北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期统练三数学试题

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期统练三数学试题 2025.5.19 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A. B. C. D. 4. 对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 用0，1，2，3，4组成无重复数字的三位偶数有（ ） A. 24个 B. 30个 C. 40个 D. 48个 6. 5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（　　） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 已知数列满足，则数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9. 已知函数（a为常数），则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为增函数 D. 为减函数 10. 已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 若，则有4个不同的可能取值 B. 若，则 C. 对于任意，存在正整数，使得 D. 对于任意大于2的正整数，存在，使得 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则_______；_______. 12. 数列已知数列中，等比数列的公比满足且，则__． 13. 已知数列的前n项和为且，则_____________． 14. 已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，若M，N关于x轴对称，则实数a的最小值是__________． 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使函数的值域是； ②存在实数a，使得有最小值； ③对任意实数a，至少存在两个零点； ④存在，有，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题（共3题，满分35分） 16. 将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 17. 为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． （1）将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； （2）当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 四、附加题（选做，共1题，满分15分） 19. 已知数列满足：，，. （1）若，证明：为常数列，并求的通项公式； （2）将随机填入的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等； （3）将所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前项和为，证明：. 北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期统练三数学试题 2025.5.19 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题（共3题，满分35分） 【16题答案】 【答案】（1）256（种） （2）144（种） （3）12（种） 【17题答案】 【答案】（1） （2）当销售单价为（千元）时，利润最大；当销售单价为（千元）时，利润最小 【18题答案】 【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数 （2）. 四、附加题（选做，共1题，满分15分） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）证明：对任意某行，不妨设，且， 则， 考虑另外的某行或列，不妨设（记为），且， 则，① 若为行，则知为互不相同的正整数， 不妨设，则， ； ②若为列，则该列与上述行恰存在一个交叉的相同格， 在与中同时去掉这个相同数，对于剩余的各自44个数， 这88个数仍各不相同，类似（1）进行考虑，知与仍不相等， 综上所述，命题得证. （3）证明：对于任意互不相等的正整数，，，，不妨设， 由（2）可知， 故知所有算术平均数的排序应为： ， 易知新数列的项数为，故， 对，使得，知， 则为中任两项的算术平均数之和， 再加上与的个算术平均数之和， ， 由于，则，得， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $