精品解析：山东省东营市垦利区2023-2024学年下学期5月八年级数学素养考查试题

八年级数学学科素养评估 一、选择题 1. 在这四个数中，最小的数是( ) A. B. C. 0 D. 2. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 8. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 9. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 10. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 12. 下图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 14. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 17. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 18. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 19. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 20. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 21. 若是关于的方程的解，则的值为________． 22. 某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则___________． 23. 如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是____________． 24. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号） 三、解答题：（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 25. （1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________． （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征． 26. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度． 27. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 28. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 29. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 30. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科素养评估 一、选择题 1. 在这四个数中，最小的数是( ) A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是； 故选A． 【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键． 2. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是； 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 3. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，错误，故不符合要求； D、，正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算． 5. 下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．将一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧能完全重合的图形是轴对称图形，将一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合的图形是中心对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 7. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 8. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿年年年， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 9. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 10. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键． 11. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示， 则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 12. 下图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次观察各建筑物的图片即可作出判断，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：最符合视图特点的建筑物的图片是选项B所示图片． 故选：B． 【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 13. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键． 14. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 15. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 16. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 18. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 19. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 20. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出、、是解题关键． 二、填空题： 21. 若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 22. 某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 23. 如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是____________． 【答案】14 【解析】 【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形平行四边形， ∴平行四边形纸片的周长是， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴； ∴， 在中，，， ∴； ∴（米）； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 三、解答题：（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 25. （1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________． （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征． 【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图： 【解析】 【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考； （2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形． 【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）略 【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 26. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度． 【答案】####． 【解析】 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 27. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】(1)分别计算绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减法； (2)先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴的整数解有：， ∵， ∴，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 28. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【解析】 【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可． 【详解】解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3 ∵（x＋1）2≥0， ∴（x＋1）2＋3≥3 ∴x2＋2x＋4的最小值是3． （2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5 ∵（x－1）2≥0， ∴－（x－1）2≤0 ∴－（x－1）2＋5≤5 ∴4－x2＋2x的最大值是5． （3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得 S＝AB·BC ＝x（20－2x） ＝－2x2＋20x ＝－2（x2－10x） ＝－2（x2－10x＋25－25） ＝－2（x－5）2＋50 ∵－2（x－5）2≤0 ∴－2（x－5）2＋50≤50 ∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式． 29. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 【答案】（1） （2）②③ （3）人 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案； （2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案； （3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为，故①不符合题意； ②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在这一组， ∴掷实心球成绩的中位数记为n，则；故②符合题意； ③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀． ∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀， ∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名， ∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀； 若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀； 学生1，学生4不可能同时为优秀， ∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意； 故答案为：②③ 【小问3详解】 排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为（人）． 【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键． 30. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究，检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【解析】 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $