11 矩形，菱形、正方形 -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

２７　 　 　矩形、菱形、正方形 １．如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD 于点F．若AE＝４,AF＝６,且▱ABCD的 周长为４０,则▱ABCD 的面积为 (　　) A．２４ B．３６ C．４０ D．４８ ２．下列命题中,是真命题的有 (　　) ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③四边 相等的四边形是正方形;④四边相等的四边形是菱形． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ ３．将△ABC与▱DEFG如图放置,点D、G 分别在边AB、AC 上,点E、F 在边BC 上．已知 BE＝DE,FC＝FG,则∠A＝　　　　． (第３题) 　　　　　　 (第４题) ４．如图,在矩形ABCD 中,M、N 分别是边AD、BC 的中点,E、F 分别是线段BM、CM 的中 点．若AB＝８,AD＝１２,则四边形ENFM 的周长为　　　　． ５．图１、图２、图３分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图(箭头表示行进的方向), 其中E 是AB 的中点,AH＞HB,则三人行进路线长度的大小关系为 (　　) A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲＝乙＝丙 ２８　 　　６．如图,将一个边长为２０cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对 角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到３６cm 时才会断裂．若∠BAD＝６０°,则橡皮筋AC 　　　　断裂．(填“会”或“不会”,参考数据:３≈１．７３２) (第６题) 　　　　 (第７题) 　　　　 (第８题) ７．如图,D 是△ABC内一点,BD⊥CD,AD＝６,BD＝４,CD＝３．若E、F、G、H 分别是AB、 AC、CD、BD 的中点,则四边形EFGH 的周长是　　　　． ８．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A、C 的坐标分别为(１０,０)、(０,４),D 是 OA 的中点,点P 在BC 上运动．当△ODP 是腰长为５的等腰三角形时,点 P 的坐标 为　　　　　　　　　． ９．如图,在正方形ABCD 中,P 是AC 上任意一点(不同于点A、C),且PE⊥AB,PF⊥BC, 垂足分别为E、F．请问EF与PD 相等吗? 为什么? １０．如图,在▱ABCD 中,AB＝３cm,BC＝５cm,∠B＝６０°,G 是CD 的中点,E 是边AD 上 的动点,EG的延长线与BC 的延长线交于点F,连接CE、DF． (１)求证:四边形CEDF是平行四边形． (２)①当AE＝　　　　cm时,四边形CEDF是矩形; ②当AE＝　　　　cm时,四边形CEDF是菱形． (直接写出答案,不需要说明理由) ２９　 　　１１．在正方形ABCD 中,对角线BD 所在的直线上有两点E、F,满足BE＝DF,连接AE、 AF、CE、CF,如图所示． (１)求证:△ABE≌△ADF． (２)试判断四边形AECF的形状,并说明理由． １２．如图,线段DE 与AF 分别为△ABC的中位线与中线． (１)求证:AF与DE 互相平分． (２)当线段AF与BC 满足怎样的数量关系时,四边形ADFE 为矩形? 并说明理由． １３．如图,四边形ABCD 为平行四边形,延长AD 到点E,使DE＝AD,且BE⊥DC． (１)求证:四边形DBCE 为菱形． (２)若△DBC是边长为２的等边三角形,点P、M、N 分别在线段BE、BC、CE 上运动,求 PM＋PN 的最小值． ７３　 ∴EF与DG 平行且相等． ８．证 明:如 图,取AC 的中点N,连接 MN、DN．∵M 是BC 的中点,N 是AC 的中点,∴MN∥ AB,MN＝１２AB ,∴∠B＝∠NMC．∵AD 是△ABC的高,N 是 AC的中点,∴DN＝CN,∴∠C＝∠NDC．∵∠NMC＝∠NDC＋ ∠MND,∠B＝２∠C,∴ ∠MDN＝ ∠MND＝ ∠C,∴MD＝ MN,∴MD＝ １２AB． ９． (１)３　(２)１２a １ ４S (３)１２na　 １ ４nS　１０． (１)相等　６０°　(２)△MNP是等边三角形．理由如 下:由 旋 转 可 得 ∠BAD＝ ∠CAE．又 AB＝AC,AD＝AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD＝CE,∠ABD＝∠ACE．∵M、N 分别为DE、BE的中点,∴MN 是△EBD 的中位线,∴MN＝ １ ２BD ,且 MN∥BD．同理可证 PN＝ １２CE ,且 PN∥CE, ∴MN＝PN,∠MNE＝∠DBE,∠NPB＝∠ECB．∴∠MNE＝ ∠DBE＝ ∠ABD＋ ∠ABE＝ ∠ACE＋ ∠ABE,∠ENP＝ ∠EBP＋∠NPB＝∠EBP＋∠ECB．∵∠MNP＝∠MNE＋ ∠ENP＝ ∠ACE＋ ∠ABE＋ ∠EBP＋ ∠ECB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝６０°,∴△MNP 是等边三角形．　(３)根据题意得 BD≤AB＋AD,即 BD≤４,∴MN≤２,△MNP 的 面 积 ＝ １ ２MN 􀅰 ３ ２MN＝ ３ ４MN ２,∴△MNP 面积的最大值为 ３． １１．C　１２．６ １１　矩形、菱形、正方形 １．D ２．B ３．９０° ４．２０ ５．D ６．不会 ７．１１ ８．(２,４) 或(３,４)或(８,４) ９．EF＝PD．理由如下:连接BP、BD．在正 方形ABCD 中,AC 垂直平分BD,∴BP＝PD．∵PE⊥AB, PF⊥BC,∠ABC＝９０°,∴四边形EBFP 是矩形,∴PB＝EF, ∴EF＝PD． １０．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CF∥ED,∴∠FCG＝∠EDG．∵G 是CD 的中点,∴CG＝ DG．又 ∠CGF＝ ∠DGE,∴ △FCG≌ △EDG,∴FG＝EG． ∵CG＝DG,∴四边形CEDF 是平行四边形．　(２)①３．５　 ②２　１１．(１)证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB＝AD, ∴∠ABD＝∠ADB,∴∠ABE＝∠ADF．在△ABE 和△ADF 中, AB＝AD, ∠ABE＝∠ADF, BE＝DF, ì î í ïï ï ∴△ABE≌△ADF(SAS)．　(２)四边 形AECF是菱形．理由如下:连接AC,交BD 于点O．∵四边 形ABCD为正方形,∴OA＝OC,OB＝OD,AC⊥EF．∵BE＝ DF,∴OB＋BE＝OD＋DF,即OE＝OF．又OA＝OC,∴四边 形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形． １２．(１)证明:∵DE是△ABC 的中位线,∴D、E 分别是AB、 AC的中点,∴AD＝１２AB．∵E 是AC 的中点,F 是BC 的中 点,∴EF 是 △ABC 的 中 位 线,∴EF∥AB,EF＝ １２AB , ∴EF＝AD,EF∥AD,∴四边形ADFE 是平行四边形,∴AF 与DE 互相平分．　(２)当AF＝１２BC 时,四边形ADFE 为矩 形．理由如下:∵线段DE为△ABC的中位线,∴DE＝１２BC． ∵AF＝１２BC ,∴AF＝DE．由(１)知四边形ADFE是平行四边 形,∴四边形ADFE 为矩形． １３．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC．∵DE＝AD,∴DE＝BC． ∵点E在AD 的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE 是平 行四边形．∵BE⊥DC,∴四边形DBCE 是 菱形．　(２)如图,作点 N 关于BE 的对称 点N′,过点 D 作DH ⊥BC 于点 H．由菱 形的对 称 性 知 点 N′在 DE 上,∴PM＋ PN＝PM＋PN′,∴当P、M、N′三点共线 时,PM＋PN＝PM＋PN′＝MN′．∵DE∥ BC,∴MN′的最小值为平行线间的距离DH 的长,即PM＋ PN 的最小值为DH 的长．在 Rt△DBH 中,∠DBH＝６０°, DB＝２,∴DH＝２× ３２＝ ３ ,∴PM＋PN 的最小值为 ３． １２　分式　分式的基本性质 １．B ２．C ３．D ４．C ５．D ６．３　７．２０x－３y５０x＋２０y　 ８．１５００２x＋３５ ９．A １０．D １１．D １２．C １３． ６０ m (答案不 唯一) １４．３２ １５．２０２１．５ １６．０＜x＜ ３ ２ １７． 选取①② 得a ２－２ab＋b２ ３a－３b ＝ (a－b)２ ３(a－b)＝ a－b ３ ． 当a＝６,b＝３时,原式＝ ６－３ ３ ＝１． (答案不唯一) １８．A １９．x≠－１ １３　分式的加减 １．C ２．A ３．x ４．２３ ５． (１)１ab＝ ９ab ９a２b２ ,a ３b２＝ ３a３ ９a２b２ , ３ ９a２b＝ ３b ９a２b２ (２) ３a２a－２b＝ ３a ２a－２b ,２b b－a＝ － ４b ２a－２b　 (３)１a＋１＝ a－１ a２－１ ,３ １－a＝－ ３a＋３ a２－１ , ５ a２－１＝ ５ a２－１ ６． (１)原 式＝a＋b (２)原式＝ １x＋３ ７．－６ ８． 原式＝x－１x＋１ ９． 原 式＝ ３x(x＋３) １０．A＝２ ,B＝１ １１．１ １２．(１)A＝ (x＋１)２ (x＋１)(x－１)－ x x－１＝ x＋１ x－１－ x x－１＝ １ x－１． (２)解不等式 x－１≥０,得x≥１,解不等式x－３＜０,得x＜３,∴不等式组的 解集为１≤x＜３．又x为整数∴x＝１或２．∵x≠±１,∴x＝２, ∴A＝ １２－１＝１． １３． (１)１００(x＋y) (１００x ＋ １００ y ) x＋y ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋