精品解析：陕西榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第三次模拟考试高三年级数学试卷

榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第三次模拟考试 高三年级数学试卷 一､单选题 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. ，点P在边AB上，，设，则（　　） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 若，且，则的最小值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 7. 已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（）在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若，则 D. 若不等式的解集为，则 11. 已知函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 当时， 三､填空题 12. 已知，则______． 13. 若函数有零点，但不能用二分法求出该零点，则的值为______． 14. 已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 四､解答题 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． （1）求证：，，，四点共面； （2）设，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求； （3）设数列的前项和为，求． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第三次模拟考试 高三年级数学试卷 一､单选题 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又，所以． 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 若，共线，则，得， 所以. 3. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“充分不必要条件”的定义推导. 【详解】“充分不必要条件”的定义是由结论可以推导出条件，但由条件不能推导出结论， 其中“，”为真命题是结论，可以推出 ， ， 其中 是条件，由 不能推出“，”为真命题， 对于A，B选项，可以推出“，”为真命题，是充分条件； 对于C选项，是既不充分也不必有的条件； 故选：D. 4. ，点P在边AB上，，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 6. 若，且，则的最小值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由及基本不等式求解即可. 【详解】由得，，由， 得， 则 ， 等号成立时，，即， 故的最小值为： 故选：B 7. 已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数性质求出参数，再推导函数周期，将转化为区间内的函数值计算即可． 【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即， 由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 因为，所以， 又，令得， 所以． 8. 若函数（）在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为在上有4个满足，结合余弦函数的图象与性质求解即可. 【详解】设，当时，， 原函数在内恰好存在4个， 使得则可以化为在上有4个满足， 结合余弦函数图象，当时，这4个依次为，，，， 故只需，同时第5个，由此解得，故选A. 二､多选题 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由函数图象的顶点坐标求出A，再由周期求出即可判断；选项B，由五点法求出，进而得出的解析式，再求出即可判断；选项C，根据正弦函数的性质即可判断；选项D，在上单调，求出最小值即可. 【详解】由函数的图象可得，由，解得，从而A正确； 再根据五点法可得， 又因为，解得， 从而，所以， 即函数为奇函数，从而B错误； 当时，，所以是最值，所以C正确； 因为时，， 因为，所以单调递增， 所以当时，从而D正确. 故选：ACD 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若，则 D. 若不等式的解集为，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A： 的定义域由 解得 ； 的定义域由 且 解得.两函数定义域相同； 且当 时，，，由对数运算法则 对应关系也相同，因此二者是同一个函数. 选项B：指数函数 的图象恒过定点 . 对 ，令 ，即 ，则 所以 的图象恒过定点 ，而不是 . 选项C：命题缺少“、 均非负”这一前提条件。反例：取 ，，则 ，但 在实数范围内无意义，故 不成立. 选项D：不等式 的解集为 ， 说明二次函数 的图象开口向下， 且 、 是方程 的两个根. 由韦达定理：两根之和 得 ；两根之积 得 .于是 ， 所以 综上，正确答案为 A、D. 11. 已知函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对D：根据题意结合函数单调性分析运算. 【详解】对A：令，可得，解得，A正确； 对B：∵当时，，则， ∴，B错误； 对C：令，可得，即， 设，则，可得， 则，即， 故函数在内单调递增，C正确； 对D：∵函数在内单调递增， 故当时，，D正确. 故选：ACD. 三､填空题 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 若函数有零点，但不能用二分法求出该零点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，即可求得实数的值. 【详解】由题意知，解得． 故答案为：. 14. 已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意将函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式能成立问题，通过参变分离，构造函数，求其值域即得参数范围. 【详解】由求导得， 因函数在上存在减区间，则在上有解区间，即在上能成立. 设，则，则函数在上单调递增， 故，即，故可得， 即实数的取值范围为. 四､解答题 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 故的最小正周期； 【小问2详解】 由，解得， 故的单调递增区间为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 17. 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． （1）求证：，，，四点共面； （2）设，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）由平面 平面， ，得 平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. （2） 【解析】 【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面; (2)分别求出平面 与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，故， 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， 设平面 与平面夹角为 , 即平面 与平面夹角的余弦值. 18. 已知等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 设公差为，由，得，，解得， ∴； 【小问2详解】 由得， ∴； 【小问3详解】 ， . 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $