9.4 矩形、菱形、正方形 暑假题型专练2024-2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假题型专练 一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A.3 B.2 C. D.4 2.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝130°，则∠CDE的大小是（　　） A.65° B.40° C.25° D.20° 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AO＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，连接OE，则∠AOE＝　　度． 5.如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若S矩形ABCD＝12且PE+PF＝2.4，则矩形ABCD的对角线长为 　　． 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD交于点O．求△BOC与△DOC的周长差． 二、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 2.如图，平行四边形ABCD中，增加一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AD＝AB D.OB＝OD 3.一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　） A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角 4.木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6 m，另一组对边的长为均0.8 m，一条对角线长为1 m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 　　　．（填合理或不合理） 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 6.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是四边形ABCD外一点，且PA＝PD，PB＝PC，∠APB＝∠DPC． （1）求证：∠ABC＝∠DCB； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 三、利用对角线判定矩形 1.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D.OA＝OB＝OC＝OD 2.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 3.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 4.如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．则∠ODC＝　　． 5.工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　　　　　　　　　　　． 6.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 7.如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AC＝DF； （2）若AB＝AF，求证：四边形ACFD为矩形． 四、矩形的判定与性质的综合应用 1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A.∠BAD＝90° B.∠BAD＝∠ABC C.∠BAO＝∠OBA D.∠BOA＝90° 3.具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是（　　） A.四个内角相等的四边形 B.对角线相等的四边形 C.对角线互相平分且相等 D.三个角是直角的四边形 4.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　　　　　（写出一个即可）． 5.如图，矩形ABCD中，CD＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 　　　　　　　　　　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得DE＝AF，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 五、平行线间的距离 1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 2.如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A.8 B.6 C.5 D.4 3.如图，点A，B分别为直线a，b上的点，AB⊥a，AB⊥b，有下列说法： ①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离； ②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离； ③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离． 其中判断正确的是（　　） A.只有①的说法正确 B.只有③的说法不正确 C.只有②的说法不正确 D.①②③的说法都正确 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 7.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 六、菱形的四条边相等 1.如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A. B. C. D. 3.如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A.42° B.43° C.44° D.45° 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是 　　　． 5.菱形ABCD的周长为12，则边长AB＝　　． 6.如图，线段AC是菱形ABCD的一条对角线，过顶点A、C分别作对角线AC的垂线，交CB、AD的延长线于点E、F． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD＝5，AE＝8，求四边形AECF的周长． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE＝∠CBF．求证：∠BEF＝∠BFE． 七、菱形对角线垂直 1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） A.3 B.4 C.4.5 D.5 2.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，则菱形的高为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 3.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OE的长等于（　　） A.5 B.4 C.10 D.20 4.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　　°． 5.菱形的两条对角线的长分别是2 cm和6 cm，则菱形的面积是　　cm2． 6.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，取CB边中点E，连接OE并延长使EF＝OE，连接BF，CF．求证：AD＝OF． 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝16，BD＝12，求AD、OE的长． 八、利用边判定菱形 1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，添加下列条件后仍然不能推得四边形ABCD为菱形的是（　　） A.AB＝CD B.AD∥BC C.AB＝AD D.AD＝CD 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 5.如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　． 6.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 7.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：四边形ABFE是菱形． 九、利用对角线判定菱形 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A.对角线垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 2.如图，已知▱ABCD，下列不能判断▱ABCD是菱形的条件是（　　） A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AB＝AC D.BD平分∠ABC 3.如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（　　） ①AC＝BD； ②AC平分∠BAD； ③AB＝BC； ④AC⊥BD. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 4.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　，使四边形ABCD成为菱形． 6.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝1时，求BD的长． 十、菱形的性质与判定的综合应用 1.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 2.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 下列判断正确的是（　　） A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 3.下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为 　　． 5.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 十一、有关正方形边、角的性质 1.四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（　　） A.点K，F B.点K，E C.点C，F D.点C，E 2.如图，四边形ABCD是边长确定的正方形，点E、F分别在边DC、BC上，∠EAF＝45°，求△AEF的面积，只需要知道（　　） A.△CEF的面积 B.△ADE的面积 C.△ABF的面积 D.△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道 3.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A. B.（﹣2，1） C. D. 4.如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．则EM+AF的最小值是 　　． 5.将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG，BC＝3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是 　　． 6.如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD． （1）若AF＝5，则BD＝　　； （2）如果点C在线段AB的延长线上，如图2，其他条件不变，求证：AF＝BD． 7.已知：正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且，如图，求证：∠AFE＝90°． 十二、正方形对角线的性质 1.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC 2.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　） A.β﹣α＝15° B.α+β＝135° C.2β﹣α＝90° D.2α+β＝180° 3.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，则∠PBC的度数是（　　） A.22.5° B.45° C.25° D.67.5° 4.如图，正方形ABCD的边长为2，菱形BEDF的边长为，则EF的长为 　　． 5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 6.如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F． （1）求证DE＝CF； （2）若DE＝1，则该正方形的边长为 　　． 7.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 十三、正方形的判定 1.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可得出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是（　　） A.AC＝BD B.AB∥CD C.∠A＝∠C D.AC⊥BD 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形ABCD为正方形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB＝AD C.∠BAO＝∠ABO D.∠BAC＝∠DAC 3.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角；顺次添加的条件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→c，则正确的是（　　） A.①② B.仅③ C.仅① D.②③ 4.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 　　　　时，这个菱形就是正方形． 5.如图，▱ABCD中，AC＝BD，请添加一个条件 　　，可得出该四边形是正方形． 6.如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若BE＝EC＝3，求DF的长． 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 十四、正方形的性质与判定 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 3.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝10，E为AC的中点，当BC的长为 　　时，四边形BCDE为正方形． 7.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假题型专练（参考答案） 一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A.3 B.2 C. D.4 【答案】C 【解析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴AC＝OB， ∴AC， 故选：C． 2.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3， ∴矩形ABCD的面积＝12， 故选：C． 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝130°，则∠CDE的大小是（　　） A.65° B.40° C.25° D.20° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝130°， ∴∠DOE＝50°， ∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣50°）＝65°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝40°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝65°﹣40°＝25°. 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AO＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，连接OE，则∠AOE＝　　度． 【答案】135° 【解析】∵四边形ABCD是矩形，且EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°； ∴△ABE是等腰直角三角形，得AB＝BE； ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAO＝∠CAE+∠BAE＝60°； 又∵OA＝OB， ∴△BAO是等边三角形，得AB＝BO； ∴BO＝BE； ∵∠OBC＝90°﹣∠ABO＝30°； ∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∴∠AOE＝60°+75°＝135°． 故答案为：135． 5.如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若S矩形ABCD＝12且PE+PF＝2.4，则矩形ABCD的对角线长为 　　． 【答案】5 【解析】如下图，连接OP， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，S矩形ABCD＝4S△AOD＝12， ∴S△AOD＝3， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD，PE+PF＝2.4， ∴， 解得， ∴BD＝AC＝2OA＝5． 故答案为：5． 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE⊥BD，DF⊥AC， ∴∠AEO＝∠DFO＝90°， 在△AOE和△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（AAS）， ∴AE＝DF． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD交于点O．求△BOC与△DOC的周长差． 【答案】解:∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8， ∴CD＝AB＝6，OB＝OD， ∴C△BOC﹣C△DOC＝OB+OC+BC﹣（OD+OC+CD）＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∴△BOC 与△DOC 的周长之差为2． 二、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、不能证明是矩形，故该选项符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2.如图，平行四边形ABCD中，增加一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AD＝AB D.OB＝OD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝DO，故选项D不符合题意， 故选：A． 3.一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　） A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角 【答案】C 【解析】一个四边形要成为矩形，需要的条件是四个内角相等， 故选：C． 4.木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6 m，另一组对边的长为均0.8 m，一条对角线长为1 m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 　　　．（填合理或不合理） 【答案】合理 【解析】如图，由题意得：AB＝CD＝0.6 m，BC＝AD＝0.8 m， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵AC＝1 m，0.62+0.82＝12， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 即此木框为矩形，此方法合理， 故答案为：合理． 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 【答案】DF⊥BC（答案不唯一） 【解析】添加DF⊥BC， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥AD， ∵BE⊥AD， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形BEDF是矩形． 故答案为：DF⊥BC（答案不唯一）． 6.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是四边形ABCD外一点，且PA＝PD，PB＝PC，∠APB＝∠DPC． （1）求证：∠ABC＝∠DCB； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：（1）在△ABP和△DCP中， , ∴△ABP≌△DCP（SAS）． ∴∠ABP＝∠DCP． ∵PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB． ∴∠ABP+∠PBC＝∠DCP+∠PCB． 即∠ABC＝∠DCB； （2）∵△ABP≌△DCP， ∴AB＝CD． ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC． ∴∠ABC+∠DCB＝180°． ∵∠ABC＝∠DCB， ∴2∠ABC＝180°．即∠ABC＝90°． ∴四边形ABCD是矩形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】解：由题可知， ∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴DA＝CB， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 三、利用对角线判定矩形 1.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D.OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、根据AC＝BD和AO＝OC不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意； 故选：D． 2.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 3.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．则∠ODC＝　　． 【答案】25° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ODA＝∠OAD＝65°， ∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ODA＝25°． 故答案为：25°． 5.工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　　　　　　　　　　　． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 6.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， 在Rt△AEC中，∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形． 7.如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AC＝DF； （2）若AB＝AF，求证：四边形ACFD为矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵点D为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（ASA）， ∴AE＝FE， 又∵DE＝CE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC＝DF； （2）由（1）可知，四边形ACFD是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵AB＝AF， ∴CD＝AF， ∴平行四边形ACFD为矩形． 四、矩形的判定与性质的综合应用 1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC 【答案】B 【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠A＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A.∠BAD＝90° B.∠BAD＝∠ABC C.∠BAO＝∠OBA D.∠BOA＝90° 【答案】D 【解析】A、∠BAD＝90°，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； B、∵在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，则∠BAD＝∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； D、∠BOA＝90°不能判定它为矩形，故此选项符合题意． 故选：D． 3.具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是（　　） A.四个内角相等的四边形 B.对角线相等的四边形 C.对角线互相平分且相等 D.三个角是直角的四边形 【答案】B 【解析】A、四个内角相等的四边形是矩形，故选项A不合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形的对角线互相平分， ∴该四边形是平行四边形， 又∵对角线相等， ∴该平行四边形是矩形，故选项C不合题意； D、三个角是直角的四边形是矩形，故选项D不合题意； 故选：B． 4.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　　　　　（写出一个即可）． 【答案】∠AEC＝90°（答案不唯一） 【解析】添加一个条件是∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， ∴AF∥EC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠AEC＝90°（答案不唯一）． 5.如图，矩形ABCD中，CD＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【解析】连接PC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴BD10， ∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴EF＝PC， 当PC⊥BD时，PC取得最小值， 此时，PC， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 6.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得DE＝AF，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵DE＝AF， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵CE⊥AD， ∴∠CEF＝90°， ∴平行四边形BCEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∵CF＝4，DF＝5， ∴CD2+CF2＝DF2， ∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°， ∴△CDF的面积DF×CECF×CD， ∴CE， 由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形， ∴∠FBC＝90°，BF＝CE， ∴BC， ∴EF． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：如图，连接OE， ∵AD＝12，AB＝5， ∴BD13， ∴BO＝OD＝AO＝CO， ∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15， ∴S△AOE+S△DOE＝15， ∵EF⊥BD，EG⊥AC， ∴EGEF＝15， ∴EG+EF． 五、平行线间的距离 1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 【答案】C 【解析】∵a∥b，AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AB＝CD，故A不符合题意； ∵CE⊥b，FG⊥b， ∴CE∥GF， ∵a∥b， ∴四边形CEGF是平行四边形，且CE⊥a， ∴CE＝FG，故B不符合题意； ∵AB不垂直于直线a、b， ∴直线a、b之间的距离不是线段AB的长，故C符合题意； ∵CE⊥b，CE⊥a，a∥b， ∴直线a、b之间的距离是线段CE的长，故D不符合题意， 故选：C． 2.如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A.8 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5， 故选：D． 3.如图，点A，B分别为直线a，b上的点，AB⊥a，AB⊥b，有下列说法： ①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离； ②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离； ③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离． 其中判断正确的是（　　） A.只有①的说法正确 B.只有③的说法不正确 C.只有②的说法不正确 D.①②③的说法都正确 【答案】D 【解析】由题意得：①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离； ②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离； ③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离． 则①②③都正确； 故选：D． 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 7.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 六、菱形的四条边相等 1.如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝2， ∵E是AB的中点， ∴AE＝EB＝1， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， 在Rt△ADE中，DE， ∴菱形ABCD的面积＝AB•DE＝22， 故选：B． 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接DE， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α， ∵点A关于直线DP的对称点为E， ∴DP垂直平分AE， ∴ED＝AD， ∴ED＝CD， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC， ∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°， ∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°， ∴α+2∠AEC＝360°， ∴∠AEC＝180°α， 故选：D． 3.如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A.42° B.43° C.44° D.45° 【答案】C 【解析】如图，延长BG， ∵∠ADE＝146°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°， ∵∠α＝∠ADB+∠AHD， ∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°， ∵l1∥l2， ∴∠GIF＝∠AHD＝16°， ∵∠EGF＝∠β+∠GIF， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°， 故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是 　　　． 【答案】 【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC， ∵边长为2的菱形ABCD， ∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AB的中点E， ∴，CE⊥AB， ∴， 在Rt△ABO中，， ∴， ∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为． 故答案为：． 5.菱形ABCD的周长为12，则边长AB＝　　． 【答案】3 【解析】∵菱形ABCD的周长为12， ∴； 故答案为：3． 6.如图，线段AC是菱形ABCD的一条对角线，过顶点A、C分别作对角线AC的垂线，交CB、AD的延长线于点E、F． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD＝5，AE＝8，求四边形AECF的周长． 【答案】（1）证明：∵AE⊥AC，CF⊥AC， ∴AE∥CF， ∵菱形ABCD， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵AE⊥AC， ∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°， ∴∠BAE＝∠E， ∴AB＝EB， ∵AD＝5， ∴AB＝EB＝BC＝5， ∵AE＝8， ∴AE+EC＝18， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF的周长是36． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE＝∠CBF．求证：∠BEF＝∠BFE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（ASA）， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE． 七、菱形对角线垂直 1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） A.3 B.4 C.4.5 D.5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC6＝3，OB＝OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD4， ∴BD＝2OD＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵OD＝OB， ∴OEBD8＝4， 故选：B． 2.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，则菱形的高为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm， ∴AC⊥BD，且OAAC＝4 cm，OBBD＝3 cm， 根据勾股定理，AB5 cm， 设菱形的高为h， 则菱形的面积＝AB•hAC•BD， 即5h8×6， 解得h， 即菱形的高为 cm． 故选：B． 3.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OE的长等于（　　） A.5 B.4 C.10 D.20 【答案】A 【解析】∵菱形ABCD的周长为40， ∴AB＝10，OB＝OD， ∵E为AD边中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OEAB＝5． 故选：A． 4.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　　°． 【答案】25 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DBC＝∠DBA∠ABC＝65°， ∵DE⊥AB， ∴∠DBE+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝25°， 故答案为：25． 5.菱形的两条对角线的长分别是2 cm和6 cm，则菱形的面积是　　cm2． 【答案】6 【解析】∵菱形的两条对角线的长分别是2 cm和6 cm， ∴2×6＝6（cm2）． 故答案为：6． 6.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，取CB边中点E，连接OE并延长使EF＝OE，连接BF，CF．求证：AD＝OF． 【答案】证明：∵E为BC中点， ∴BE＝EC， ∵EF＝OE， ∴四边形OBFC是平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBFC是矩形， ∴OF＝BC， ∴AD＝OF． 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝16，BD＝12，求AD、OE的长． 【答案】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12， ∴， ∴， ∵OE⊥AD， ∴， ∴． 八、利用边判定菱形 1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，故A不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边相等，故B不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边平行，故D不一定是菱形， ∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴邻边相等， ∵四边形是平行四边形， ∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 故选：C． 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 【答案】D 【解析】∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC，故A正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故C正确，故该选项不符合题意； ∴AC⊥EF， 在Rt△COE中，∠ACE＝30°， ∴，则AD＝4OE，故B正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴，故D错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，添加下列条件后仍然不能推得四边形ABCD为菱形的是（　　） A.AB＝CD B.AD∥BC C.AB＝AD D.AD＝CD 【答案】C 【解析】A、添加AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，不符合题意； B、添加AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，不符合题意； C、添加AB＝AD，不能得出四边形ABCD是菱形，符合题意； D、添加AD＝CD，能得出四边形ABCD是菱形，不符合题意； 故选：C． 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 【答案】① 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形； 故答案为：①． 5.如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　． 【答案】2 【解析】过点E作EF∥AB，交AD于F, ∵在▱ABCD，EF∥AB, ∴AB＝EF，AF＝BE, ∵∠FAE＝∠BAE, ∴△AFE≌△ABE, ∴AB＝BE＝EF＝AF, ∴ABEF为菱形, ∴EC＝AD﹣AB＝2． 故答案为：2． 6.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 【答案】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形． 7.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：四边形ABFE是菱形． 【答案】证明：（1）∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝∠CAE＝100°， 又∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝AD＝AE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°． ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°， ∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°， ∴∠BAE＝∠BFE， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形． 九、利用对角线判定菱形 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A.对角线垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】能判定四边形是菱形的是两对角线互相垂直平分；理由如下：如图所示： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 故选：D． 2.如图，已知▱ABCD，下列不能判断▱ABCD是菱形的条件是（　　） A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AB＝AC D.BD平分∠ABC 【答案】C 【解析】A、AB＝AD，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、AC⊥BD，对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、AC＝AB，有一边与对角线相等，不能判定其为菱形，故选项符合题意； D、BD平分∠ABC，符合菱形的性质“每条对角线平分一组对角”，故选项不符合题意． 故选：C． 3.如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（　　） ①AC＝BD； ②AC平分∠BAD； ③AB＝BC； ④AC⊥BD. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】D 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； ③∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； 综上所述，能使▱ABCD是菱形的为②③④， 故选：D． 4.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】OA＝OC. 【解析】OA＝OC， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD 等） 【解析】当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“AB＝CD”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时， ∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“∠ADB＝∠CBD”时， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）． 6.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠OAE＝∠OCF． ∵O是AC中点，∴AO＝CO． 在△AOE和△COF中， ． ∴△AOF≌△COE（ASA）． （2）四边形AFCE为菱形，理由如下： ∵△AOF≌△COE， ∴AF＝CE． 又AF∥CE， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形． 7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝1时，求BD的长． 【答案】证明：（1）设AE与BD的交点为O， ∴AM为BD的线段垂直平分线， ∴BO＝DO， 由平行可得∠DAO＝∠BEO， ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴AO＝EO， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AE⊥BD， ∴平行四边形ABED是菱形； （2）∵AB＝AD＝CDBC，BE＝AD， ∴E是BC的中点， ∵DE＝BE＝CE＝CD＝1， ∴△BDC是直角三角形， ∵2DC＝BC， ∴△BDC是含30°的直角三角形， ∴BD. 十、菱形的性质与判定的综合应用 1.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形， ∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°， ∴四边形AGCH是平行四边形， ∠AGB＝∠GCH＝∠AHF， 在△AFH和△AGB中， ， ∴△AFH≌△AGB（AAS）， ∴AH＝AG， ∴平行四边形AGCH是菱形， ∴AG＝GC＝CH＝HA， ∵∠AGB＝30°，AB＝2， ∴AB＝4， ∴四边形AGCH的周长为4×4＝16． 故选：D． 2.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 下列判断正确的是（　　） A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 【答案】A 【解析】甲的作法如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥CF，∠EAO＝∠FCO， 又∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，AE＝CE， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴四边形AFCE为菱形，故甲的作法正确． 乙的作法如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， 同理可得 AB＝AF， ∴AF＝BE， 又∵AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形．故乙的作法正确． 故选：A． 3.下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形， ∴由①推出②错误，由③推出②错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为 　　． 【答案】2 【解析】∵AD∥BC， ∴∠FDE＝∠BCE， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝EC， 在△BCE与△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形， 又∵BD＝BC， ∴平行四边形BCFD是菱形， ∴BD＝DF＝CF＝2， ∴AF＝AD+DF＝3， ∵∠A＝90°， ∴AB， ∴BF2， 故答案为：2． 5.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 【答案】30° 【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2 cm， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD∠MAN＝30°， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， 故答案为：30°． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD 是平行四边形， ∴BD＝EC； （2）解：四边形BECD是菱形． 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°， ∴△ADB，△DCB是等边三角形， ∴DC＝DB， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是菱形． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 十一、有关正方形边、角的性质 1.四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（　　） A.点K，F B.点K，E C.点C，F D.点C，E 【答案】C 【解析】设CG＝x，GF＝y， ∴BC＝x+y，CI＝y﹣x， ∴， 由勾股定理得CG2+GF2＝CF2， ∴， ∴知道点C，F的距离即可求最大正方形与最小正方形的面积之和， 故选：C． 2.如图，四边形ABCD是边长确定的正方形，点E、F分别在边DC、BC上，∠EAF＝45°，求△AEF的面积，只需要知道（　　） A.△CEF的面积 B.△ADE的面积 C.△ABF的面积 D.△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道 【答案】A 【解析】将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图： 由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠BAF＝45°， ∴∠BAH+∠BAF＝45°， ∴∠FAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴S△AEF＝S△AHF＝S△ABF+S△ABH＝S△ABF+S△ADE＝（S正方形ABCD﹣S△ECF）÷2， ∵四边形ABCD是边长确定的正方形， ∴只需要知道△CEF的面积即可求出△AEF的面积， 故选：A． 3.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A. B.（﹣2，1） C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得，，AB＝BC'＝CD'＝AD'＝2， ∴，四边形ABC′D'为菱形， ∴C'D'∥x轴， ∴点D'的坐标为（﹣2，）， 故选：D． 4.如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．则EM+AF的最小值是 　　． 【答案】4 【解析】过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴AB＝BC＝8，∠ABC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴BM＝4， ∴AM4， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， ∴△ABM≌△FGE（ASA）， ∴AM＝EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小， 此时EM+AF＝AH4， ∴EM+AF的最小值为4， 故答案为：4． 5.将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG，BC＝3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是 　　． 【答案】 【解析】延长AM交BC于H， 由正方形ABCD与正方形BEFG，BG，BC＝3，M是DF的中点， 得AD∥FC，∠FBG＝45°， 得∠ADM＝∠HFM，∠AMD＝∠HMF， 得△ADM≌△HFM， 得AM＝HM，FH＝AD＝3， 由BFBG2， 得BH＝3﹣2＝1， 得AMAH． 故答案为：． 6.如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD． （1）若AF＝5，则BD＝　　； （2）如果点C在线段AB的延长线上，如图2，其他条件不变，求证：AF＝BD． 【答案】（1）解：四边形ACDE和四边形BCFG是正方形， ∴AC＝CD，∠DCA＝∠DCB＝90°，BC＝CF， 在△AFC和△DBC中， , ∴在△AFC≌△DBC（SAS）， ∴BD＝AF＝5； 故答案为：5； （2）证明：连接AF， ∵四边形ACDE、BCFG是正方形， ∴AC＝DC，CB＝CF， 同（1）可证△ACF≌△DCB（SAS）， ∴AF＝DB. 7.已知：正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且，如图，求证：∠AFE＝90°． 【答案】证明：∵CEBC， ∴CE＝1，BE＝3， ∵F是DC边的中点， ∴CF＝DF＝2， 在Rt△ABE中，∠B＝90°， 由勾股定理得：AE2＝32+42＝25， 在Rt△ECF中，∠C＝90°， 由勾股定理得：FE2＝12+22＝5， 在Rt△ADF中，∠D＝90°， 由勾股定理得：AF2＝42+22＝20， ∴AE2＝FE2+AF2， ∴AF⊥EF， ∴∠AFE＝90°． 十二、正方形对角线的性质 1.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAO＝∠BAC＝45°， ∴， 故选项A，C，D正确，不符合题意；选项B错误，符合题意； 故选：B． 2.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　） A.β﹣α＝15° B.α+β＝135° C.2β﹣α＝90° D.2α+β＝180° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α， ∵EF＝CE， ∴∠EFC＝∠ECF＝α， ∵∠AFB＝β， ∴∠AFE＝180°﹣α﹣β， ∵∠ABF＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣β， ∵AE＝CE，EF＝CE， ∴AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴α﹣（90°﹣β）＝180°﹣α﹣β， ∴α+β＝135°， 故选：B． 3.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，则∠PBC的度数是（　　） A.22.5° B.45° C.25° D.67.5° 【答案】A 【解析】由正方形ABCD，菱形BEFD， 得∠DBC＝45°，∠PBC∠DBC45°＝22.5°． 故选：A． 4.如图，正方形ABCD的边长为2，菱形BEDF的边长为，则EF的长为 　　． 【答案】2 【解析】如图，连接BD与EF交于点O， ∵四边形正ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°， 由勾股定理得BD， ∵四边形BEDF为菱形， ∴BD⊥EF，OE＝OF，OD＝OB， ∴∠EOD＝90°，OD， 在Rt△EOD中，由勾股定理得OE， ∴EF＝2OE＝2， 故答案为：2． 5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 【答案】 【解析】过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴OM＝ON，∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OEM＝∠OFM＝90°， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴S四边形MOND＝S四边形OEDF， ∵四边形MOND的面积是3， ∴正方形ABCD的面积为12， ∴AB， 故答案为：． 6.如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F． （1）求证DE＝CF； （2）若DE＝1，则该正方形的边长为 　　． 【答案】（1）证明：如图，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠FEB＝90°， 在Rt△BEF和Rt△BCF中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）， ∴EF＝CF， ∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°， ∴∠DFE＝45°， ∴DE＝EF， ∴DE＝CF； （2）解：∵DE＝EF＝CF＝1，∠DEF＝90°， ∴DFDE， ∴DC＝CF＝DF＝1， ∴该正方形的边长为1． 故答案为：1． 7.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 十三、正方形的判定 1.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可得出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是（　　） A.AC＝BD B.AB∥CD C.∠A＝∠C D.AC⊥BD 【答案】A 【解析】∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形， ∵AC＝BD， ∴菱形ABCD是正方形， 故选：A． 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形ABCD为正方形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB＝AD C.∠BAO＝∠ABO D.∠BAC＝∠DAC 【答案】C 【解析】A、正确．对角线互相垂直的矩形是正方形，不符合题意； B、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形，故不符合题意； C、错误．∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OBBD，OC＝OA，BD＝AC， ∴AO＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∴矩形ABCD不能为正方形，故符合题意； D、正确，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意． 故选：C． 3.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角；顺次添加的条件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→c，则正确的是（　　） A.①② B.仅③ C.仅① D.②③ 【答案】A 【解析】①添加两组对边分别相等得出是平行四边形，再添加一组邻边相等得出是菱形，最后添加一个角是直角得出是正方形，说法正确； ②添加一组对边平行且相等得出是平行四边形，再添加一个角是直角得出是矩形，最后添加一组邻边相等得出是正方形，说法正确； ③添加两组对边分别相等得出平行四边形，添加一组对边平行且相等还是平行四边形，添加一组邻边相等得出是菱形，说法错误； 故选：A． 4.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 　　　　时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【解析】∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 5.如图，▱ABCD中，AC＝BD，请添加一个条件 　　，可得出该四边形是正方形． 【答案】AB＝AD 【解析】添加AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形， ∵AB＝AD， ∴▱ABCD是正方形． 故答案为：AB＝AD． 6.如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若BE＝EC＝3，求DF的长． 【答案】（1）证明：过A作AM⊥EF，交EF于点M， ∵AD⊥CD，AB⊥BC，即∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AM⊥EF， ∴∠AME＝∠AMF＝90°， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴∠AEB＝∠AEM，∠AFM＝∠AFD， ∵∠AME＝∠B，∠AMF＝∠D，AE＝AE，AF＝AF， ∴△ABE≌△AME（AAS），△ADF≌△AMF（AAS）， ∴AM＝AB，AM＝AD， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC， ∵BE＝EC＝3，即BC＝6， ∴CD＝6， ∵△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF， ∴EM＝BE＝3，DF＝MF， 设MF＝DF＝x，则FC＝6﹣x，EF＝3+x， 由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2， ∴DF＝2． 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 【答案】解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OAAC，OB＝ODBD， ∵以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝CP，BP＝OC， ∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵AC＝BD，OBBD，OCAC， ∴OB＝OC， ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形． 十四、正方形的性质与判定 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 3.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示： ∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AECD为矩形， ∴AD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠DCB＝120°， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°， ∴BEBC， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CEBC， ∴ADBC， 故①不正确； ②∵∠DAB＝∠CDA＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵AC垂直平分DB， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CDB＝∠ABD＝45°， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AD＝BC， 故②正确； ③∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC， ∴BC⊥AB， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， 故③正确； ④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示： 则∠AHB＝∠FHB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△AHB和△FHB中， ， ∴△AHB≌△FHB（ASA） ∴AH＝FH， ∴点A与点F关于直线BD对称， ∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上， 故④正确， 综上所述：正确的是②③④． 5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 【答案】 【解析】如图，连接BB'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BDAB＝2，BD平分∠ABC， ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE＝1， ∵四边形BEB'F是正方形， ∴BB'BE，BB'平分∠ABC， ∴点B，点B'，点D三点共线， ∴B'D＝BD﹣BB'， 故答案为：． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝10，E为AC的中点，当BC的长为 　　时，四边形BCDE为正方形． 【答案】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ， ∴△EOB≌△COD（AAS）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝102， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 7.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， 又∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AB＝BC， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $$