第六章 第2节 等差数列及其前n项和（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第六章 数列 第2节　等差数列及其前n项和 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 等差数列的概念 ★★☆☆☆ 考点2 等差数列的通项公式与前n项和公式 ★★★☆☆ 考点3 等差数列的性质 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.等差数列的概念★★☆☆☆ (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数). (2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可知2A=a+b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式★★★☆☆ (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式:Sn=na1+=. 3.等差数列的性质★★★☆☆ (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列. 【考法归纳】 1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　) 【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 【解析】(3)若公差d=0,则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d=0,则前n项和不是n的二次函数. 2.(人教A选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4=　　　　.  【答案】6 【解析】由题意可得 解得a1=0,d=2,故a4=a1+3d=6. 3.(北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列{an}中,已知a3+a15=40,则S17=　　　　.  【答案】340 【解析】S17=(a1+a17) =(a3+a15)=×40=340. 4.(苏教选修一P151T6改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=100,S16=392,则S24=　　　　.  【答案】876 【解析】法一　由S8=8a1+d=100, S16=16a1+d=392, 得a1=2,d=3, ∴S24=24×2+×3=876. 法二　∵S8,S16-S8,S24-S16成等差数列, ∴2(S16-S8)=S8+(S24-S16), 得S24=3S16-3S8=876. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　等差数列基本量的求解 【典例】1 (1)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1=(　　) A. B. C.- D.- 【答案】B 【解析】由S5=S10,得=, 所以5a3=5(a3+a8), 所以a8=0,公差d==-, 所以a1=a5-4d=1-4×=,故选B. (2)(2025·晋城模拟)生命在于运动,某健身房为吸引会员来健身,推出打卡送积分活动(积分可兑换礼品),第一天打卡得1积分,以后只要连续打卡,每天所得积分都会比前一天多2积分.若某天未打卡,则当天没有积分,且第二天打卡需从1积分重新开始.某会员参与打卡活动,从3月1日开始到3月20日,他共得193积分,中途有一天未打卡,则他未打卡的那天是(　　) A.3月5日或3月16日 B.3月6日或3月15日 C.3月7日或3月14日 D.3月8日或3月13日 【答案】D 【解析】若他连续打卡,则从打卡第1天开始,逐日所得积分依次成等差数列, 且首项为1,公差为2,第n天所得积分为2n-1. 假设他连续打卡n天,第(n+1)天中断了,则他所得积分之和为(1+3+…+2n-1)+[1+3+…+2(19-n)-1]=+=193, 化简得n2-19n+84=0, 解得n=7或n=12, 所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日. (3)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=(　　) A.-2 B. C.1 D. 【答案】D 【解析】法一　设等差数列{an}的公差为d, 由S9=9a1+d=9(a1+4d)=1, 得a1+4d=,则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2(a1+4d)=,故选D. 法二　因为{an}为等差数列, 所以S9==9a5=1,得a5=, 则a3+a7=2a5=,故选D. 【思维建模】 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式训练】1 (1)(2025·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=,a6=,则S17=(　　) A.51 B.34 C.17 D.1 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由a3=,a6= 可得解得 所以S17=17a1+×d =17×+×=17. (2)(2025·重庆诊断)已知数列{an},{bn}均为等差数列,且a1=1,b1=7,a2+b2=12,设数列{an+bn}的前n项和为Sn,则S20=(　　) A.84 B.540 C.780 D.920 【答案】D 【解析】根据题意可设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2, 由a1=1,b1=7,a2+b2=12可知,d1+d2=4, 则数列{an+bn}是以a1+b1=8为首项, d1+d2=4为公差的等差数列, 所以an+bn=8+4(n-1)=4n+4, 故Sn=(a1+b1+an+bn)=(8+4n+4)=n(2n+6), 所以S20=20×(2×20+6)=920. (3)(2025·厦门质检)已知正项等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2,则d=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2, 两式相减得4a4=(a4+1)2-(a3+1)2, 即(a4-1)2-(a3+1)2=0, 则(a4+a3)(a4-a3-2)=0, 又数列{an}为正项等差数列, ∴a4-a3-2=0,∴a4-a3=2,即d=2. 考点二　等差数列的判定与证明 【典例】2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 【解析】①③⇒②. 已知{an}是等差数列,a2=3a1. 设数列{an}的公差为d, 则a2=3a1=a1+d,得d=2a1, 所以Sn=na1+d=n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数, 所以=n, 所以-=(n+1)-n=(常数),所以数列{}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列,{}是等差数列. 设数列{an}的公差为d, 则Sn=na1+d=n2d+n. 因为数列{}是等差数列,所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数, 则a1-=0,即d=2a1, 所以a2=a1+d=3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列,a2=3a1, 所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1. 设数列{}的公差为d,d>0, 则-=-=d, 得a1=d2,所以=+(n-1)d=nd, 所以Sn=n2d2, 所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合, 所以an=2d2n-d2, 所以an+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数), 所以数列{an}是等差数列. 【思维建模】 1.等差数列的判定与证明的常用方法 (1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列. (3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数)⇔{an}为等差数列. (4)前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔{an}为等差数列. 2.若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可. 【变式训练】2 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. (1)【证明】因为bn是数列{Sn}的前n项积, 所以当n≥2时,Sn=, 代入+=2,可得+=2, 整理可得2bn-1+1=2bn, 即bn-bn-1=(n≥2). 又+==2,所以b1=, 故{bn}是以为首项,为公差的等差数列. (2)【解析】由(1)可知,bn=+(n-1)=, 则+=2,所以Sn=, 当n=1时,a1=S1=, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-=-. 又a1=不满足上式. 故an= 考点三　等差数列的性质及应用 角度1　项的性质 【典例】3 (1)(2025·济南质检)已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,a6<,则a1+a4+a6+a8+a11=(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1, 所以=1, 即tan(a5+a7)=1, 所以a5+a7=+kπ,k∈Z. 又0<a5+a7=2a6<1, 所以a5+a7==2a6,解得a6=, 故a1+a4+a6+a8+a11=5a6=. (2)(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  【答案】95 【解析】法一　设{an}的公差为d, 由a3+a4=a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7, 3a2+a5=3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5, 解得a1=-4,d=3,则S10=10a1+45d=95. 法二　设{an}的公差为d,由a3+a4=a2+a5=7,3a2+a5=5, 得a2=-1,a5=8, 故d==3,a6=11, 则S10=×10=5(a5+a6)=5×19=95. 角度2　和的性质 【典例】4 (1)(2025·杭州调研)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3 402块,则中层共有扇面形石板(　　) A.1 125块 B.1 134块 C.1 143块 D.1 152块 【答案】B 【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为{an},则{an}是等差数列,且公差d=9,a1=9. 设每层有k环,则n=3k,Sn=3 402, {an}是等差数列,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也成等差数列. 所以2(S2k-Sk)=Sk+(S3k-S2k), 所以Sn=3(S2k-Sk)=3 402, 则S2k-Sk=1 134. (2)(2025·张家口模拟)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,=,则=(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn, =, ∴== ===. 角度3　和的最值 【典例】5 等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大? 【解析】法一　设公差为d.由S3=S11, 可得3a1+d=11a1+d, 即d=-a1. 从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1, 因为a1>0,所以-<0. 故当n=7时,Sn最大. 法二　易知Sn=An2+Bn(A≠0)是关于n的二次函数, 由S3=S11,可知Sn=An2+Bn的图象关于直线n==7对称. 由法一可知A=-<0, 故当n=7时,Sn最大. 法三　设公差为d. 由法一可知d=-a1. 要使Sn最大,则有 即 解得6.5≤n≤7.5, 故当n=7时,Sn最大. 法四　设公差为d. 由S3=S11,可得2a1+13d=0, 即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0, 又由a1>0,S3=S11可知d<0, 所以a7>0,a8<0, 所以当n=7时,Sn最大. 【思维建模】 1.项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq. 2.和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); (2)S2n-1=(2n-1)an; (3)依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. 3.求等差数列前n项和的最值,常用的方法: (1)邻项变号法,利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值; (2)函数法,利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为二次函数,通过二次函数的性质求最值. 【变式训练】3 (1)(2025·成都诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=16,S6=8,则S12=(　　) A.-50 B.-60 C.-70 D.-80 【答案】D 【解析】由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, 且该数列的公差为(S6-S3)-S3=-8-16=-24, 则S9-S6=(S6-S3)-24=-32, 所以S12-S9=(S9-S6)-24=-56, 因此S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=-80. (2)(2025·长沙模拟)已知{an}是各项均为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且a6+2a7+a10=20,则当a7·a8取最大值时,S10=(　　) A.10 B.20 C.25 D.50 【答案】D 【解析】∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7 =2a8+2a7=20, ∴a7+a8=10, 由已知得a7>0,a8>0, ∴a7·a8≤==25, 当且仅当a7=a8=5时,等号成立. 此时数列为常数列, 则an=5,所以S10=50. (3)(多选)(2025·海口调研)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则(　　) A.a13+a14>0 B.S11<S15<S12 C.当n=14时,Sn取最大值 D.当Sn<0时,n的最小值为27 【答案】ABD 【解析】对于A,首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn, 所以(S15-S11)(S15-S12)=(a15+a14+a13+a12)×3a14=6a14(a14+a13)<0, 若a14>0,则a14+a13>0,不符合题意, 所以a14<0,a14+a13>0,故A正确; 对于B,由A可知S15-S11=a15+a14+a13+a12=2(a14+a13)>0, 则S15>S11, S15-S12=3a14<0, 则S15<S12,故B正确; 对于C,由A可知,因为a14<0,a14+a13>0, 所以a13>0,故n=13时,Sn取最大值,故C错误; 对于D,由S27==27a14<0, S26==13(a14+a13)>0, 且{an}是首项为正数的等差数列,故D正确. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·合肥模拟)数列{an}中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=(　　) A.210 B.190 C.170 D.150 【答案】C 【解析】由an=an+1+2知数列{an}是公差为-2的等差数列, 所以a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×(18+16)=5×34=170. 2.(2025·西安调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S6=9,则S10=(　　) A.14 B.16 C.18 D.20 【答案】D 【解析】设数列{an}的公差为d,由S2=2,S6=9, 得解得 所以S10=10a1+d=+=20. 3.(2025·潍坊模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4=(　　) A.6 B.7 C.8 D.10 【答案】C 【解析】因为数列{an}为等差数列, 所以S7===7a4, 又S7=5a4+10,则7a4=5a4+10,即a4=5, 则S4===8. 4.(2025·金华十校联考)等差数列{an}的首项为正数,公差为d,Sn为{an}的前n项和,若a2=3,且S2,S1+S3,S5成等比数列,则d=(　　) A.1 B.2 C. D.2或 【答案】B 【解析】因为{an}是等差数列, 所以S2=a1+a2=a2-d+a2=6-d, S1+S3=a1+a1+a2+a3=2(a2-d)+a2+a2+d=4a2-d=12-d, S5=5a3=5(a2+d)=15+5d, 由S2,S1+S3,S5成等比数列得(S1+S3)2=S2·S5, 即(12-d)2=(6-d)(15+5d), 解得d=2或d=, 当d=时,a1=3-=-<0,不符合题意,故d=2. 5.(2025·湖北七市州调研)已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3,a4,a7是等比数列,则当Sn取最大值时,n=(　　) A.2或3 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】设公差为d(d<0), 因为a3,a4,a7是等比数列, 所以=a3·a7, 即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d), 则2a1d+3d2=0, 则a1=-d>0, Sn=na1+d=-n+=-2nd=(n2-4n+4-4)=(n-2)2-2d, 故当n=2时,Sn取得最大值. 6.(2025·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若=,则=(　　) A. B. C.2 D.3 【答案】D 【解析】===×=3. 7.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由等差数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, ∵=, 即S6=3S3,(S6-S3)-S3=S3, ∴S9-S6=3S3,S12-S9=4S3, ∴S9=6S3,S12=10S3, ∴==. 8.(2025·郑州模拟)一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为20 mm,卫生纸厚度约为0.1 mm,若未使用时直径为80 mm,则这个卷筒卫生纸总长度大约为(参考数据π≈3.14)(　　) A.47 m B.51 m C.94 m D.102 m 【答案】A 【解析】空心纸筒直径为20 mm, 则底面半径为10 mm, 其周长为2π×10=20π(mm), 卷纸未使用时直径为80 mm, 则底面半径为40 mm, 其周长为2π×40=80π(mm), 又因为卫生纸厚度约为0.1 mm, 则卷纸共有的层数约为=300, 即每一圈的卷纸周长构成一个等差数列, 首项为20π,末项为80π,项数为300, 则这个卷筒卫生纸总长度即这个等差数列的前300项和, S300==15 000π(mm), 而15 000 π mm≈15 000×3.14=47 100 mm≈47 m. 即这个卷筒卫生纸总长度大约为47 m. 二、多选题 9.(2025·东北三省三校联考)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是(　　) A.若a3+a7=4,则S9=18 B.若S15>0,S16<0,则> C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17 D.若a8=S10,则S9>0,S10<0 【答案】ACD 【解析】对于A,a3+a7=4, 则S9===18,A正确; 对于B,S15==15a8>0, 则a8>0,S16==8(a8+a9)<0, 则a8+a9<0,a9<-a8<0,故<,B错误; 对于C,a5+a6=2(a3+a4)-(a1+a2)=13, 则a7+a8=2(a5+a6)-(a3+a4)=17,C正确; 对于D,设{an}的公差为d,由a8=S10, 得a1+7d=10a1+45d, 解得d=-a1,又a1>0, 则S9=9a1+36d=9>0, S10=5<0,D正确. 10.(2025·贵阳质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S5=35,则(　　) A.nan的最小值为1 B.nSn的最小值为1 C.为递增数列 D.为递减数列 【答案】ABC 【解析】设{an}的公差为d, 由S5==5a3=35, 得a3=7,又a2=4, 所以d=3,a1=1, 所以an=3n-2,Sn=. A中,nan=n(3n-2)=3-, 故n=1时,nan取得最小值1,A正确; B中,nSn=, 令f(x)=x3-x2,则f′ (x)=x2-x, 可知f(x)在区间上单调递增, 所以n=1时,nSn取得最小值1,B正确; C中,=n-,故为递增数列,C正确; D中,=-+, 因为=1,=1, 所以不是递减数列,D错误. 11.(2025·石家庄调研)已知数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列,则下列说法正确的有(　　) A.数列{an+bn}是递增数列 B.数列{anbn}是递增数列 C.数列{an+bn}是等差数列 D.数列{anbn}不可能是等差数列 【答案】ACD 【解析】对于A,C,∵数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列, ∴可设an=p1n+q1(p1>0), bn=p2n+q2(p2>0), 其中p1,q1,p2,q2均为常数, ∴an+bn=(p1+p2)·n+q1+q2, ∴an+1+bn+1-(an+bn)=p1+p2>0, ∴数列{an+bn}是等差数列,且为递增数列,故A,C正确; 对于D,∵anbn=(p1n+q1)(p2n+q2) =p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2, ∴an+1bn+1-anbn=p1p2(n+1)2+(p1q2+p2q1)·(n+1)+q1q2-[p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2] =p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1, p1p2>0,故an+1bn+1-anbn=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1不可能恒为常数, 故数列{anbn}不可能是等差数列,故D正确; 对于B,设an=n-2,bn=n-3, 则a1b1=2,a2b2=0,a3b3=0,数列{anbn}不是递增数列,故B错误. 三、填空题 12.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=　　　　.  【答案】200 【解析】依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d. 又S10=16,S100-S90=24, 因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=, 因此S100=10S10+d=10×16+×=200. 13.(2025·太原质检)在数列{an}中,a1,a11∈N*,数列{an}的前n和为Sn,为等差数列,S14=77,则S100=　　　　.  【答案】-3 750 【解析】∵为等差数列, ∴数列{an}为等差数列, ∵S14=77,∴7(a1+a14)=7(a4+a11)=77, ∴∴ 则d==, ∴7a1+13a11=110, ∵a1,a11∈N*,∴a1=12,a11=2, 则d==-1, an=13-n,Sn=·n=, ∴S100=-3 750. 14.(2025·福建九地市质检)设Tn为数列{an}的前n项积,若Tn+an=m,其中常数m>0.则a2=　　　　(结果用m表示);若数列为等差数列,则m=　　　　.  【答案】　1或2 【解析】易知T1=a1=, ∴m=a1a2+a2=a2, 解得a2=. ∵an==,即an=, ∴-=- =- =(n≥2), 若数列为等差数列, 则为常数d, ①若d=0,则an-1=1(n≥2)恒成立, 即an=1(n≥1)恒成立,∴m=2; ②若d≠0,则1-an-1=dm2-dman-1, ∴解得 综上所述,若数列为等差数列,则m=1或m=2. 四、解答题 15.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列; (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. (1)【证明】由+n=2an+1, 得2Sn+n2=2ann+n,① 所以2Sn+1+(n+1)2 =2an+1(n+1)+(n+1),② ②-①,得 2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1, 化简得an+1-an=1, 所以数列{an}是公差为1的等差数列. (2)【解析】由(1)知数列{an}的公差为1. 由a4,a7,a9成等比数列,得=a4a9, 即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8), 解得a1=-12. 所以Sn=-12n+= =-, 所以当n=12或13时,Sn取得最小值,最小值为-78. 16.(2025·北京东城区段考)已知数列{an}为等差数列,a1=-4,前n项和为Sn满足:当n∈N*且n<9时,S1++…+=S1++…+. (1)求{an}的通项公式; (2)定义集合Mn={ai+aj|i,j∈N*且i,j≤n},记Mn的元素个数为bn,数列{bn}的前n项和为Tn,求 T10. 【解析】(1)设{an}的公差为d, 在S1++…+=S1++…+中,令n=5,得=0. 所以=0,所以a1+a5=0, 即2a1+4d=0,又a1=-4, 所以d=2,所以an=2n-6. (2)记Cn={i+j|i,j∈N*且i,j≤n}, 由于ai+aj=2(i+j)-12, 所以Mn的元素个数即为Cn的元素个数, 而Cn={2,3,4,…,2n},共2n-1个元素, 所以bn=2n-1, 所以T10==100. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第2节　等差数列及其前n项和 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 等差数列的概念 ★★☆☆☆ 考点2 等差数列的通项公式与前n项和公式 ★★★☆☆ 考点3 等差数列的性质 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.等差数列的概念★★☆☆☆ (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数). (2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可知2A=a+b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式★★★☆☆ (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式:Sn=na1+=. 3.等差数列的性质★★★☆☆ (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列. 【考法归纳】 1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(　　) 2.(人教A选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4=　　　　.  3.(北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列{an}中,已知a3+a15=40,则S17=　　　　.  4.(苏教选修一P151T6改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=100,S16=392,则S24=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　等差数列基本量的求解 【典例】1 (1)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1=(　　) A. B. C.- D.- (2)(2025·晋城模拟)生命在于运动,某健身房为吸引会员来健身,推出打卡送积分活动(积分可兑换礼品),第一天打卡得1积分,以后只要连续打卡,每天所得积分都会比前一天多2积分.若某天未打卡,则当天没有积分,且第二天打卡需从1积分重新开始.某会员参与打卡活动,从3月1日开始到3月20日,他共得193积分,中途有一天未打卡,则他未打卡的那天是(　　) A.3月5日或3月16日 B.3月6日或3月15日 C.3月7日或3月14日 D.3月8日或3月13日 (3)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=(　　) A.-2 B. C.1 D. 【变式训练】1 (1)(2025·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=,a6=,则S17=(　　) A.51 B.34 C.17 D.1 (2)(2025·重庆诊断)已知数列{an},{bn}均为等差数列,且a1=1,b1=7,a2+b2=12,设数列{an+bn}的前n项和为Sn,则S20=(　　) A.84 B.540 C.780 D.920 (3)(2025·厦门质检)已知正项等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2,则d=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 考点二　等差数列的判定与证明 【典例】2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 【变式训练】2 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 考点三　等差数列的性质及应用 角度1　项的性质 【典例】3 (1)(2025·济南质检)已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,a6<,则a1+a4+a6+a8+a11=(　　) A. B. C. D. (2)(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  角度2　和的性质 【典例】4 (1)(2025·杭州调研)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3 402块,则中层共有扇面形石板(　　) A.1 125块 B.1 134块 C.1 143块 D.1 152块 (2)(2025·张家口模拟)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,=,则=(　　) A. B. C. D. 角度3　和的最值 【典例】5 等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大? 【变式训练】3 (1)(2025·成都诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=16,S6=8,则S12=(　　) A.-50 B.-60 C.-70 D.-80 (2)(2025·长沙模拟)已知{an}是各项均为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且a6+2a7+a10=20,则当a7·a8取最大值时,S10=(　　) A.10 B.20 C.25 D.50 (3)(多选)(2025·海口调研)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则(　　) A.a13+a14>0 B.S11<S15<S12 C.当n=14时,Sn取最大值 D.当Sn<0时,n的最小值为27 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·合肥模拟)数列{an}中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=(　　) A.210 B.190 C.170 D.150 2.(2025·西安调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S6=9,则S10=(　　) A.14 B.16 C.18 D.20 3.(2025·潍坊模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4=(　　) A.6 B.7 C.8 D.10 4.(2025·金华十校联考)等差数列{an}的首项为正数,公差为d,Sn为{an}的前n项和,若a2=3,且S2,S1+S3,S5成等比数列,则d=(　　) A.1 B.2 C. D.2或 5.(2025·湖北七市州调研)已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3,a4,a7是等比数列,则当Sn取最大值时,n=(　　) A.2或3 B.2 C.3 D.4 6.(2025·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若=,则=(　　) A. B. C.2 D.3 7.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(　　) A. B. C. D. 8.(2025·郑州模拟)一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为20 mm,卫生纸厚度约为0.1 mm,若未使用时直径为80 mm,则这个卷筒卫生纸总长度大约为(参考数据π≈3.14)(　　) A.47 m B.51 m C.94 m D.102 m 二、多选题 9.(2025·东北三省三校联考)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是(　　) A.若a3+a7=4,则S9=18 B.若S15>0,S16<0,则> C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17 D.若a8=S10,则S9>0,S10<0 10.(2025·贵阳质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S5=35,则(　　) A.nan的最小值为1 B.nSn的最小值为1 C.为递增数列 D.为递减数列 11.(2025·石家庄调研)已知数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列,则下列说法正确的有(　　) A.数列{an+bn}是递增数列 B.数列{anbn}是递增数列 C.数列{an+bn}是等差数列 D.数列{anbn}不可能是等差数列 三、填空题 12.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=　　　　.  13.(2025·太原质检)在数列{an}中,a1,a11∈N*,数列{an}的前n和为Sn,为等差数列,S14=77,则S100=　　　　.  14.(2025·福建九地市质检)设Tn为数列{an}的前n项积,若Tn+an=m,其中常数m>0.则a2=　　　　(结果用m表示);若数列为等差数列,则m=　　　　.  四、解答题 15.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列; (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. 16.(2025·北京东城区段考)已知数列{an}为等差数列,a1=-4,前n项和为Sn满足:当n∈N*且n<9时,S1++…+=S1++…+. (1)求{an}的通项公式; (2)定义集合Mn={ai+aj|i,j∈N*且i,j≤n},记Mn的元素个数为bn,数列{bn}的前n项和为Tn,求 T10. 学科网（北京）股份有限公司 $$