精品解析：北京市丰台区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

北京市丰台区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 2025.07 第一部分（选择题 共40分） 一．选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算判断. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：A 2. 下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系及正负相关即可. 【详解】A，B，C中各点有非线性拟合趋势，D中具有线性相关且为负相关. 故选：D 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式、指数函数、对数函数的性质，取值判断即可. 【详解】对A，若，不成立，错误； 对B，由为的增函数，所以，正确； 对C，取，所以，错误； 对D，取，所以，错误. 故选：B 4. 已知数列是等比数列，若，则（ ） A. -2 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列下标的性质可得. 【详解】由题可知：. 故选：C 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 6. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有条件概率计算即可. 【详解】由题可知：抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为. 故选：B 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的充分与必要性推导，利用基本不等式可得充分性成立，必要性可通过反例说明即可. 【详解】因为，则，则，则充分性成立； 时，易知也成立，此时不成立，则必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是奇函数，且在区间上单调递减 C. 是偶函数，且在区间上单调递增 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案. 【详解】的定义域为， ， 所以是奇函数，AC选项错误. 当时， ， 在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，是奇函数，则在区间上单调递减，D选项正确. 故选：D 9. 2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑甲负责1个任务和甲负责2个任务的情况，结合甲不负责A，可得答案. 【详解】因任务有4个，人只有三个，结合题意可知有1人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责1个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C 10. 已知函数，则下列四个结论不正确的是（ ） A 有极小值 B. 恰有2个零点 C. ，使得不等式恒成立 D. ，使得关于的方程有3个不同的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】当，求导，分析得出函数在单调递减，在单调递增即可判断AB，当时，分和进行讨论，根据极值点确定函数零点情况，据此可判断CD. 【详解】函数的定义域为，， 时，令，即， ，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 所以在单调递减，在单调递增， 在时取得极小值，无极大值，故A正确； 又， ， 所以时，恰有2个零点，故B正确； 时，， 时，，恒成立，在单调递减， 又，所以时，，则此时不恒成立， 当，，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 此时在单调递减，在单调递增，在单调递减， 又，所以 所以此时不恒成立，故C不正确； 由上知时，函数方程有3个不同的实数解，故D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共110分） 二．填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中项的系数为______（用数字作答）. 【答案】24 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】因为二项展开式的通项公式为，， 所以当，即时，， 故答案为：24 12. 已知函数（，且）的图象经过点，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】代值计算即可. 【详解】因为函数（，且）的图象经过点， 所以 故答案为： 13. 用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上， 因此，满足条件的四位数的个数为个. 故答案为：. 14. 某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为___________． 【答案】0.86## 【解析】 【分析】利用全概率计算公式求得正确答案. 【详解】买到的是优质品的概率是. 故答案为：. 15. 已知数列满足，给出下列四个结论： ①当时，对任意的，都有； ②当时，对任意的，都有； ③当时，存在，使数列是常数列； ④当时，存在，使数列是递减数列． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：利用放缩，；对于②：利用特殊值法，当时，，与题意不符；对于③：由常数列的定义，可求解出的值；对于④：换元看成二次不等式，求解不等式，得出的范围，再用数学归纳法证明其一般性. 【详解】对于①：当时，则，有，与的取值无关，故①正确； 对于②：当时，当时， ， 故②错误； 对于③：当时，，由数列是常数列，则， ，，满足题意，故③正确； 对于④：当时，，因为数列是递减数列， 则，，即， 则有，令，则，解得， 所以，即，故，下证成立： 当时，成立； 假设当 时，不等式成立，即， 由，得到； 则当时，，即证明， 构造函数，， 因为，，，，故单调递增，由， ，故有， 即，证毕.故④正确. 故答案为：①③④ 三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最小值和最大值； （3）写出不等式的解集．（不用说明理由） 【答案】（1） （2）最小值为-2，最大值为2 （3）或 【解析】 【分析】（1）计算，然后根据点斜式求出方程即可； （2）利用导数判断函数单调性，然后计算； （3）根据（2）的结果，判断函数的单调性，然后计算可得，，判断即可. 【小问1详解】 ，又， 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 令得，， 当变化时，的变化情况如下表： 1 - 0 + -2 又， 所以在区间上的最小为-2，最大值为2． 【小问3详解】 由（2）可知，函数在单调递增，在单调递减， ，， 所以不等式的解集为或 17. 2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． （1）从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； （2）现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）利用超几何分布和期望的公式求解即可. 【小问1详解】 设事件为 “从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”， 则． 【小问2详解】 由题意知，的可能取值为0，1， 的分布列如下表所示： 0 1 的均值为． 18. 已知等比数列的前项为和为．再从条件①，条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定并解答以下问题： （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和． 条件①：成等差数列； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）不能选①，选②和③，答案均； （2） 【解析】 【分析】（1）选择①，求出公比或，不合要求；选择②，求出公比为2，得到通项公式；选择③：公比，从而得到通项公式； （2）利用等比数列求和公式，化简得到，数列是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 选择①，成等差数列，即， 设公比为，因为，所以，解得或， 此时不唯一，不合要求，舍去； 选择②：因为，数列为等比数列， 显然公比，所以， 即． 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 即； 选择③：因为，数列为等比数列，公比， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 即； 【小问2详解】 因为， 所以， 故， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以． 19. 2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站擂台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动．为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动 参与人数 站擂台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况． （1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； （2）从该校高一年级中随机选取1名学生，高二年级中随机选取2名学生，求这3名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； （3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站擂台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 当数据的方差最小时，写出的值．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意找出符合题意的情况，利用古典概型即可求解； （2）由题可得高一、高二随机选取1名学生参与“徽设计”的概率，然后根据独立事件乘法公式可得. （3）由方差公式可知时方差最小，再求的最小值即可. 【小问1详解】 设“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”， 根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有： 史探秘，日海报，徽设计， 则． 【小问2详解】 从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 设“从高一年级随机选取1名学生，高二年级随机选取2名学生，这3名学生中恰有2名学生参与徽设计”， 则． 【小问3详解】 设均数为，又， 所以时，取得最小值， 又， 所以时方差最小. 20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设（为的导数），求的单调区间； （3）求的极值点的个数． 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成的变号零点的个数，结合（2）中结果，列出的变化情况表，利用极值的定义，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 易知的定义域为，又， 令，得， 所以的变化情况如下表 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 的极值点个数就是的变号零点的个数， 又恒成立，也即的变号零点的个数． 由（2）知的单调递增区间是，单调递减区间是， 因为， ， 所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使得， 的变化情况如下表： 0 所以的极值点个数为3． 21. 已知集合和且．集合由元素或构成，其中，且与恰有一个属于． 定义，其中 定义，其中 （1）若，且，写出及值； （2）从中任意删去一个数，并从中任意删去一个数，记剩下个数的和为，证明：； （3）若且，设为中满足的元素个数，为中满足的元素个数，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按照定义直接计算即可； （2）计算，然后假设删除的数是和可得，然后讨论，情况即可； （3）利用反证法，假设，因，即，中满足的元素个数为， 中满足的元素个数为，计算,，然后两式相加计算判断即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 由定义，恒有成立． 所以 不妨设删去的数是和，则有， 和分别取得的最大值为和，下证两个最值不能同时取到． ①若，即， 因为， 所以若满足， 当且仅当，所以． 不妨设，即满足且， 此时． ②若，同理可证． 所以，得证． 【小问3详解】 反证法．假设，因，即． 因为中满足的元素个数， 所以中满足的元素个数为， 同理中满足的元素个数为． 因为， 所以， ， 所以 又因为， 所以，解得与条件矛盾！故假设不成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市丰台区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 2025.07 第一部分（选择题 共40分） 一．选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，若，则（ ） A -2 B. C. 2 D. 4 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是奇函数，且在区间上单调递减 C. 是偶函数，且在区间上单调递增 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 9. 2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 10. 已知函数，则下列四个结论不正确的是（ ） A. 有极小值 B. 恰有2个零点 C. ，使得不等式恒成立 D. ，使得关于的方程有3个不同的实数解 第二部分（非选择题 共110分） 二．填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中项的系数为______（用数字作答）. 12. 已知函数（，且）的图象经过点，则___________． 13. 用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答） 14. 某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为___________． 15. 已知数列满足，给出下列四个结论： ①当时，对任意的，都有； ②当时，对任意的，都有； ③当时，存在，使数列是常数列； ④当时，存在，使数列是递减数列． 其中所有正确结论序号是___________． 三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最小值和最大值； （3）写出不等式的解集．（不用说明理由） 17. 2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． （1）从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； （2）现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 18. 已知等比数列的前项为和为．再从条件①，条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定并解答以下问题： （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 条件①：成等差数列； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站擂台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动．为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动 参与人数 站擂台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动情况． （1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； （2）从该校高一年级中随机选取1名学生，高二年级中随机选取2名学生，求这3名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； （3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站擂台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 当数据的方差最小时，写出的值．（结论不要求证明） 20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设（为的导数），求的单调区间； （3）求的极值点的个数． 21. 已知集合和且．集合由元素或构成，其中，且与恰有一个属于． 定义，其中 定义，其中 （1）若，且，写出及值； （2）从中任意删去一个数，并从中任意删去一个数，记剩下个数的和为，证明：； （3）若且，设为中满足元素个数，为中满足的元素个数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$