(-2)n-1=(-2)n(答案不唯一). 13.(2025·河南部分学校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a7=-1,2S4=7a2.若将a2,a3,a4,a5去掉一项后,剩下三项依次为等比数列{bn}的前三项,则b4=　　　　.  【答案】 【解析】设等差数列{an}的公差为d, 因为a7=-1,2S4=7a2, 可得解得 所以an=-n+6, 所以a2=4,a3=3,a4=2,a5=1, 去掉a3后,剩下三项依次为等比数列, 即b1=4,b2=2,b3=1, 所以数列{bn}是首项为4,公比为的等比数列,所以b4=4×=. 14.(2025·景德镇调研)在等比数列{an}中,a2=2,a4a6-16a5=0.若bn= 且{bn}的前n项和为Sn,则满足S2n>360的最小正整数n的值为　　　　.  【答案】6 【解析】{an}是等比数列,设其公比为q(q≠0), 由a4a6-16a5=0可得-16a5=0, 故a5=16,则q3==8,即q=2, 故an=a2qn-2=2n-1, 所以S2n=1+4+16+…+4n-1-2×n=-2n=-2n-. 由于n≥2时,bn+bn+1>0, 故S2n随着n的增大而增大, 而S10=-2×5-=331<360, S12=-2×6-=1 353>360, 故满足S2n>360的最小正整数n的值为6. 四、解答题 15.Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0. (1)求an及Sn; (2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)易知q≠1,由题意可得 解得a1=1,q=3, ∴an=3n-1,Sn==. (2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列, ∵S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13, ∴(λ+4)2=(λ+1)(λ+13), 解得λ=, 此时Sn+=×3n, 则==3, 故存在常数λ=,使得数列{Sn+}是以为首项,3为公比的等比数列. 16.已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和,求使Sk>成立的最大正整数k的值. 【解析】(1)设公比为q,由题意得a1+a2=2a3, ∴a1(1+q-2q2)=0, 又∵a1≠0,∴q=-或q=1(舍去), ∵a1+a3=5, ∴a1(1+q2)=5, ∴a1=4,∴an=4·. (2)Sn==. ∵Sk>,∴>, ∴<-, 显然,k为奇数, 即>>=, 解得k≤3, 所以满足条件的最大正整数k的值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第3节　等比数列及其前n项和 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 等比数列的概念 ★★★☆☆ 考点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 ★★★☆☆ 考点3 等比数列的性质 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.等比数列的概念★★★☆☆ (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则G2=ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式★★★☆☆ (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1; 通项公式的推广:an=amqn-m. (2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==. 3.等比数列的性质★★★☆☆ 已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn. (4)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. 【考法归纳】 1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},,{an·bn},也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q,或=q. 3.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 5.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　) (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　　) 2.(北师大选修二P29【典例】5(2)改编)等比数列1,,,…,前10项的和为　　　　.  3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中,已知a2=6,6a1+a3=30,则an=　　　　.  4.(人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列{an}满足a4+a6=10,a2·a8=2,则+=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　等比数列基本量的求解 【典例】1 (1)(多选)(2025·河南部分名校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1+a(a为常数),则(　　) A.a=-1 B.数列{an}的公比为2 C.an=2n D.S9=1 023 (2)(多选)(2025·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(　　) A.此人第二天走了九十六里路 B.此人第三天走的路程占全程的 C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D.此人后三天共走了四十二里路 (3)(2025·淄博模拟)已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q=　　　　.  【变式训练】1 (2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{Sn}的前n项和. 考点二　等比数列的判定与证明 【典例】2 (2025·1月八省联考节选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列; (2)求{an}的通项公式. 【变式训练】2 (2025·郑州模拟)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列;②数列{Sn+a1}是等比数列;③a2=2a1. 注:若选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分. 考点三　等比数列的性质及应用 角度1　项的性质 【典例】3 (2025·重庆七校诊断)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=4π,b2b4b6=3,则tan=(　　) A.- B.- C. D. 角度2　和的性质 【典例】4 (2025·大连调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=(　　) A.8 B.9 C.16 D.17 角度3　等比数列的最值 【典例】5 (多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1, a2 025a2 026>1,<0,下列结论正确的是(　　) A.S2 025<S2 026 B.a2 025a2 027-1<0 C.T2 026是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值 【变式训练】3 (1)(2025·蚌埠质检)已知各项均为正数的等比数列{an}中,若a5=9,则log3a4+log3a6=(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 (2)(多选)(2025·南京、盐城调研)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,满足a3=2a1+a2,则下列说法中正确的有(　　) A.若{an}是正项数列,则{an}是递增数列 B.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定是等比数列 C.若存在M>0,使|an|≤M对n∈N*都成立,则{|an|}是等差数列 D.若存在M>0,使|an|≤M对n∈N*都成立,则{Sn}是等差数列 (3)已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值为　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·青岛检测)等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则a7=(　　) A.32 B.24 C.20 D.16 2.(2025·惠州模拟)设正项等比数列{an}的公比为q,若a2,3a1,a3成等差数列,则q=(　　) A. B.2 C. D.3 3.(2025·西安模拟)已知{an}是等比数列,a3a5=8a4,且a2,a6是方程x2-34x+m=0的两根,则m=(　　) A.8 B.-8 C.64 D.-64 4.(2025·湖南九校联考)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和.若a3-a1=3,S4=5S2,则a2的值为(　　) A.2 B.4 C.±2 D.±4 5.(2025·北京海淀区模拟)已知数列{an}是等比数列,{bn}是等差数列,a1=1,若b1,2a2,3a3,2b3为常数列,则a4b2=(　　) A.0 B.8 C. D. 6.(2025·成都诊断)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且数列{ka3k-1}(k=1,2,3)是等差数列,则=(　　) A.1或 B.2或 C.2或 D.或 7.(2025·天津模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+1,则数列{}的前n项和为(　　) A. B. C.4n-1 D.2n-1 8.(2025·石家庄质测)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)不是等比数列,则S2 026=(　　) A.0 B.2 C.2 026 D.4 052 二、多选题 9.已知{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且{Sn}是等差数列,则下列结论正确的是(　　) A.{an+Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列 C.{}是等差数列 D.是等比数列 10.(2025·北京昌平区模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=20,2a6+a5-a4=0,数列{an}的前n项积为Tn,则(　　) A.数列{an}单调递增　 B.数列{an}单调递减 C.Tn的最大值为T5　 D.Tn的最小值为T5 11.(2025·合肥质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S8=3S4.若∀n∈N*,=q(q是非零常数),则(　　) A.数列是等比数列 B.数列{Sn+1-Sn}是等比数列 C.a2 025=2506 D.S2 026-S2 025=2506 三、填空题 12.(2025·武汉调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an=　　　　.  ①anan+1<0;②|an|<|an+1|. 13.(2025·河南部分学校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a7=-1,2S4=7a2.若将a2,a3,a4,a5去掉一项后,剩下三项依次为等比数列{bn}的前三项,则b4=　　　　.  14.(2025·景德镇调研)在等比数列{an}中,a2=2,a4a6-16a5=0.若bn= 且{bn}的前n项和为Sn,则满足S2n>360的最小正整数n的值为　　　　.  四、解答题 15.Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0. (1)求an及Sn; (2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 16.已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和,求使Sk>成立的最大正整数k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$