精品解析：云南省丽江市永胜县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟数学试卷

丽江市永胜县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，共计40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合中对应函数的值域，再求即可. 【详解】因为，又， 故. 故选：B 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程变形为标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准形式为， 则，解得， 即抛物线的准线为， 故选：. 5. 在中，，、分别是、的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. 与相等 D. 与相等 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 6. 在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点到面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出平面的一个法向量，再求出在方向上的投影的绝对值即可． 【详解】由题意, 设平面的一个法向量为，则 ，取，则， ∴，即到平面的距离是． 故选：A. 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设是平面的一个法向量，是平面内任一点，则到平面的距离是． 7. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解：不等式的解集为，得到，且，，进而转化不等式求解. 【详解】解：因为关于的不等式的解集为， 所以，且，， 所以，， 所以化为， 解得. 故选：A. 8. 给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 192种 C. 180种 D. 168种 【答案】D 【解析】 【分析】按照一定的顺序对五个区域进行染色，依次考虑每个区域的染色选择，根据相邻区域颜色不同的要求来确定每种情况下的染色方法数. 【详解】先对染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有72种； 若2和3不同色，则不同的染色方法有种． 综上所述，不同的染色方法有种． 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，共计18分） 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABD，可以利用赋值法即可验算；对于C，直接利用二项式定理即可判断. 【详解】对于A，因为， 令可得，故A正确； 对于B，令可得，所以，故B不正确； 对于C，展开式的通项为，所以，故C不正确； 对于D，由通项可知，所以， 令可得，即，故D正确. 故选：AD. 10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线：就是其中之一，P为曲线上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰有2条对称轴和1个对称中心 B. 若P在第一象限内，则点P到点的距离和到直线的距离相等 C. 曲线所围成的封闭图形的面积小于 D. 若P不在坐标轴上，则曲线在点P处的切线的横纵截距之和为1 【答案】BC 【解析】 【分析】首先画出曲线C的图象，结合图象可直接判断A选项；由两点之间的距离公式以及点到直线的距离公式即可判断B；由第一象限的点到点的距离，可得曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，则曲线C和两坐标轴所围成的封闭图形的面积小于，则C可判断；利用导数的几何意义求切线方程即可判断D. 【详解】对于A，曲线C：即， 如图， 曲线C关于x，y轴和直线，对称，有4条对称轴； 又曲线C关于原点对称；故A错误； 设为曲线C上一点，则 对于B，只考查曲线C在第一象限内的部分，此时曲线C：， 又由， 而，故B正确； 对于C，由对称性，考查曲线C在第一象限内的部分， 由点到点的距离， 则曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方， 则曲线C和两坐标轴所围成的封闭图形的面积小于， 所以曲线C所围成的封闭图形的面积小于，故C正确； 对于D，由对称性，只考查曲线C在第一象限内的部分， 此时曲线C：， 设为曲线C在第一象限部分上一点，则， 由，则， 则曲线C在点处的切线为， 即，即， 由以及对称性可知，曲线C在点P处的切线的横纵截距的绝对值之和为1，故D错误； 故选：BC. 11. 比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（ ） A. ，两点为双曲线的两个焦点 B. C. 若，则该双曲线为等轴双曲线 D. 双曲线的实轴长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，过点做球的切线，切点分别为与，利用切线长和双曲线的定义判断；B.过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，判断；D.设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项得到，连接，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，判断；C.由，判断. 【详解】在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点，同理，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点所以，，以及圆锥的顶点共线，所以为定值，故A正确； 过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，，所以，故B正确； 对于D， 设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项可知，， 连接，，则，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，，所以，故D正确 由上述可得，双曲线，，所以双曲线离心率为，与，是否相等无关，故C不正确， 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，共计15分） 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先说明数列的公比不为，由条件结合等比数列求和公式证明，再结合求和公式求结论. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，矛盾，故． 由题意，得，即，， 所以． 故答案为： 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求. 【详解】由题意可知，，所以， 所以，所以， 又函数的图象关于对称， 又，且， 所以. 故答案为：. 14. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长，可求得圆锥的母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知的内角所对的边分别，且. （1）求； （2）已知，求的面积. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及、倍角公式化简即可求出，进而得出； （2）利用正弦定理得出或，即可分类讨论计算三角形面积. 【小问1详解】 根据正弦定理得，， 又，则， 所以， 又因为，则，则， 又，则，所以， 所以，即. 【小问2详解】 由，得， 因，则或， 若，于是，此时； 若，于是，此时， 所以的面积或. 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值； （2）求导，得到是方程的两个正根，从而得到不等式，求出，由韦达定理整理得到，结合函数单调性得到，求出答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 【小问2详解】 由题意知，函数的定义域为，求导得， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根， 则有 解得． 且， 而， 所以， 又，下面证明在上单调递增，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递增， 易知，即， 所以， 故． 17. 如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）设的中点为，连接，如图所示，    因为与均为等腰直角三角形，， 故，且， 又， 故，即， 且平面，， 故平面，且平面， 故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直即可； （2）利用线面关系作出二面角的平面角，然后利用余弦定理求余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且平面， 所以平面，且，故平面， 且平面，故，则， 设和的中点分别为，连接，    则，故， 又因为，故， 且平面，平面， 故即二面角的平面角， 且， 因为，故， 则， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）当时，对甲获胜的场数有影响．当时，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响． （2）证明：由题意， ， ， 综上，，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设写出列联表，应用卡方公式得，讨论参数结合独立检验基本思想即得答案； （2）根据题设，应用独立乘法公式及互斥事件加法得到，并化简，即可证； （3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到，进而分情况写出关于参数p的概率公式，即可比较大小. 【小问1详解】 由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下， 甲获胜场数 乙获胜场数 5局3胜 7局4胜 所以，若， 当时，根据小概率值的独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响． 当时，根据小概率值的独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局， 设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况： 第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为， 则，得， 若第一阶段甲获胜，即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况， 甲至少胜局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜； 甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为， 所以， 若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得， 所以， 则 ， 由，所以，得. 【点睛】关键点点睛：第三问，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到为关键. 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程， 综上，上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市永胜县第一中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，共计40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，、分别是、的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. 与相等 D. 与相等 6. 在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点到面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 192种 C. 180种 D. 168种 二、多选题（本大题共3小题，共计18分） 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线：就是其中之一，P为曲线上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰有2条对称轴和1个对称中心 B. 若P在第一象限内，则点P到点的距离和到直线的距离相等 C. 曲线所围成的封闭图形的面积小于 D. 若P不在坐标轴上，则曲线在点P处的切线的横纵截距之和为1 11. 比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（ ） A. ，两点为双曲线的两个焦点 B. C. 若，则该双曲线为等轴双曲线 D. 双曲线的实轴长为 三、填空题（本大题共3小题，共计15分） 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 14. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知的内角所对的边分别，且. （1）求； （2）已知，求的面积. 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若是的两个极值点，且，求a的最大值． 17. 如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $