内蒙古锡林郭勒盟第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

学科网（北京）股份有限公司 1 高一年级下学期期末考试数学答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.掷一颗骰子，出现点数是 2或 4的概率是( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.1 4 解析 掷一颗骰子，出现的基本事件总数为 6，即 n＝6，出现点数是 2或 4包含两个基本事件，所以 P(A)＝m n ＝ 2 6 ＝ 1 3 .答案 B 2.已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )A． 2 B．2 C．5 2 D．50 A [∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝ －12＋12＝ 2.] 3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1 个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 4．已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数 k的值为( ) A．－11 4 B．1 2 C．2 D．11 4 B [因为 a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以 a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又 c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c 得(2＋k)×1＝－ 5×(k－1)，解得 k＝1 2 .] 5.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、 初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理 的抽样方法是 ( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样【答案】C 6.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1， 则 BM与 AN所成的角的余弦值为 ( ) A． 1 10 B． 2 5 C． 30 10 D． 2 2 【答案】C 7.．如图 ，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( ) A．BD∥平面 CB1D1B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面 CB1D1 D．异面直线 AD与 CB1所成的角为 60° 解析 由于 BD∥B1D1，易知 BD∥平面 CB1D1；连接 AC，易证 BD⊥面 ACC1， 所 以 AC1⊥BD；同理可证 AC1⊥B1C，因 BD∥B1D1，所以 AC1⊥B1D1，所以 AC1⊥平面 CB1D1；对于选项 D，∵BC∥ AD，∴∠B1CB即为 AD与 CB1所成的角，此角为 45°，故 D错． 答案 D 学科网（北京）股份有限公司 2 8.已知 ,A B是球O的球面上两点， 90AOB   ,C为该球面上的动点，若三棱锥O ABC 体积的最大值为 36， 则球O的表面积为 ( ) A．36 B．64 C．144 D． 256 【答案】C 解析：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥O ABC 的体积 最大，设球O的半径为 R，此时 2 31 1 1 36 3 2 6O ABC C AOB V V R R R       ，故 6R  则球O的表面积为 24 144S R   ，故选 C． 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. ,  是两个平面， ,m n是两条直线，有下列四个命题： A.如果m n ，m  ， / /n  ，那么  ．B.如果m  ， / /n  ，那么m n ． C.如果 / /  ，m  ，那么 / /m  ．D.如果 / /m n， / /  ，那么m与 所成的角和 n与  所成的角相等． 其中正确的命题为 ( )【答案】BCD 10.从装有红球、白球和黑球各 2个的口袋内一次取出 2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件 是以下事件中的哪几个( ) 事件 A.两球都不是白球；事件 B两球恰有一白球；事件 C.两球至少有一个白球事件 D.两球不都是白球 答案 AB 11.设有下面四个命题 A:若复数 z满足 1 z R ,则 zR ;B:若复数 z满足 2z R ,则 zR ; C:若复数 1 2,z z 满足 1 2z z R ,则 1 2z z ;D:若复数 zR ,则 z R ． 其中的真命题为 ( )【答案】 AD 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为________．0．74 [P＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.] 13．已知在直角三角形 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点 P是斜边 AB上的中点，则CP→ ·CB→＋CP→ ·CA→＝________. 4 [由题意可建立如图所示的坐标系． 学科网（北京）股份有限公司 3 可得 A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP→ ·CB→＋CP→ ·CA→＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.] 14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中 AD＝BD＝ 2，∠BAC＝30°，若它们的斜边 AB重合，让三角板 ABD以 AB为轴转动，则下列说法正确的是________． ①当平面 ABD⊥平面 ABC时，C、D两点间的距离为 2；②在三角板 ABD转 动过程中，总有 AB⊥CD；③在三角板 ABD转动过程中，三棱锥 D－ABC的体积最 大可达到 3 6 . 解析 取 AB中点 O，当三角板 ABD转动的过程中，AB不垂直平面 COD，故 AB不垂直 CD，故②错，①③正确． 答案 ①③ 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）.在三棱锥 P-ABC中，AB+2PC=9，E为线段 AP上更靠近 P的三等分点，过 E作平行于 AB，PC的平 面，则该平面截三棱锥 P-ABC所得截面的周长为 【解析】如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，过 E 分别作 EF∥AB，EH∥PC， 再分别过点 H，F 作 HG∥AB，FG∥PC，可得 E，F，G，H 四点共面， 因为 AB⊄平面 EFGH，EF⊂平面 EFGH，所以 AB∥平面 EFGH，同理可证，PC∥平面 EFGH， 所以截面即为平行四边形 EFGH， 又由 E 为线段 AP 上更靠近 P 的三等分点，且 AB+2PC=9，所以 EF=1 3 AB，EH=2 3 PC， 所以平行四边形 EFGH 的周长为 2(EF+EH)=2 3 (AB+2PC)=6. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积分别为V甲和V乙．若 =2 S S 甲 乙 ，则 = V V 甲 乙 【详解】解：设母线长为 l，甲圆锥底面半径为 1r，乙圆锥底面圆半径为 2r ， 则 1 1 2 2 2 S r l r S r l r     甲 乙 ，所以 1 22r r ，又 1 2 2 2 2r r l l     ，则 1 2 1 r r l   ，所以 1 2 2 1, 3 3 r l r l  ， 所以甲圆锥的高 2 21 4 5 9 3 h l l l   ，乙圆锥的高 2 22 1 2 2 9 3 h l l l   ， 所以 2 2 1 1 2 2 2 2 1 4 5 3 9 3 101 1 2 2 3 9 3 r h l lV V r h l l        甲 乙 . 学科网（北京）股份有限公司 4 16．（15 分）是某市 3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空 气质量指数大于 200表示空气重度污染．某人随机选择 3月 1日至 3月 13日中的某一天到达该市，并停留 2天． (1)求此人到达当日空气质量优良的概率； (2)求此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (1)在 3月 1日至 3月 13日这 13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共 6天的空气质量优良，所 以此人到达当时空气质量优良的概率是 6 13 . (2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4日，或 5 日，或 7日，或 8日”，所以此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率为 4 13 . (3)从 3月 5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．（15 分） 如图，等腰梯形 ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，AF⊥BF，O为 AB的中点，矩形 ABCD所在的平 面和平面 ABEF互相垂直． (1)求证：AF⊥平面 CBF； (2)设 FC的中点为 M，求证：OM∥平面 DAF； (3)求三棱锥 C—BEF的体积． 解 (1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，CB⊥AB，平面 ABCD∩平面 ABEF＝ AB，∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF⊂平面 ABEF，∴CB⊥AF. 又 AF⊥BF，且 BF∩BC＝B，BF、BC⊂平面 CBF，∴AF⊥平面 CBF. (2)设 DF的中点为 N，则 MN綊 1 2 CD， 又 AO綊 1 2 CD，则 MN綊 AO，四边形 MNAO为平行四边形，∴OM∥AN. 又 AN⊂平面 DAF，OM⊄平面 ADF，∴OM∥平面 ADF. (3)过点 E作 EH⊥AB于 H，则∠EBH＝60°，∴EH＝ 3 2 ，EF＝AB－2HB＝1. 故 S△BEF＝ 1 2 ×1× 3 2 ＝ 3 4 ，VC－BEF＝ 1 3 ×S△BEF×BC＝ 3 12 . 学科网（北京）股份有限公司 5 18．某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了 100名学生进行调查，获得了每人的周末 阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9组，制成样本的频率分布直方图如图所示． (1)求图中 a的值；(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数； (3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取 7人，再从这 7人中随机抽取 2人，求抽取的 2 人恰好都在同一个组的概率．解 (1)由频率分布直方图可知，周末阅 读时间在[0,0.5)的频率为 0.08×0.5＝0.04. 同 理 ， 在 [0.5,1)， [1.5,2)， [2,2.5)， [3,3.5)， [3.5,4)， [4,4.5]的 频 率 分 别 为 0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02， 由 1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a.解得 a＝0.30. (2)设中位数为 m h.因为前 5组的频率之和为 0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72＞0.5， 而前 4组的频率之和为 0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以 2≤m＜2.5. 由 0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得 m＝2.06. 故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为 2.06 h. (3) 由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有 15 人、20 人，按分层抽样的方法应分别抽取 3 人、4 人，分别记作 A，B，C及 a，b，c，d，从 7 人中随机抽取 2人，共有 AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共 21种，抽 取的 2人在同一组的有 AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共 9种，故所求概率 P＝ 9 21 ＝ 3 7 . 19．（17 分）如图，在四棱锥 S－ABCD中，SA⊥平面 ABCD，底面 ABCD为 直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且 BC＝2AD，AB＝4，SA＝3. (1)求证：平面 SBC⊥平面 SAB； (2)若 E、F分别为线段 BC、SB上的一点(端点除外)，满足SF FB ＝ CE EB ＝λ. ①求证：不论λ为何值，都有 SC∥平面 AEF；②是否存在λ，使得△AEF为直角 三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由． 解 (1)证明：∵SA⊥底面 ABCD，∴SA⊥AD.∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB. ∵SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面 SAB，∴AD⊥平面 SAB，∵AD∥BC，∴BC⊥平面 SAB. ∵BC⊂平面 SBC，∴平面 SBC⊥平面 SAB. (2)①证明：∵在△SBC中，SF FB ＝ CE EB ，∴EF∥SC.∵EF⊂平面 AEF，SC⊄平面 AEF，∴SC∥平面 AEF. ②当 AF⊥SB时，由(1)知平面 SAB⊥平面 SBC，且平面 SAB∩平面 SBC＝SB，∴AF⊥平面 SBC. ∵EF⊂平面 SBC，∴AF⊥EF，∴此时△AEF为直角三角形． 在 Rt△SAB中，AB＝4，SA＝3，∴AF＝12 5 .∴SF＝9 5 ，FB＝16 5 ，∴λ＝SF FB ＝ 9 16 . ∴存在λ＝ 9 16 时，△AEF为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 1 高一年级下学期期末考试数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第 I 卷（选择题） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.掷一颗骰子，出现点数是 2或 4的概率是( )A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 4 2.已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( ) A． 2 B．2 C．5 2 D．50 3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1 个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A．中位数B．平均数 C．方差 D．极差 4．已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数 k 的值为( ) A．－ 11 4 B． 1 2 C．2 D． 11 4 5.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、 初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理 的抽样方法是( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 6.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1， 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 ( ) A． 1 10 B． 2 5 C． 30 10 D． 2 2 7.．如图 ，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( ) A．BD∥平面 CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面 CB1D1 D．异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60° 8.已知 ,A B 是球O的球面上两点， 90AOB   ,C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC 体积的最大值为 36， 则球O的表面积为 ( ) A．36 B．64 C．144 D． 256 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. ,  是两个平面， ,m n 是两条直线，有下列四个命题： A.如果m n ，m  ， / /n  ，那么  ．B.如果m  ， / /n  ，那么m n ． C.如果 / /  ，m  ，那么 / /m  ．D.如果 / /m n ， / /  ，那么m与 所成的角和 n与  所成的角相等． 其中正确的命题为 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 2 10.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是 以下事件中的哪几个( ) A.事件“两球都不是白球” B.事件“两球恰有一白球” C.事件“两球至少有一个白球” D.事件“两球不都是白球” 11.设有下面四个命题,其中的真命题为 ( ) A:若复数 z 满足 1 z R ,则 zR ; B:若复数 z 满足 2z R ,则 zR ; C:若复数 1 2,z z 满足 1 2z z R ,则 1 2z z ; D:若复数 zR ,则 z R ． 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12.在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为________． 13．已知在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点 P 是斜边 AB 上的中点，则CP → ·CB → ＋CP → ·CA → ＝________. 14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中 AD＝BD＝ 2，∠BAC＝30°，若它们的斜边 AB 重合，让三角板 ABD 以 AB 为轴转动，则下列说法正确的是________． ①当平面 ABD⊥平面 ABC 时，C、D 两点间的距离为 2；②在三角板 ABD 转动过 程中，总有 AB⊥CD；③在三角板 ABD 转动过程中，三棱锥 D－ABC 的体积最大可达到 3 6 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验 算步骤。 15．（13 分） （1）在三棱锥 P-ABC 中，AB+2PC=9，E 为线段 AP 上更靠近 P的三等分点，过 E 作平行于 AB，PC 的平面，则该平面 截三棱锥 P-ABC 所得截面的周长是多少？ （2）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积分别为V甲和V乙．若 =2 S S 甲 乙 ，则 V V 甲 乙 是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 3 16．（15 分）如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空 气质量指数大于 200 表示空气重度污染．某人随机选择 3月 1日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天． (1)求此人到达当日空气质量优良的概率； (2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 17．（15 分）如图，等腰梯形 ABEF 中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，AF⊥BF，O 为 AB 的中点，矩形 ABCD 所在的 平面和平面 ABEF 互相垂直． (1)求证：AF⊥平面 CBF； (2)设 FC 的中点为 M，求证：OM∥平面 DAF； (3)求三棱锥 C—BEF 的体积． 学科网（北京）股份有限公司 4 18．（17 分）某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了 100 名学生进行调查，获得了每 人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所 示． (1)求图中 a 的值； (2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数； (3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人 恰好都在同一个组的概率． 19．（17 分）如图，在四棱锥 S－ABCD 中，SA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°， 且 BC＝2AD，AB＝4，SA＝3. (1)求证：平面 SBC⊥平面 SAB； (2)若 E、F分别为线段 BC、SB 上的一点(端点除外)，满足 SF FB ＝ CE EB ＝λ. ①求证：不论λ为何值，都有 SC∥平面 AEF；②是否存在λ，使得△AEF 为直角三角形，若存在，求出所有符 合条件的λ值；若不存在，说明理由．