专题02 一元二次方程特殊解法的二种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级上册

专题02 一元二次方程特殊解法的二种模型 目录 题型一：十字相乘法解一元二次方程 1 题型二：换元法解一元二次方程 8 题型一：十字相乘法解一元二次方程 1．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 2．用十字相乘法解方程： (1) (2) 3．用十字相乘法解方程 (1) (2) 4．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： (1) (2) 5．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 6．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 7．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 8．由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 9．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 10．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 题型二：换元法解一元二次方程 11．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 12．若实数x，y满足，则的值为 ． 13．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 14．已知x是实数，且满足，则的值为 ． 15．若方程的解为，，则方程的解为 ． 16．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 17．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 19．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 20．阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程特殊解法的二种模型 目录 题型一：十字相乘法解一元二次方程 1 题型二：换元法解一元二次方程 8 题型一：十字相乘法解一元二次方程 1．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 2．用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 3．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 4．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 5．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 6．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 7．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 8．由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 【答案】(1)2，4（或4，2） (2)，； (3)，． 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （2）把看作一个整体，利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4（或4，2）； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 9．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 10．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 题型二：换元法解一元二次方程 11．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 12．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 13．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 14．已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 15．若方程的解为，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解是解题的关键．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 关于的方程的解是，， 方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 16．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键．根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 17．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 19．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 20．阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）设，则原方程变为，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解方程； （2）由题意易得方程组可变为，然后根据同解方程组可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， ∴， 解得：， 即或； （2）解：由方程组可变形为， 即， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$