福建省南平市2025届高中毕业班第三次质量检测数学试题

南平市2025届高中毕业班第三次质量检测 数学答题卡 准这马 贴条形码区域 与线是我行，并得提 4由蛇 1.潭种+销G,不书在不候 一，单项注怪整（用2B细笔填常 t团DW可 1团团四匝 ,II四四 2D四 5团口0时 由国对四 清知▣工四▣ 4团团四面 ■ 二、多项选课验（用浴给笔填涂》 9田面0四 #四00可 HD面动四 三.填空用需色隔水餐字第书写》 12 3 清不要在跳区域 威任何标记 ■ 四，铜需颜（用黑色腰水器字氧书写） 15 备中数学答圈卡第1重共2页 ■ 16 ◆ ■ ■ 17 ■ ■ 18 高中数学答圈卡第2重共2页 ■ 19 ◆ ■数学参考答案 第 1 页 共 7 页 南平市 2025 届高中毕业班第三次质量检测 数学试题参考答案及评分标准 说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分． 1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 二、选择题：每小题 5 分，满分 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．AC 10．BCD 11．BCD 三、填空题：每小题 5 分，满分 20 分． 12． 13． 14． ， （第一个空 2 分，第二个空 3 分） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分） 解：（1）证明：由正弦定理，得 ， …… 2 分 因为 ，所以 ， 所以 ． …… 3 分 又因为 ，所以 ， 所以 ， . 解得 ． …… 6 分 又因为 ， 所以 为等边三角形． …… 7 分 （2）在 中，由余弦定理，得 ， 解得 ． ……10 分 四边形 的面积 ， 7 5 4 3 3 4 2 3 πsin sin( ) sin sin 3 C B A C+ = 0 πC  sin 0C  πsin( ) sin 3 B A+ = a b= A B= π π 3 B A+ + = π 2 π 3 A+ = π 3 A = a b= ABC△ ACD△ 2 2 2 2 cosAC DA DC DA DC ADC= + −    2 21AC = ABCD 3 1 5π21 3 3 sin 6 3 4 2 6ABC ACD S S S= + =  +    =△ △ 数学参考答案 第 2 页 共 7 页 所以四边形的 面积为 . ……13 分 16．（本题满分 15 分） 解：（1） ， …… 1 分 令 ，解得 ． …… 2 分 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 ． … 6 分 （2）解法一：设 （ ），则 ， … 9 分 设 （ ），要证 ， 即证 ． ……10 分 设 ，令 ，得 ， ……12 分 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增． 所以 ，所以 ． 则 ，得证． ……15 分 解法二： 设 （ ）， 则 ( ) ( ) 1 11 e 1xg x x x − = + − − ． …… 7 分 即 ( ) ( )( )1 11 exg x x x − = + − …… 8 分 因为 ，所以函数 ( ) 1 1ext x x −= − 在 上单调递增，且 ． ……12 分 当 时， 则 ， 单调递减； 当 时， 则 ， 单调递增． ，所以 ，得证． ……15 分 17．（本题满分 15 分） 解：（1）解法一：因比赛局数为 4（若到第 4 局未分胜负比赛也终止）， 所以第四局甲队或乙队可胜可负， 则只需考虑前两局比赛即可． …… 2 分 ABCD 6 3 1( ) e 2xf x − = − ( ) 0f x = 1 ln 2x = + ( )1 ln 2x − +， ( ) 0f x  ( )f x ( )1 ln 2x + +， ( ) 0f x  ( )f x ( )f x ( )1 ln 2− +， ( )1 ln 2+ +， ( ) ( ) lng x xf x x x= + − 0x  ln 1( ) e ( ln )x xg x x x+ −= − + ln 1t x x= + − tR ( ) 0g x ≥ e ( 1) 0t t− + ≥ ( ) e ( 1)th t t= − + ( ) e 1 0th t = − = 0t = ( 0)t −， ( ) 0h x  ( )h x (0 )t +， ( ) 0h x  ( )h x min( ) (0) 0h t h= = e ( 1) 0 t t− + ≥ ( ) ln 0xf x x x + − ≥ ( ) ( ) lng x xf x x x= + − 0x  0x  (0 )+， (1) 0t = (0 1)x ， ( ) 0t x  ( ) 0g x  ( )g x (1 )x +， ( ) 0t x  ( ) 0g x  ( )g x min( ) (1) 0g x g= = ( ) ln 0xf x x x + − ≥ 数学参考答案 第 3 页 共 7 页 前两局甲队和乙队各胜 1 局负 1 局， 所以所求概率 ． …… 4 分 解法二：若 4 局比赛结束甲队赢得比赛，甲乙两队的得分情况为 3：1， 此时对应的概率 P1= ． …… 1 分 若 4 局比赛结束乙队赢得比赛，甲乙两队的得分情况为 1：3， 此时对应的概率 P2= ． …… 2 分 若 4 局比赛结束时甲乙两队的得分情况为 2：2， 此时对应的概率 P3= ． …… 3 分 所以所求概率为 …… 4 分 解法三：当比赛结束时比赛局数最多为 4 局时， 比赛结束时比赛局数为 4 局的对立事件是比赛结束时比赛局数为 2 局， …… 2分 所以所求概率为 …… 4 分 （2）设“在比赛终止时甲队得 2 分”为事件 A，设“甲队赢得比赛”为事件 B． 若 2 局比赛结束且甲队赢得比赛，则甲乙两队的得分情况为 2：0， 所以 ． …… 5 分 若 4 局比赛终止时甲队得 2 分，则甲乙队的得分情况为 2：2， 此时 ． …… 6 分 所以 P(A)= ． …… 7 分 所以 ． 答：已知比赛终止时甲队得 2 分，甲队赢得比赛的概率为 …… 8 分 （3）依题意， ， …… 9 分 其中 ，k=0，1，2，……，20． ……10 分 当 时，由 0 1 2 42 3 3 9 p =   = 21 2 1 42 ( ) 3 3 3 81    = 22 1 2 162 ( ) 3 3 3 81    = 2 22 1 164 ( ) ( ) 3 3 81   = 0 4 16 16 4 81 81 81 9 p = + + = 2 2 0 1 2 41 ( ) ( ) 3 3 9 p = − − = 1 1 1( ) 3 3 9 P AB =  = 2 22 1 16( ) 4 ( ) ( ) 3 3 81 P AB =   = 1 16 25 9 81 81 + = 1 ( ) 99( ) ( ) 25 25 81 P AB P B A P A = = = 9 25 4~ (20 ) 9 X B ， 20 20 4 5( ) C ( ) ( ) 9 9 k k kP X k −= = 1k ≥ ( ) ( 1) ( ) ( 1) P X k P X k P X k P X k = = +  = = − ≥ ， ≥ ， 数学参考答案 第 4 页 共 7 页 得 ……12分 解得 ． ……14 分 又 ，所以能完成常见动作招式的人数最有可能（即概率最大）是 9． ……15 分 18．（本题满分 17 分） 解：（1）设椭圆的方程为 ， 由题意知，点 在椭圆上， 所以 ， ， 所以 ． …… 1 分 因为 2a = ，所 ， …… 2 分 所以所求椭圆方程为 ． …… 3 分 （2）解法一：①由条件可知，直线 、 斜率存在且不为 和 ， 设 ， ， ， 联立 ，整理得 ， …… 4 分 所以 ， ， …… 5 分 所以 ， ， ． …… 6 分 同理可得， 的中点 ， 即 ． …… 7 分 直线 ，直线 ， 20 1 1 19 20 20 20 1 1 21 20 20 4 5 4 5( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 9 9 4 5 4 5( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 9 9 k k k k k k k k k k k k C C C C − + + − − − − −      ≥ ， ≥ ， 75 84 9 9 k≤ ≤ k N 22 2 2 1 yx a b + = ( )0a b  ( )1P c， 2 2 2 1 1c a b + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 c a c b b a a a −= − = = 2 1b a = 2 2b = 22 1 4 2 yx + = 1l 2l 0 1 1 :l 1x ty= + ( )0 1t t  ， ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 22 1 4 2 1 yx x ty   + =   = + ( )2 22 2 3 0t y ty+ + − = 1 2 2 2 2 ty y t −+ = + 1 2 2 3 2 y y t −= + 2 2 1 2 2 M y y ty t + −= = + 2 21 2 M Mx ty t = + = + 2 2 2 , 2 2 tM t t  −   + +  CD 2 2 1 2 , 1 12 2 tN t t   −    + +    2 2 2 2 2 1 2 1 t tN t t  −  + +  ， 22 2 2tMT x y t += +： 1 1CD x y t = +： 数学参考答案 第 5 页 共 7 页 联立 解得 ， 所以 为 的中点． ……10 分 解法二： ①由条件可知，直线 、 斜率存在且不为 和 ， 设 ， ， ， 联立 ，整理得 ， …… 4 分 所以 ， ， …… 5 分 所以 ， ， ． …… 6 分 同理可得， 的中点 ， 即 ． …… 7 分 因为 ， ， 所以 三点共线， 重合， 所以 为 的中点． ……10 分 解法三：设 ， ， ． 联立 整理得， ， …… 4 分 所以 ， ， …… 5 分 所以 ， ， ． …… 6 分 22 2 2 1 1 tx y t x y t  += +    = +  ， ， 2 2 2 2( ) 2 1 2 1 t tN t t − + + ， N CD 1l 2l 0 1 1 :l 1x ty= + ( )0 1t t  ， ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 22 1 4 2 1 yx x ty   + =   = + ( )2 22 2 3 0t y ty+ + − = 1 2 2 2 2 ty y t −+ = + 1 2 2 3 2 y y t −= + 2 2 1 2 2 M y y ty t + −= = + 2 21 2 M Mx ty t = + = + 2 2 2 , 2 2 tM t t  −   + +  CD 2 2 1 2 , 1 12 2 tN t t   −    + +    2 2 2 2 2 1 2 1 t tN t t  −  + +  ， 22 2 MT tk t = + 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 1 N T t ttk t t t  − += = +− + M N T， ， N N ， N CD 1 :l ( 1)y k x= − ( )0, 1k k   ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 22 1 4 2 ( 1) yx y k x   + =   = − ， ， ( )2 2 2 21 2 4 04 2k x k x k+ −− + = 2 1 2 2 4 1 2 kx x k + = + 2 1 2 2 2 4 1 2 kx x k −= + 2 2 2 1 2 2 1 2 M x x kx k + = = + 2 ( 1) 1 2 M M ky k x k −= − = + 2 2 2 2 1 2 1 2 , kM k k k      + +  − 数学参考答案 第 6 页 共 7 页 同理同理可得 的中点 ，即 ．… 7 分 因为 ， ， 所以 三点共线， 重合， 所以 为 的中点． ……10 分 ②因为 ，则 的面积 ……11 分 ． ……13 分 令 ，则 ， ……15 分 当且仅当 ，即 时， 的面积取最大值 ． ……17 分 19.（本题满分 17 分） 解：（1）按分割方式，可将长方体分割成 8 个完全相同的小长方体， 故小长方体个数 ． …… 1 分 此时小长方体的顶点数、棱数、面数分别为 ， ， ， 所以 ， ， ， 因此 ， ， . 故 ， ， ， ． …… 4 分 （2）正四面体是“ —等和多面体”． …… 5 分 分割方式：设该正四面体的外接球球心为 ，连接 ， ， ， ，将该正 四面体分割成四个完全相同的小正三棱锥： ， ， ， ． …… 7 分 CD ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 1 12 1 11 2 1 2 k N k k k  − + +           2 2 2 2 2 k k k  − + +      ， 22 2 MT kk k = + 2 2 2 2 2 2 22 2 N T k kkk k k  − += = +− + M N T， ， N N ， N CD 2OT = MON△ 1 2 M N S OT y y=  − 2 2 1 12 2 t t t t = − + + 3 4 2 2 2 2 1 1 2 5 2 2 12 5 2 9 t t t tt t t t t t tt − − −= = = + + + + − + 1 0u t t = −  2 21 1 9 122 9 92 2 2 uS u u uu u = = = + +  ≤ 92u u = 3 2 2 u = MON△ 2 12 =8s =8iv =12ie =6if ( 1 2 8)i = ，， ， 8 1 =64i i v V a = = + 8 1 =96i i e E b = = + 8 1 =48i i f F c = = + 56a = 84b = 42c = =8s 56a = 84b = 42c = m O OA OB OC OD O ABC− O ABD− O ACD− O BCD− 数学参考答案 第 7 页 共 7 页 此时小正三棱锥的顶点数、棱数、面数分别为 ， ， ， 所以 ， ， ， 所以 ， ， ． 正四面体的顶点数、面数、棱数满足 ． 所以 ， ， ， ， ． …… 12 分 说明：①本题为开放题答案不唯一，只要满足分割后的多面体完全相同即可． ②判断是“ —等和多面体”，则 的结果给分，若没有判断直接给 的值 不给分． ③先描述分割方式，再求 s a b c，，，才能给分，未描述直接求 s a b c，，，的值不 给分． （3）由欧拉公式可知，简单多面体的顶点数、棱数、面数满足 ． 分割后的小多面体的顶点数、棱数、面数满足 ， 则 ， 即 ． …… 13 分 又因为 ， ， ， 代入可得 ． …… 15 分 又因为 ， 所以 ． 所以分割后小多面体的个数 与 ， ， 的等量关系为 ． …… 17 分 =4iv =6ie =4if ( 1 2 3 4)i = ，，， 4 1 =16i i v V a = = + 4 1 =24i i e E b = = + 4 1 =16i i f F c = = + 12a = 18b = 12c = 14m V F E= + + = 14m = =4s 12a = 18b = 12c = m m m 2V E F− + = 2i i iv e f− + = ( 1, 2, , )i s= ( ) 1 2 s i i i i v e f s = − + = 1 1 1 2 s s s i i i i i i v e f s = = =       − + =               1 s i i v V a = = + 1 s i i e E b = = + 1 s i i f F c = = + ( ) ( ) ( )+ 2V a E b F c s− + + + = 2V E F− + = 2= 2 a c bs − + + s a b c 2= 2 a c bs − + + 固：若州《用需色西水容学第书写) 南平市2025届高中毕业班第三次质量检测 数学答题卡 15 重5证列 贴条形码区域 中天率用，州师为 带油每 L家华销后制在，等的胜 最项这择拉《用油和第填涂》 :四0Du国 卫口四 t0口面 手D国0时 4如口面 3中中口 西面西园 二，多项级师据（用浮军调清】 由D边面 推团面。园 书知国边四 三。填空出用属色部水婆学第转写 13 4 精不要在此区城 诚低何标记 高中数学答测日第1氨共2项 ■ ■ ■ ■ 2 ■ ■ 的还更语日m县场4中理 ■ ■ ■ ■南平市2025届高中毕业班第三次质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 2.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。要 认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试题卷上无效。 4.答题结束后，考生须将答题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.若A={yy=2},B={xx-1)2<4,则A∩B= A.{x-1<x<0}B.{xI0<x<3} C.{x1<x<3 D.{x|-1<x<3} 2.已知复数z=-1+2i,则z+z= A.√2 B.10 C.32 D.6 3.已知双曲线C:号卡=6>0b>0的一条渐近线为y=,则C的离心率为 A. B.2 C.2 D.5 4.已知平行六面体ABCD-ABCD的体积为4，若将其截去三棱锥C-BBD,则剩余几何 体的体积为 A.司 B. c.号 D.8 5.若1+sim20=V2cos(0-孕，0e经，m,则cos20= A.0或-1 B.-1或1 C.1 D.0 高三数学试题第1页（共5页） 6.己知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=an2-10m,且对任意的n∈N',都有S≤Sn成立， 则实数a的取值范围是 A.B2] B.(92 c.(引 D.[92 7.已知函数f)=si(@r+牙)(@>0)在区间(0，)恰有两个极大值点、三个对称中心，则 A.4<a≤ B.4≤a< c.<≤好 D.≤o<好 8.设[x)表示不超过实数x的最大整数，如[2]=2，[23]=2，[-23]=-3，则方程 x-log6=[x]解的个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.已知甲组数据，，x3,x,x4,x的平均数为8，方差为2，由这组数据得到乙组数据 片，2片，y4,%,其中y=2x+3i=1,2,,5),则 A.数据x,x3,x3,x4x,y2,y4,的平均数为13.5 B.乙组数据的方差为11 C.数据x,x2,x3,x4,x,8的方差小于2 D.甲组数据的第25百分位数是乙组数据的第25百分位数的2倍 x-1,x<0, 10.已知函数f(x) 则下列说法中正确的是 r+ ,x>0, A.f(x)为奇函数 B.任意x≠0，存在aeR,使得f(x)>ar恒成立 C.若方程f(x)=b(x>0,b∈R)恰有两个不等实根x,2,则xx2=1 D.若方程f(x)=C(ce)恰有三个不等实根x,x4,x,则x+x,+x>3-√2 高三数学试题第2页（共5页） 11.已知向量a,b满足4=1，b=2,则 A.当a:b=-l时，a与b的夹角为写 B.当a-=2时，a在b上的投影向量为日b C.a+b+a-b的最大值为2√5 D.a+b+a-b的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列{a}满足a=1,a=2an+1,则a= 13.已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F且斜率为2的直线与C交于A,B两点， 则AB= 14.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为4，点P,Q分别为线段CD,BC上的动点， 则PQ的最小值为，此时CP=· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知a=b,csin(B+=asinC. (1)证明：△ABC为等边三角形： (2)点B,D分别在直线AC两侧，且AD=5,DC=3,∠ADC=钙，求四边形ABCD 的面积. 16.(15分) 已知函数f(x)=e-2x-1,其导函数为f'(x). (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：f'(x)+x-nx≥0. 高三数学试题第3页（共5页） 17.(15分) 建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中 军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下： ①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局： ②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止： ③若4局后一方未多得2分，比赛也终止. 假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立。 (1)求比赛局数为4的概率Po: (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率： (3)将(1)中P作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱 好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为X,求使得P(X=k)最大的k(k∈N) 的值. 18.(17分) 在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆E:号+片=1(a>b>0的右顶点为T2,0),过B 的焦点且垂直于x轴的弦长为2， (1)求E的方程： (2)过点H(1,0)作斜率之积为1的两条不同的直线L,l2,若l交E于A,B两点，12交 E于C,D两点，M为AB的中点，直线MT与CD交于N点. ①证明：N为CD的中点： ②求△MON面积的最大值. 高三数学试题第4页（共5页） 19.(17分) 若简单多面体可以被分割成s(S≥3)个完全相同的小多面体，则称该简单多面体为“m一 等和多面体”，其中m=V+E+F,V,E,F分别表示简单多面体的顶点数、棱数、面数.记 每个小多面体的顶点数、棱数、面数分别为y,,=1,2,,),之y=V+a, 立9=E+b,立=F+e(a,bc为与分制方式有关的正整数刻， (1)已知长方体是“26一等和多面体”，按分割方式：过长方体共顶点的三条棱的中 点，各作一个与该棱垂直的平面，将长方体分割成若干个完全相同的小长方体，求该分割方 式下s,a,b,c的值： (2)判断正四面体ABCD是否为“m一等和多面体”，若是，请先描述一种分割方式， 再求出该分割方式下m,s,a,b,c的值：若不是，请说明理由： (3)若简单多面体是“m一等和多面体”，求分割后小多面体的个数s与a,b,c的等 量关系 参考公式：多面体欧拉定理可表示为“顶点数一棱数+面数=2”，即V-E+F=2. 高三数学试题第5页（共5页）