第六章 第1节 数列的概念与简单表示法（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第六章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 数列的定义 ★★☆☆☆ 考点2 数列的分类 ★★★☆☆ 考点3 数列的通项公式 ★★★☆☆ 考点4 数列的通项公式 ★★★☆☆ 考点5 数列的递推公式 ★★★☆☆ 【知识拓展】斐波那契数列 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.数列的定义★★☆☆☆ 按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类★★★☆☆ 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法★★★☆☆ 数列有三种表示法,它们分别是表格法、图象法和解析式法. 4.数列的通项公式★★★☆☆ 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式★★★☆☆ 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 【考法归纳】 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an= 2.在数列{an}中,若an最大,则 若an最小,则 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)数列:1,2,3和数列:3,2,1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的,可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(　　) A.21 B.33 C.152 D.153 【答案】C 【解析】由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153. 3.(人教B选修三P13【典例】3改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于(　　) A.n B.2n C.2n+1 D.n+1 【答案】B 【解析】∵a1=S1=1+1=2, an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2), 当n=1时,2n=2=a1, ∴an=2n. 4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a5=　　　　,猜想an=　　　　.  【答案】　 【解析】由题意知a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=,a5=2-=, 猜想an=. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　由an与Sn的关系求通项 【典例】1 (1)(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通项公式an=　　　　.  【答案】 【解析】因为a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,① 所以a1=22=4, 当n≥2时, a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=n2,② 由①-②,可得(2n-1)an=2n+1, 所以an=(n≥2,n∈N*), 当n=1时,不满足上式, 所以数列{an}的通项公式是an= (2)已知数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an=　　　　.  【答案】-2n-1 【解析】当n=1时,a1=S1=2a1+1,∴a1=-1. 当n≥2时,Sn=2an+1,① Sn-1=2an-1+1.② ①-②得Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2), ∴{an}是首项为a1=-1,公比为q=2的等比数列. ∴an=a1·qn-1=-2n-1. 【思维建模】 1.已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式. 2.Sn与an关系问题的求解思路 方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. 方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 【变式训练】1 (1)(2025·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n+1,则{an}的通项公式为　　　　.  【答案】 【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 又当n=1时,a1=S1=4,不满足上式, 故an= (2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　.  【答案】- 【解析】因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, 所以由两式联立得Sn+1-Sn=SnSn+1. 因为Sn≠0,所以-=1, 即-=-1. 又=-1,所以数列是首项为-1,公差为-1的等差数列. 所以=-1+(n-1)×(-1)=-n, 所以Sn=-. 考点二　由数列的递推关系求通项公式 角度1　累加法——形如an+1-an=f(n),求an 【典例】2 (2025·苏锡常镇调研)围棋起源于我国,至今已有4 000多年的历史.在围棋中,对于一些复杂的死活问题,比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时,可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气,大小为(n+1)的眼有an+1口气,且a1=1,a2=2,an+1-n=an-1(n≥2,n∈N*),则an的通项公式为　　　　.  【答案】an= 【解析】根据题意,an+1=an+n-1, 即an+1-an=n-1, 当n≥2时,可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1, 即an=(n-2)+(n-3)+…+1+1+1 =+2=. 又当n=1时, a1=1不满足an=, 故an= 角度2　累乘法——形如=f(n),求an 【典例】3 (2025·湖州质检)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,则使不等式an<930成立的最大正整数n为(　　) A.28 B.29 C.30 D.31 【答案】B 【解析】依题意,数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2, 则=(n≥2),所以当n≥2时, an=a1···…··=2××××…××=n(n+1), a1也符合上式,所以an=n(n+1),n∈N*, 且{an}是递增数列, 由an=n(n+1)<930得(n+31)(n-30)<0,解得-31<n<30, 所以正整数n的最大值为29. 【思维建模】 1.形如an+1=an+f(n)的递推关系式,可利用累加法求和,特别注意能消去多少项,保留多少项. 2.形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为=f(n)的形式,可用累乘法,也可用an=··…··a1代入求出通项. 【变式训练】2 (1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an等于(　　) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 【答案】A 【解析】因为an+1-an=ln =ln(n+1)-ln n, 所以a2-a1=ln 2-ln 1, a3-a2=ln 3-ln 2, a4-a3=ln 4-ln 3, … an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2), 把以上各式相加得an-a1=ln n-ln 1, 则an=2+ln n(n≥2),且a1=2也满足此式, 因此an=2+ln n(n∈N*). (2)已知在数列{an}中,a1=1,=,则an=　　　　.  【答案】n·2n-1 【解析】an=···…···a1 =×××…×× ×1=2n-1·n, 又n=1时,a1=1适合上式,所以an=n·2n-1. 考点三　数列的性质 角度1　数列的周期性与斐波那契数列 【典例】4 (1)(2025·淄博模拟)数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则a2 026=(　　) A. B.3 C.-2 D.- 【答案】B 【解析】因为数列{an}满足a1=, an+1=(n∈N*), 所以a2==3,a3==-2, a4==-,a5==, 则{an}是以4为周期的周期数列, 所以a2 026=a506×4+2=a2=3. (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 【答案】B 【解析】因为当x<3时,f(x)=x, 所以f(1)=1,f(2)=2. 对于f(x)>f(x-1)+f(x-2), 令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3; 令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5; 令x=5,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8; 不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项: 3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…, 显然f(16)>1 000,所以f(20)>1 000,故选B. 【知识拓展】斐波那契数列 1.教材母题 (人教A选修二P10阅读与思考)斐波那契数列的定义:若一个数列,首两项等于1,而从第三项起,每一项是之前两项之和,则称该数列为斐波那契数列.【典例】:1,1,2,3,5,8,13,…… 2.斐波那契数列的递推公式 3.斐波那契数列的通项公式 an= 4.斐波那契数列的性质 (1)++…+=Fn×Fn+1; (2)a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n; (3)a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-1; (4)a1+a2+a3+a4+…+an=Sn=an+2-1. (Sn为斐波那契数列的前n项和) 【典例】 (多选)若数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为90°的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　　) A.a9=34 B.a2 026是奇数 C.a2+a4+a6+…+a2 026=a2 027 D.= 【答案】ABD 【解析】该数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,所以a9=34,A正确; 由斐波那契数列得每三个数中,前两个为奇数,后一个为偶数, 且2 026=3×675+1, 所以a2 026是奇数,B正确; 由an-1=an-an-2,得a2=a3-a1,a4=a5-a3,…,a2 026=a2 027-a2 025, 累加得a2+a4+…+a2 026=a2 027-a1,C错误; 由an=an-1+an-2(n≥3),得+++…+ =a1a2+++…+ =a2(a1+a2)++…+ =a2a3++…+ =a3(a2+a3)+…+=a3a4+…+=…=a2 025a2 026, 所以S2 025=(+++…+) =a2 025a2 026, 所以=,D正确. 角度2　数列的单调性 【典例】5 (多选)(2025·武汉调研)已知数列{an}满足a1=1,=an+,则下列说法正确的是(　　) A.an+1≥2an B.是递增数列 C.{an+1-4an}是递增数列 D.an≥n2-2n+2 【答案】ABD 【解析】对于A,法一　由=an+, 得an+1=+1≥1. 又a1=1,所以an≥1, 所以=an+≥2=2, 所以an+1≥2an,当且仅当an=, 即an=1时取等号,故A正确. 法二　由于=an+, 所以an+1=+1, 所以an+1-2an=+1-2an=(an-1)2≥0, 所以an+1≥2an,故A正确. 对于B,由于an+1≥2an,得an+1>an, 所以{an}为递增数列, 由a1=1,y=x+在[1,+∞)上单调递增,可得为递增数列,故B正确. 对于C,由an+1=+1,a1=1, 得a2=2,a3=5, 所以a2-4a1=-2,a3-4a2=-3, 所以数列{an+1-4an}不是递增数列,故C错误. 对于D,因为an≥1, 所以an+1-=1≤an+1-an, 所以an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1≥n+1, 所以an≥n,所以an+1=+1≥n2+1, 则an≥(n-1)2+1=n2-2n+2,故D正确. 角度3　数列的最值 【典例】6 (2025·湘东九校联考)设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N*,且a3-a4=-96,当Tn取得最大值时,n=(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】由题易知an≠0. ∵an+2an+1=0,∴=-, 故{an}是公比为-的等比数列. ∵a3-a4=-96,∴a1-a1=-96, 故a1=-256, ∴an=-256×, ∴Tn=(-256)n× =(-1)n =(-1·, 要使Tn取得最大值,则为偶数, 且取最小值, 由二次函数知识知,当n=8或n=9时, 取最小值,但只有n=8时,使得为偶数,符合要求. 【思维建模】 1.解决数列单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列. (2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断. 2.求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法,利用函数的单调性求最值. (2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. (3)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 【变式训练】3 (1)(2025·南昌测试)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a2 026=(　　) A. B.11 C.- D. 【答案】D 【解析】因为an+3== ===an, 所以数列{an}是周期为3的数列, 所以a2 026=a3×675+1=a1, 因为a2=11,所以11=, 解得a1=,故a2 026=a1=. (2)(2025·宁波模拟)已知数列{an}满足an=λn2-n,对任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,且对任意n∈{n|n≥7,n∈N}都有an<an+1,则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得λ>0. ∀n∈{1,2,3},an>an+1⇒>⇒λ<; ∀n≥7,an<an+1⇒<⇒λ>, ∴<λ<. (3)已知数列{an}的通项an=,n∈N*,则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　　　　.  【答案】3,-1　 【解析】an===1+, 当n≥11时,>0,且数列{an}单调递减; 当1≤n≤10时,<0,且数列{an}单调递减. 因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项,第10项.a11=3,a10=-1. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知an=,那么数列{an}是(　　) A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆数列 【答案】B 【解析】an=1-,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知数列{an}是递增数列. 2.数列{an}的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项可能是(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 【答案】A 【解析】数列为,,,,,…,其分母为2, 分子可表示为1+5(n-1)=5n-4, 因此通项公式可能为an=. 3.(2025·南通调研)已知数列{an},a1=1,an+1-an=2n,则a10等于(　　) A.511 B.1 022 C.1 023 D.2 047 【答案】C 【解析】因为an+1-an=2n, 所以a2-a1=2,a3-a2=22, a4-a3=23, a5-a4=24,…,a10-a9=29, 累加可得a10-a1=2+22+23+…+29==210-2, 所以a10=210-1=1 023. 4.(2025·成都诊断)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1且an+1=2Sn+1,则a5=(　　) A.101 B.81 C.32 D.16 【答案】B 【解析】当n=1时,a2=2S1+1=3, 当n≥2时,an+1=2Sn+1,① an=2Sn-1+1,② 由①-②得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2), 且当n=1时上式也成立,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列, a5=1×34=81. 5.(2025·哈尔滨模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a2=3,且∀n≥2,n∈N*都有4(Sn-Sn-1)-Sn+1=0,则(　　) A.{Sn-2Sn-1}是等比数列 B.an= C.an= D.S5=48 【答案】D 【解析】依题意,因为4(Sn-Sn-1)-Sn+1=0, 所以Sn+1-2Sn=2Sn-4Sn-1=2(Sn-2Sn-1),n≥2, 又S2-2S1=(a1+a2)-2×3=0, 所以Sn=2Sn-1,n≥2,又S1=a1=3, 所以数列{Sn}是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以Sn=3×2n-1. n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×2n-2, n=1时,a1=S1=3,不符合上式, 所以an= S5=a1+a2+a3+a4+a5 =3+3+6+12+24=48. 6.(2025·青岛模拟)在数列{an}中,a1=,前n项和Sn=n(2n-1)an,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an=2- D.an=2- 【答案】A 【解析】∵Sn=n(2n-1)an, ∴当n≥2时,Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1, 两式相减可得an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1, ∴(2n+1)an=(2n-3)an-1, ∴=, 因此an=a1××××…× =×××…×× =, 当n=1时,也满足上式, ∴an=,n∈N*. 7.若数列{an}的前n项积bn=1-n,则an的最大值与最小值之和为(　　) A.- B. C.2 D. 【答案】C 【解析】∵数列{an}的前n项积bn=1-n, 当n=1时,a1=; 当n≥2时,bn-1=1-(n-1), an====1+, 当n=1时也适合上式, ∴an=1+, ∴当n≤4时,数列{an}单调递减,且an<1; 当n≥5时,数列{an}单调递减,且an>1, 故an的最大值为a5=3,最小值为a4=-1, ∴an的最大值与最小值之和为2. 8.(2025·福州调研)数列{an}满足a1=8,an+1=(n∈N*),bn=·,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】an+1=两边取倒数得==+n, 所以-=1,-=2,…,-=n-1, 由累加法可得-=1+2+…+(n-1)=, 因为a1=8,所以=+=, 所以bn= =, 因为数列{bn}是递减数列,所以bn<bn-1, 即<, 整理可得 λ>=, 因为n≥2,n∈N*, 所以==,故λ∈. 二、多选题 9.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·,则下列说法正确的是(　　) A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时,数列{an}递减 【答案】BCD 【解析】假设第n项为{an}的最大项, 则 即 所以 又n∈N*,所以n=4或n=5, 故数列{an}中a4与a5均为最大项, 且a4=a5=, 当n≥5时,数列{an}递减. 10.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现.因为斐波那契以兔子繁殖为【典例】子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.“斐波那契数列”{an}满足a1=1,a2=1,an=+(n≥3,n∈N*),记其前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　) A.S7=33 B.S2 026+S2 025-S2 024-S2 023=a2 028 C.a1+a3+a5+…+a2 027=a2 028 D.+++…+=a2 025a2 026 【答案】ABC 【解析】A项,S7=a1+a2+a3+…+a7 =1+1+2+3+5+8+13=33,A正确; B项,S2 026+S2 025-S2 024-S2 023=a2 025+a2 026+a2 024+a2 025=a2 027+a2 026=a2 028,B正确; C项,a1+a3+a5+…+a2 027=a2+a3+a5+…+a2 027=a4+a5+…+a2 027=a6+…+a2 027=a2 026+a2 027=a2 028,C正确; D项,=a2a1,=a2(a3-a1)=a2a3-a1a2,=a3a4-a2a3,=a4a5-a3a4,…,=a2 025a2 026- a2 024a2025,=a2 026a2 027-a2 025a2 026, 所以+++…+=a2 026a2 027,D错误. 11.(2025·池州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则下列说法正确的是(　　) A.a2 026>a2 025 B.为递增数列 C.4-1=4an+1an D.<1 014 【答案】ACD 【解析】因为an+1-an=-an=>0, 即an+1>an,所以数列{an}为递增数列, 则a2 026>a2 025,A正确; 因为数列{an}为递增数列且an≥1>0, 所以为递减数列,B错误; 由an+1=, 可得2an+1-an=, 两边平方整理得4-1=4an+1an,C正确; 将4-1=4an+1an两边都除以4an+1得an=an+1-, 两边平方得=+->-,即-<, 可得-<, -<,…,-<, 累加可得-<×(2 026-1)=1 012.5, 即-1<1 012.5, 所以<1 013.5<1 014,D正确. 三、填空题 12.已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=　　　　.  【答案】 【解析】当n=1时,a1=S1=a1+, 所以a1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1, 所以=-, 所以数列{an}是以1为首项,-为公比的等比数列, 故an=. 13.(2025·广州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,当取最小值时,n=　　　　.  【答案】3 【解析】n=1时,a1=S1=2, n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n, n=1时也满足上式, ∴an=2n,n∈N*, 则== =+≥, 当且仅当n=3时取“=”. 14.(2025·杭州模拟)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,……,若按此规律继续下去,则a5=　　　　,若an=145,则n=　　　　.  【答案】35　10 【解析】由题意知,第1个五角形数记作a1=1=3×1-2, 第2个五角形数记作a2=5=a1+3×2-2, 第3个五角形数记作a3=12=a2+3×3-2, 第4个五角形数记作a4=22=a3+3×4-2, 第5个五角形数记作a5=a4+3×5-2=35, …… 第n个五角形数记作an=an-1+3×n-2, 即an-an-1=3n-2, 则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+3(2+3+…+n)-2(n-1)=1+3×-2(n-1)=+1, 由an=145,即+1=145, 解得n=10. 四、解答题 15.求下列数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=an+3n; (2)a1=1,an+1=2nan. 【解析】(1)由an+1=an+3n得an+1-an=3n, 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =1+31+32+33+…+3n-1 ==, 当n=1时,a1=1=,满足上式, ∴an=(n∈N*). (2)由an+1=2nan,得=2n, 当n≥2时,an=a1××××…×=1×2×22×23×…×2n-1=21+2+3+…+(n-1)=. 当n=1时,a1=1满足上式, ∴an=(n∈N*). 16.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围. 【解析】(1)∵2Sn=(n+1)an, ∴2Sn+1=(n+2)an+1, ∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an, 即nan+1=(n+1)an, ∴=,∴==…==1, ∴an=n(n∈N*). (2)bn=3n-λn2, bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2) =2·3n-λ(2n+1). ∵数列{bn}为递增数列, ∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<. 令cn=, 即=·= =1+>1, ∴{cn}为递增数列,∴λ<c1=2, 即λ的取值范围为(-∞,2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 数列的定义 ★★☆☆☆ 考点2 数列的分类 ★★★☆☆ 考点3 数列的通项公式 ★★★☆☆ 考点4 数列的通项公式 ★★★☆☆ 考点5 数列的递推公式 ★★★☆☆ 【知识拓展】斐波那契数列 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.数列的定义★★☆☆☆ 按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类★★★☆☆ 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法★★★☆☆ 数列有三种表示法,它们分别是表格法、图象法和解析式法. 4.数列的通项公式★★★☆☆ 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式★★★☆☆ 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 【考法归纳】 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an= 2.在数列{an}中,若an最大,则 若an最小,则 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　) 2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(　　) A.21 B.33 C.152 D.153 3.(人教B选修三P13【典例】3改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于(　　) A.n B.2n C.2n+1 D.n+1 4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a5=　　　　,猜想an=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　由an与Sn的关系求通项 【典例】1 (1)(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通项公式an=　　　　.  (2)已知数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an=　　　　.  【变式训练】1 (1)(2025·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n+1,则{an}的通项公式为　　　　.  (2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　.  考点二　由数列的递推关系求通项公式 角度1　累加法——形如an+1-an=f(n),求an 【典例】2 (2025·苏锡常镇调研)围棋起源于我国,至今已有4 000多年的历史.在围棋中,对于一些复杂的死活问题,比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时,可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气,大小为(n+1)的眼有an+1口气,且a1=1,a2=2,an+1-n=an-1(n≥2,n∈N*),则an的通项公式为　　　　.  角度2　累乘法——形如=f(n),求an 【典例】3 (2025·湖州质检)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,则使不等式an<930成立的最大正整数n为(　　) A.28 B.29 C.30 D.31 【变式训练】2 (1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an等于(　　) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n (2)已知在数列{an}中,a1=1,=,则an=　　　　.  考点三　数列的性质 角度1　数列的周期性与斐波那契数列 【典例】4 (1)(2025·淄博模拟)数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则a2 026=(　　) A. B.3 C.-2 D.- (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 【知识拓展】斐波那契数列 1.教材母题 (人教A选修二P10阅读与思考)斐波那契数列的定义:若一个数列,首两项等于1,而从第三项起,每一项是之前两项之和,则称该数列为斐波那契数列.【典例】:1,1,2,3,5,8,13,…… 2.斐波那契数列的递推公式 3.斐波那契数列的通项公式 an= 4.斐波那契数列的性质 (1)++…+=Fn×Fn+1; (2)a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n; (3)a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-1; (4)a1+a2+a3+a4+…+an=Sn=an+2-1. (Sn为斐波那契数列的前n项和) 【典例】 (多选)若数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为90°的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　　) A.a9=34 B.a2 026是奇数 C.a2+a4+a6+…+a2 026=a2 027 D.= 角度2　数列的单调性 【典例】5 (多选)(2025·武汉调研)已知数列{an}满足a1=1,=an+,则下列说法正确的是(　　) A.an+1≥2an B.是递增数列 C.{an+1-4an}是递增数列 D.an≥n2-2n+2 角度3　数列的最值 【典例】6 (2025·湘东九校联考)设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N*,且a3-a4=-96,当Tn取得最大值时,n=(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 【变式训练】3 (1)(2025·南昌测试)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a2 026=(　　) A. B.11 C.- D. (2)(2025·宁波模拟)已知数列{an}满足an=λn2-n,对任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,且对任意n∈{n|n≥7,n∈N}都有an<an+1,则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. (3)已知数列{an}的通项an=,n∈N*,则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知an=,那么数列{an}是(　　) A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆数列 2.数列{an}的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项可能是(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 3.(2025·南通调研)已知数列{an},a1=1,an+1-an=2n,则a10等于(　　) A.511 B.1 022 C.1 023 D.2 047 4.(2025·成都诊断)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1且an+1=2Sn+1,则a5=(　　) A.101 B.81 C.32 D.16 5.(2025·哈尔滨模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a2=3,且∀n≥2,n∈N*都有4(Sn-Sn-1)-Sn+1=0,则(　　) A.{Sn-2Sn-1}是等比数列 B.an= C.an= D.S5=48 6.(2025·青岛模拟)在数列{an}中,a1=,前n项和Sn=n(2n-1)an,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an=2- D.an=2- 7.若数列{an}的前n项积bn=1-n,则an的最大值与最小值之和为(　　) A.- B. C.2 D. 8.(2025·福州调研)数列{an}满足a1=8,an+1=(n∈N*),bn=·,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·,则下列说法正确的是(　　) A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时,数列{an}递减 10.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现.因为斐波那契以兔子繁殖为【典例】子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.“斐波那契数列”{an}满足a1=1,a2=1,an=+(n≥3,n∈N*),记其前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　) A.S7=33 B.S2 026+S2 025-S2 024-S2 023=a2 028 C.a1+a3+a5+…+a2 027=a2 028 D.+++…+=a2 025a2 026 11.(2025·池州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则下列说法正确的是(　　) A.a2 026>a2 025 B.为递增数列 C.4-1=4an+1an D.<1 014 三、填空题 12.已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=　　　　.  13.(2025·广州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,当取最小值时,n=　　　　.  14.(2025·杭州模拟)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,……,若按此规律继续下去,则a5=　　　　,若an=145,则n=　　　　.  四、解答题 15.求下列数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=an+3n; (2)a1=1,an+1=2nan. 16.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$