9.3 平行四边形 暑假题型专练2024-2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假题型专练 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　） A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 2.如图，▱ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1＝2，S2＝3，S3＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　） A.17 B.19 C.18.5 D.23 3.在▱ABCD中，已知AD＝4，AB＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A.18 B.16 C.14 D.12 4.若E是▱ABCD内任意一点，若▱ABCD的面积是6，则阴影部分面积是 　　． 5.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝_________cm． 6.已知：如图，在▱ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE、DB，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F．且∠DBC+∠C＝∠ABD． （1）求∠BDC的度数； （2）若AD＝10，BF＝4，求▱ABCD的面积． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 二、有关平行四边形的角的性质 1.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（　　） A.25° B.40° C.65° D.75° 2.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A.80° B.40° C.70° D.140° 3.在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 4.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝100°，则∠D＝　　　°． 5.在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 　　度． 6.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 7.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE≌△CDF． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 2.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　） A.1 cm＜OA＜4 cm B.2 cm＜OA＜8 cm C.2 cm＜OA＜5 cm D.3 cm＜OA＜8 cm 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 7.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．求证：OE＝OF． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CED＝（　　） A.1：4 B.1：3 C.1：6 D.2：5 2.小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（　　） A.对角互补 B.邻角互补 C.对边平行 D.对角线互相平分 3.如图，在探究平行四边形ABCD的性质时，通过添加辅助线AC，可以推理出的结论是（　　） A.平行四边形邻边相等 B.平行四边形对边相等和对角相等 C.平行四边形对角线互相平分 D.平行四边形是轴对称图形 4.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 5.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC+BD＝22，AB＝9．则△OCD的周长为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 7.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 2.下列说法不正确的是（　　） A.五边形的内角和是540° B.三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 3.如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（　　） A.只有图1中的四边形一定是平行四边形 B.只有图2中的四边形一定是平行四边形 C.图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D.图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 5.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，E，F是四边形ABCD的边上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　） A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形 C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形 2.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 3.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 6.如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． （1）求证：O是线段AC的中点： （2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 2.四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A.∠A＝∠B B.AD∥BC C.AB＝CD D.对角线互相平分 3.已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.AB＝CD，AD∥BC C.AO＝CO，BO＝DO D.∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB 4.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 6.如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F． （1）求证：OE＝OF （2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α， ①当∠α为多少度时，EF⊥AC？ ②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长． 7.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF．求证：四边形AGCH是平行四边形． 九、反证法 1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 2.用反证法证明“若▱ABCD的周长为16，则较长边AB的长不小于4”时，应假设（　　） A.AB＞4 B.AB≥4 C.AB＜4 D.AB≤4 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 4.用反证法证明命题：“一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设 　　　　　　　　　　　　　　　　． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 6.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 7.人教版初中数学教科书七年级下册第18﹣19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 　　， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（ 　　）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（ 　　）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）　　； （2）　　； （3）请选择合理的依据 　　． A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假题型专练（参考答案） 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　） A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 【答案】A 【解析】设点E到AB的距离为m，点A到BE的距离为n， ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是平行四边形， ∴S▱ABCD＝AB•m，S▱BEFG＝BE•n， ∵S△ABEAB•mBE•n， ∴S▱ABCD＝2S△ABE，S▱BEFG＝2S△ABE， ∴S▱BEFG＝S▱ABCD， ∴平行四边形BEFG的面积始终不变， 故选：A． 2.如图，▱ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1＝2，S2＝3，S3＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　） A.17 B.19 C.18.5 D.23 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ADE＝S△ADF+S△BCFS▱ABCD， 设S△ADP＝a，S△ABG＝b，S△FHP＝x，S△EGH＝y，S四边形AGHP＝m， 则a+m+y＝a+3+2+y+18， ∴m＝23， 即阴影部分四边形AGHP的面积为23； 故选：D． 3.在▱ABCD中，已知AD＝4，AB＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A.18 B.16 C.14 D.12 【答案】D 【解析】在▱ABCD中， ∵AD＝4，AB＝2， ∴▱ABCD的周长为2（AD+AB）＝2×（2+4）＝12， 故选：D． 4.若E是▱ABCD内任意一点，若▱ABCD的面积是6，则阴影部分面积是 　　． 【答案】3 【解析】过E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴EN⊥AD， ∵S△AEDAD•EN，S△BCEBC•EM， ∴S△ADE+S△BCEAD•ENBC•EMBC•MN平行四边形ABCD的面积6＝3， ∴阴影部分的面积＝3； 故答案为：3． 5.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝_________cm． 【答案】2 【解析】∵▱ABCD， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DEC＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∵CD＝AB＝6 cm， ∴CE＝6 cm， ∵BC＝AD＝8 cm， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2（cm）． 故答案为2． 6.已知：如图，在▱ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE、DB，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F．且∠DBC+∠C＝∠ABD． （1）求∠BDC的度数； （2）若AD＝10，BF＝4，求▱ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠DBC+∠C＝∠ABD， ∴∠DBC+∠C＝∠BDC， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴∠BDC+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BDC的度数是90°． （2）∵∠BDC＝90°，BC＝AD＝10，点E为边BC的中点， ∴DE＝BE＝CEBC＝5， ∵BF⊥DE，交DE的延长线于点F，且BF＝4， ∴S△CDE＝S△BDEDE•BF5×4＝10， ∴S△CDB＝S△CDE+S△BDE＝10+10＝20， ∵▱ABCD是中心对称图形， ∴△ABD绕▱ABCD的对称中心旋转180°与△CDB完全重合， ∴S△ABD＝S△CDB＝20， ∴S▱ABCD＝S△ABD+S△CDB＝20+20＝40， ∴▱ABCD的面积为40． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠F＝∠FCD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）∵E是AD的中点， ∴， ∵， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 二、有关平行四边形的角的性质 1.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（　　） A.25° B.40° C.65° D.75° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，∠ADC＝∠B，AD∥BC，AB∥DC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB＝AE， ∴AE＝DC，∠AEB＝∠B＝65°， ∴∠DAE＝∠ADC，∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠DCA＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°， 在△EAD和△CDA中， ， ∴△EAD≌△CDA（SAS）， ∴∠AED＝∠DCA＝75°， 故选：D． 2.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A.80° B.40° C.70° D.140° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝80°， ∴∠A＝∠C＝40°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝140°， 故选：D． 3.在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（　　） A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】C 【解析】∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A＝180°，∠B﹣∠A＝20°， ∴2∠B＝200°， ∴∠B＝100°． 又∵∠D＝∠B， ∴∠D＝100°． 故选：C． 4.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝100°，则∠D＝　　　°． 【答案】130 【解析】如图： ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠B+∠D＝260°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D＝130°， 故答案为：130． 5.在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 　　度． 【答案】65 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B+50°， ∴∠B＝65°，∠A＝115°， 故答案为：65． 6.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 【答案】证明：∵四边形BFDE是平行四边形， ∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 7.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE≌△CDF． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥EC， 又∵AE∥CF． ∴四边形AECF是平行四边形． ∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝FC，AF＝CE， ∴BE＝FD， 在△ABE和△CDF中， ∵， ∴△ABE≌△CDF（SSS）． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 【答案】B 【解析】A、根据三角形的三边关系可知：6+8＝14，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、10+11＞14，能构成三角形，故此选项正确，符合题意； C、5+8＜14，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意； D、4+14＝18，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 【答案】C 【解析】在平行四边形ABCD中， 2（AD+CD）＝36， ∴AD+CD＝18， 易证△AOE≌△COF， ∴AE＝CF，OE＝OF＝3， ∴EF＝6， ∴CF+CD+ED+EF ＝AE+ED+EF+CD ＝AD+CD+EF ＝18+6 ＝24， 故选：C． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　） A.1 cm＜OA＜4 cm B.2 cm＜OA＜8 cm C.2 cm＜OA＜5 cm D.3 cm＜OA＜8 cm 【答案】A 【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm， ∴2 cm＜AC＜8 cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AOAC， ∴1 cm＜OA＜4 cm， 故选：A． 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB，AC＝2OA，AB＝CD， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16， ∴BD﹣AC＝16﹣10＝6， ∴2OB﹣2OA＝6， ∴OB﹣OA＝3． 故答案为：3． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 【答案】9 【解析】如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵△AOB的周长比△BOC的周长大3， ∴（AO+BO+AB）﹣（BO+OC+BC）＝3， ∴AO+BO+AB﹣BO﹣OC﹣BC＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵▱ABCD的周长是30， ∴2（AB+BC）＝30，即AB+BC＝15， ∴AB＝9， 故答案为：9． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝14，AB＝6＝CD， ∴，， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝6+4+7＝17． 7.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．求证：OE＝OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE＝OF． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CED＝（　　） A.1：4 B.1：3 C.1：6 D.2：5 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点， ∴S△ADE＝S△BDES平行四边形ABCD， ∵FB＝2DF， ∴S△DEFS△BDES平行四边形ABCD， ∵S△CDES平行四边形ABCD， ∴S△DEF：S△CDES平行四边形ABCD：S平行四边形ABCD＝1：6． 故选：C． 2.小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（　　） A.对角互补 B.邻角互补 C.对边平行 D.对角线互相平分 【答案】A 【解析】A、平行四边形的对角相等，不一定互补，故A符合题意； B、C、D中的说法正确，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 3.如图，在探究平行四边形ABCD的性质时，通过添加辅助线AC，可以推理出的结论是（　　） A.平行四边形邻边相等 B.平行四边形对边相等和对角相等 C.平行四边形对角线互相平分 D.平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【解析】添加辅助线AC， ∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC＝∠ACB，∠DCA＝∠BAC， 又∵AC＝CA， ∴△DAC≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠B， 故选：B． 4.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 【答案】14 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC+BD＝16， ∴， ∴△BOC的周长＝OB+OC+BC＝14， 故答案为：14． 5.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC+BD＝22，AB＝9．则△OCD的周长为 　　． 【答案】20 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴OC＝OAAC，OD＝OBBD，CD＝AB＝9， ∵AC+BD＝18， ∴OC+OD（AC+BD）22＝11， ∴OC+OD+CD＝11+9＝20， ∴△OCD的周长为20， 故答案为：20． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 7.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠GDF＝45°，∠GFD＝∠AEG＝90°， ∴△GFD是等腰直角三角形， ∴FG＝DF，DGFG＝2，∠G＝45°， ∵BD⊥AD， ∴△DGO是等腰直角三角形， ∴DG＝DO＝2， ∴DO＝BO＝2， ∴DB＝4， ∵∠A＝45°，BD⊥AD， ∴∠A＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝4． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在Rt△DCF和Rt△BAE中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）， ∴FC＝EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥FC， ∵FC＝EA， ∴四边形CFAE是平行四边形， ∴EO＝FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE， ∴∠CDF＝∠ABE， ∴CD∥AB， ∵CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确； 由以上可得出：△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△BAF，△BCD≌△△DAB， △CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等．故④错误． 故正确的有3个． 故选：B． 2.下列说法不正确的是（　　） A.五边形的内角和是540° B.三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】A、五边形的内角和（5﹣2）×180°＝540°，本选项正确，不符合题意； B、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，本选项正确，不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项错误，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 3.如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（　　） A.只有图1中的四边形一定是平行四边形 B.只有图2中的四边形一定是平行四边形 C.图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D.图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 【答案】A 【解析】图1中，四边形的两组对角分别相等，判定四边形是平行四边形， 图2中，由内错角相等，两直线平行只能推出四边形的左右一组对边平行，不能判定上下对边平行，因此不能判定四边形是平行四边形． 4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 【答案】AE＝CF 【解析】添加条件为：AE＝CF， 理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 故答案为：AE＝CF． 5.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】∥ 【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：∥． 6.如图，E，F是四边形ABCD的边上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵DF＝BE，DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE＝BF，DE∥BF， ∵AE＝CF， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE＝∠BEC， ∴在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　） A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形 C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形 【答案】B 【解析】∵两组分别相等的四边形是平行四边形， ∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．（如图所示） 故选：B． 2.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 【答案】C 【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴①能判定； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴②能判定； ∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形， ∴③不一定能； ∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形， ∴④不一定能； 以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②； 故选：C． 3.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确， ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误， ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误， ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 【答案】A 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 【答案】B 【解析】A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：①②④⑤． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】DO＝BO 【解析】添加条件DO＝BO， 证明如下：∵AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：DO＝BO． 6.如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． （1）求证：O是线段AC的中点： （2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵∠E＝∠F， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC，BD互相平分； 即O是线段AC的中点． （2）∵AD∥BC， ∴∠EAC＝∠FCA， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）． ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形． 7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； ∴OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】D 【解析】A、∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； B、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； C、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； D、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形， 故本选项不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 2.四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A.∠A＝∠B B.AD∥BC C.AB＝CD D.对角线互相平分 【答案】A 【解析】∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴B、C、D均正确， 而A选项∠A+∠B＝180°，但并不一定∠A＝∠B，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 3.已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.AB＝CD，AD∥BC C.AO＝CO，BO＝DO D.∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB 【答案】B 【解析】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 4.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 【答案】8 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】4 【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 6.如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F． （1）求证：OE＝OF （2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α， ①当∠α为多少度时，EF⊥AC？ ②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥CD． ∴∠EBO＝∠FDO． 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（ASA）． ∴OE＝OF； （2）①∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ODBD＝1，OAAC， 又AD＝1， ∴AD2+OD2＝OA2． ∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°． ∴∠α＝90°﹣45°＝45． ②由（1）可得：EF垂直平分AC， ∴AF＝FC， 又ABCD， ∴△ADF的周长＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1． 7.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF．求证：四边形AGCH是平行四边形． 【答案】证明：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，AB＝DC， ∴∠E＝∠F， 又∵BE＝DF，AF＝AD+DF，CE＝CB+BE， ∴AF＝CE， 在△AFG和△CEH中， ， ∴△AFG≌△CEH（ASA）， ∴AG＝CH， 又∵AG∥CH， ∴四边形AGCH是平行四边形． 九、反证法 1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 【答案】A 【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 2.用反证法证明“若▱ABCD的周长为16，则较长边AB的长不小于4”时，应假设（　　） A.AB＞4 B.AB≥4 C.AB＜4 D.AB≤4 【答案】C 【解析】用反证法证明“若▱ABCD的周长为16，则较长边AB的长不小于4”时，应假设：AB＜4． 故选：C． 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 【答案】D 【解析】根据反证法的步骤，得第一步应假设a＜b不成立，即a≥b． 故选：D． 4.用反证法证明命题：“一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设 　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形 【解析】用反证法证明某个命题的结论“一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 【答案】a≥3 【解析】用反证法证明“a＜3”时，应先假设a≥3． 故答案为：a≥3． 6.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】证明：假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连接BN． 在△AMC和△NMB中， ∵AM是BC边上的中线． ∴BM＝CM， ∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN， ∴△AMC≌△NMB（SAS）； ∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC； ∵AM（AD）是∠BAC的平分线， ∴∠BAM＝∠MAC， ∴∠MNB＝∠BAM， 则BN＝AB， 即AC＝AB，与AB＞AC相矛盾． ∴M与点D重合是错误的． ∴点M与点D不重合． 7.人教版初中数学教科书七年级下册第18﹣19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 　　， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（ 　　）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（ 　　）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）　　； （2）　　； （3）请选择合理的依据 　　． A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】证明：假设∠BGF≠∠DHF， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 故答案为：∠BGF≠∠DHF；同位角相等，两直线平行；C． 学科网（北京）股份有限公司 $$