精品解析：2025年湖南省祁阳市中考模拟数学仿真试卷（二）

2025年湖南省祁阳市中考模拟数学仿真试卷（二） （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上） 1. 冰箱冷藏室的温度零上3℃，记作+3℃，冷冻室的温度零下8℃，应记作（　　） A. 8℃ B. ﹣8℃ C. 11℃ D. ﹣5℃ 2. 如图，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年12月6日，全球首个专注于摩崖石刻的专题数字体验馆在祁阳市浯溪碑林宣布正式开馆，体验馆展陈分为三个展区，以《大唐中兴颂》的原文命名，分别为“何千万年”“石崖天齐”“可磨可镌”，从文脉绵延、文明丰碑、文化传习三个层面呈现摩崖文化的千古魅力．该馆的总造价约为1390万元，1390万用科学记数法表示为：（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据，，7，3，5有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 7. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（　　） A. B. 6 C. D. 3 8. 下列命题：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④对于任意实数m，关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确的命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，S△EFC=1，则四边形BCEF的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 因式分解：__________． 12. 已知与4互为相反数，则________． 13. 函数中，自变量的取值范围是_______. 14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________． 15. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________． 16. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值等于____________ 17. 如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为___________． 18. 定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，，再从，0，1，中选择一个合适的值代入求值． 21. 某初中开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设踢毽子、篮球、跳绳、健美操四种运动项目（分别用A，B，C，D表示）．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每个被调查的学生必须选择一种且只能选择一种），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查学生数___________名； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有1500名学生，喜欢篮球运动的学生约有多少名？ 22. 如图，在中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 23. 为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； （2）2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 24. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米， （1）求点B到地面的距离； （2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 25. 如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H． （1）求证：BP是⊙O的切线； （2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值； （3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省祁阳市中考模拟数学仿真试卷（二） （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上） 1. 冰箱冷藏室的温度零上3℃，记作+3℃，冷冻室的温度零下8℃，应记作（　　） A. 8℃ B. ﹣8℃ C. 11℃ D. ﹣5℃ 【答案】B 【解析】 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】冰箱冷藏室的温度零上3℃，记作+3℃，冷冻室的温度零下8℃，应记作﹣8℃． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2. 如图，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，掌握主视图的概念是解题的关键．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中，看不到的棱需要用虚线来表示． 【详解】解：从正面看三个矩形， 即该几何体的视图为： 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，分别计算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、和不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 2024年12月6日，全球首个专注于摩崖石刻的专题数字体验馆在祁阳市浯溪碑林宣布正式开馆，体验馆展陈分为三个展区，以《大唐中兴颂》的原文命名，分别为“何千万年”“石崖天齐”“可磨可镌”，从文脉绵延、文明丰碑、文化传习三个层面呈现摩崖文化的千古魅力．该馆的总造价约为1390万元，1390万用科学记数法表示为：（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1390万即，计算得， 故选：C． 5. 如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 由，根据圆周角定理得出，再利用邻补角的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 一组数据，，7，3，5有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数．由众数的定义，得到，再将这组数据从小到大排列，根据中位数的定义，即可得到答案．熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键． 【详解】解：∵一组数据，，7，3，5有唯一的众数7， ∴， 把这组数据从小到大排列为：，3，5，7，7， 一共有5个数据，处于最中间的为第3个数5， 故中位数为5， 故选：C 7. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（　　） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于3， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＜0， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质． 8. 下列命题：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④对于任意实数m，关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确的命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用中点四边形的判定、平行四边形的对称性、算术平方根的定义及一元二次方程的根的情况进行判断后即可确定正确的答案． 【详解】解：①顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，正确，符合题意； ②平行四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意； ③的算术平方根是，故原命题错误，不符合题意； ④∵对于任意实数m，关于x的方程的Δ＝b2−4ac＝（m＋3）2−4（m＋2）＝（m−1）2≥0， ∴有两个实数根，故原命题错误，不符合题意， 正确的有1个， 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解中点四边形的判定、平行四边形的对称性、算术平方根的定义及一元二次方程的根的情况，难度不大． 9. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，S△EFC=1，则四边形BCEF的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，得出EF与BC的比值，再根据三角形的面积比即可得出结论. 【详解】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点， ∴EF∥BC，EF=BC ∴△EFG∽△BCG， ∴S△EFG∶S△BCG=1∶4，EG∶GB=1∶2，FG∶GC=1∶2， ∴S△FBG∶S△FGE= S△EGC∶S△FGE=2∶1， ∴S△BGC=4，S△FBG=2，S△EGC=2， ∴四边形BCEF的面积=1+2+2+4=9. 故答案选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是根据线段的比值得出相应面积的比值. 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由“倍增点”的定义得，，即可判断①；可设满足题意得“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断②；可设抛物线上的“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断③；设，由“倍增点”的定义得，由勾股定理得，即可判断④． 【详解】解：由题意得 ， ， 点，都是点的“倍增点”， ①正确； 可设满足题意得“倍增点”为， 解得：， ， ∴②错误； 可设抛物线上的“倍增点”为， ， 解得：， ， 此时满足题意的“倍增点”有，个， ∴③错误； 设， ， ， ， 当时，的最小值为， ④正确， 正确的有①④，有个． 故选：B. 【点睛】本题考查了新定义，一次函数图象和二次函数图象上的点的坐标，二次函数的最值，勾股定理等，理解新定义，能根据新定义得到相应的方程或关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 已知与4互为相反数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可 【详解】解：∵与4互为相反数， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 13. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：共有种等可能的结果， 故， 故答案为：． 15. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小， 当PM⊥OC时， 又∵OP平分∠AOC，，， ∴PM=PD=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 16. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值等于____________ 【答案】2 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了一元二次方程的定义及解法，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得（舍去）， 故答案为：2． 17. 如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 18. 定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， 则由题意可得， 即 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，负指数幂，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，负指数幂，再计算零指数幂和去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 先化简，，再从，0，1，中选择一个合适的值代入求值． 【答案】；当时，原式． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则，进行化简，根据分式的分母不为0，确定合适的值代入求值即可。 【详解】解： ， ，，， ， 当时， 原式 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键． 21. 某初中开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设踢毽子、篮球、跳绳、健美操四种运动项目（分别用A，B，C，D表示）．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每个被调查的学生必须选择一种且只能选择一种），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查学生数___________名； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有1500名学生，喜欢篮球运动的学生约有多少名？ 【答案】（1）200 （2） 补全统计图如下 126° （3）450名 【解析】 【分析】（1）用A部分人数除其所占百分比即得出总调查人数； （2）用总调查人数乘B部分所占百分比，求出B部分人数，即可补全统计图；用C部分人数除总调查人数，即得出其所占百分比，再乘360°即可． （3）用该校总人数乘B部分所占百分比即得出答案． 【小问1详解】 解：30÷15%=200（名） ∴本次共调查学生200名． 故答案为：200； 【小问2详解】 解：最喜欢B运动的人数有200×30%=60（名）． 图如答案所示， C部分所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：1500×30%=450（名） 答：喜欢篮球运动项目的学生约有450名． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体，解题的关键是根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据． 22. 如图，在中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）利用三角函数求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，∵，， ∴． 在中，∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 23. 为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； （2）2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，故，再解出的值，即可作答． （2）先理解题意，得，且结合为正整数，即可作答． 【小问1详解】 解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为， 依题意，得， 解得（舍去）， ∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为； 【小问2详解】 解：设该市在2025年可以给个社区建设微型图书阅览室， 依题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴该市在2025年最多可以给个社区建设微型图书阅览室． 24. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米， （1）求点B到地面的距离； （2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）5；（2）宣传牌CD高（20﹣10）m． 【解析】 【详解】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH==i==．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5； （2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，得到DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5+15，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5+15，即可求得结果． 试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH==i==，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5． 答：点B距水平面AE的高度BH是5米； （2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，∴DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5+15，∴CD=CF﹣DF=5+15﹣（15﹣5）=20﹣10（米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣10）米． 25. 如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H． （1）求证：BP是⊙O的切线； （2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值； （3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP． 【答案】 （1）如图，连接BC，OB． ∵CD是直径， ∴∠CBD=90°， ∵OC=OB， ∴∠C=∠CBO， ∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB， ∴∠CBO=∠PBD， ∴∠OBP=∠CBD=90°， ∴PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）； （3）∵PD=PH， ∴∠PDH=∠PHD， ∴∠PDN=∠PHD=∠AHN， ∵∠NPC=90°，∠OAP=90°， ∴∠NAH =∠NPD=90°， ∴△NAH∽△NPD， ∴=， ∵∠APN+∠PNA=∠POA+∠PNA=90°， ∴∠APN=∠POA， 又∠PAN=∠PAO=90°， ∴△PAN∽△OAP， ∴=， ∴=， ∴==， ∴AH•OP=HP•AP． 【解析】 【分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可． （2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可． （3）证明△NAH∽△NPD，推出=，证明△PAN∽△OAP，推出=，推出=可得结论． 【详解】（1）略 （2）∵CD⊥AB， ∴CD垂直平分AB， ∴PA=PB， ∵OA=OB，OP=OP， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵∠AMO=90°， ∴OM===3， ∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO， ∴△AOM∽△POA， ∴=， ∴=， ∴OP=， ∵PN⊥PC， ∴∠NPC=∠AMO=90°， ∴=， ∴=， ∴PN=． （3）略 【点睛】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $