精品解析：北京市丰台区2023-2024学年高二下学期期末练习数学试题

丰台区2023～2024学年度第二学期期末练习 高二数学 2024.07 考生须知 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚． 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效． 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在一般情况下，下列各组两个变量呈正相关的是（ ） A. 某商品销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间 C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力 3. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知复数，则它的共轭复数（ ） A. B. C. D. 5. 下列求导运算错误的是（ ） A B. C. D. 6. 已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 9. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 10. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A. 44 B. 46 C. 52 D. 54 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的常数项为_______． 12. 已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 13. 某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为______． 14. 能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为______． 15. 已知函数（）．给出下列四个结论： ①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是； ②若在处取得极小值，则的取值范围是； ③，曲线总存在两条互相垂直的切线； ④若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17. 在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表： 胜负情况 甲球员上场情况 获胜 未获胜 上场 40场 5场 未上场 2场 3场 （1）求甲球员上场时，该球队获胜的概率； （2）从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 19. 随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图： 根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表： 分数 满意度 非常满意 满意 不满意 假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立． （1）分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （2）从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （3）从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取人进行电话回访，记为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明） 20 已知函数（）． （1）若在区间上单调递减，求的取值范围； （2）当时，求证：． 21. 已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等，，都有，对任意不相等的，，都有． （1）当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； （2）若集合，具有性质，且，，求证：； （3）若存在集合，具有性质，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2023～2024学年度第二学期期末练习 高二数学 2024.07 考生须知 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚． 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效． 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合数轴，根据集合并集的定义，即可求解. 【详解】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示， 则. 故选：D. 2. 在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（ ） A. 某商品的销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间 C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关关系的概念逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误； 对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误； 对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确； 对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误. 故选：C. 3. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据命题取否定的通法得到答案，或者根据原命题的实际含义取否定，通过语义选出答案. 【详解】方法一：使用命题取否定的通法： 将命题的特称量词改为全称量词，论域不变，结论改为其否定的结论. 得到命题的否定是：，. 方法二：命题的含义是，存在一个上的实数满足. 那么要使该结论不成立，正是要让每个上的实数都不满足. 也就是对任意的上的实数，都有. 所以的否定是：，. 故选：B. 4. 已知复数，则它的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则化简后，根据共轭复数的定义判断． 【详解】，∴， 故选：B． 5. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则判断． 【详解】A，，正确； B，，错误； C，，正确； D，，正确． 故选：B． 6. 已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断． 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，即可比较大小. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为偶函数， 又，令，则， 所以（）在定义域上单调递增， 又，所以当时， 所以在上单调递增，因为，所以， 又，所以. 故选：D 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式变形求解． 【详解】∵， 所以，当且仅当时等号成立， ，所以，当且仅当时取等号， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故在R上单调递增，则A，B显然错误； 对于C，D，， 由图像可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 10. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A. 44 B. 46 C. 52 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果，但丙不是第2名，以上所有结果还要排除丙是第2名的所有情况，最后间接法得解. 【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲， 有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下3人有种排法， 故共有种不同的情况， 假如丙是第2名，则甲有可能是第三、四名2种情况； 再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法， 故共有种不同的情况， 由间接法得：满足题意的，5名同学可能的名次排列情况种数为种， 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 12. 已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 【答案】2.6 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可. 【详解】由已知可得，， ∴ ∴ 故答案为：2.6. 13. 某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由条件概率计算即可求解. 【详解】由条件概率可得所求概率为. 故答案为：. 14. 能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】从不等式的性质可知中只要有一个非负，则一定成立，因此当均为负数时不等式可能不成立，如，或等， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知函数（）．给出下列四个结论： ①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是； ②若在处取得极小值，则的取值范围是； ③，曲线总存在两条互相垂直的切线； ④若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】当时，求出的零点判断①；分类讨论函数的极值情况判断②；取，求出任意两点处的导数值乘积与比较判断③；按分类讨论函数在上的取值情况判断④得答案. 【详解】对于①，当时，，由，解得， 则当时，的图象与直线只有两个公共点，而，①错误； 对于②，函数的定义域为，求导得， 当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意； 当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意； 当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意； 当时，，函数在上单调递减，无极值点； 当时，，，，，在处取得极小值，符合题意， 因此在处取得极小值时，的取值范围是，②正确； 对于③，当时，，假定曲线存在两条互相垂直的切线， 设两条切线对应的切点分别为，切线斜率分别为， 于是与矛盾，③错误； 对于④，当时，，，即在上单调递减， 此时，而函数在的取值集合为，则在上无最小值， 当时，由，得或，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 而当时，，则恒成立，因此在处取得最小值， 于是存在最小值时，的取值范围是， 所以所有正确结论的序号是②④. 故答案为：②④ 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可. 【小问1详解】 因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种； 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片不同方法有种； 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 17. 在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表： 胜负情况 甲球员上场情况 获胜 未获胜 上场 40场 5场 未上场 2场 3场 （1）求甲球员上场时，该球队获胜的概率； （2）从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1）运用古典概型求解概率即可； （2）运用超几何分布求解概率，进而得出的分布列和数学期望． 【小问1详解】 设事件“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”， 则． 【小问2详解】 表中该球队未获胜的场次共有场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场， 则的可能取值为0，1，2，3． ， ，． 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1）； （2）极小值为，极大值为． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程， （2）由导数确定单调性即可解极值. 【小问1详解】 由已知得， 所以． 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，． 令，得， 令，得或， 所以的单调递增区间为， 单调递减区间为，． 所以有极小值为，极大值为． 19. 随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图： 根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表： 分数 满意度 非常满意 满意 不满意 假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立． （1）分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （2）从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （3）从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取人进行电话回访，记为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）款满意度，款满意度； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解； （3）根据方差的实际意义判断. 【小问1详解】 设事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则，； 【小问2详解】 设事件“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则； 【小问3详解】 样本中使用款软件不满意的概率为，使用款软件不满意的概率为， 且随机选取的人进行电话回访， 随机变量服从二项分布，，即方差为, 随机变量服从二项分布，，即方差为, ． 20. 已知函数（）． （1）若在区间上单调递减，求的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由在上恒成立可得，再由导数确定的单调性与最值后可得参数范围； （2）利用导数求得的最大值，由这个最大值小球0可得证，为此需要对的零点进行定性确定，然后利用的性质写明． 【小问1详解】 由已知得， 设，， 因为在区间上单调递减， 所以时，恒成立． 因为时，， 所以在区间上单调递减， 所以的最大值为，即． 当时，符合题意． 所以． 【小问2详解】 当时，，， 则． 设，则， 所以在区间上单调递减． 因为，， 所以，使得， 即． 当变化时，，，的变化如下表： ＋ 0 － ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以的最大值为 ． 因为，所以，， 所以，故． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，一般可利用导数求得最大值，再由证得结论，此类题这里有一个难点，即的不易求得，我们可以进行定性分析，即证明存在，使得，利用此等式可化简并证明出结论成立． 21. 已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． （1）当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； （2）若集合，具有性质，且，，求证：； （3）若存在集合，具有性质，求的最大值． 【答案】（1），，； （2）证明见解析； （3）32. 【解析】 【分析】（1）根据性质可得答案； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，记“对任意不相等的，，都有”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案； （3）一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案. 【小问1详解】 所有的集合为，，； 【小问2详解】 记“对任意不相等的，，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即 【小问3详解】 的最大值为32．证明如下： 一方面，当时，可构造集合， 具有性质； 另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，． 证明如下： 由（2）知，，且当，时，， 此时不存在具有性质的集合，． 由条件①得2，3不能同时属于集合． 下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况： （1）当，时，由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即，． 因为，，，， 由条件②得，， 即，． 由条件①得，，即，． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． （2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合， 下面分三种情形： 情形一：若，，由条件①得，即． 由条件②得，，即，． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形二：若，，由条件①得，， 即，． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形三：若，，由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合， 综上，的最大值为32． 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$