2.2圆的对称性（第2课时垂径定理）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.2 圆的对称性 第2课时——垂径定理 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 掌握圆的垂径定理的证明与运用 掌握圆的垂径定理的三个推论的证明与运用 新知探究 思 考 请同学们完成以下操作 ，并回答问题： 1. 画O和O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P； O C D A B P 新知探究 思 考 2. 在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？ O C A B P D (D) 解：由翻折可知：PC = PD， = ， = 。 新知探究 思 考 3. 是否还有其他的方法证明：PC = PD， = ， = ？ 已知：AB是O的直径，CD是O的弦，AB⊥CD，垂直为P。 O C D A B P 解：如图，连接OC、OD， 在Rt△OCP和Rt△ODP中，， ∴△OPC△OPD ( HL )， ∴PC = PD，∠BOC = ∠BOD， ∴ = ，∠AOC = ∠AOD， ∴ = 。 新知探究 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 符号语言 ( 知二推三 )： AB过圆心 ( AB为O的直径 )，AB⊥CD ⇒PC = PD， = ， = 。 知识要点 O C D A B P 新知探究 弦心距： 在一个圆中，圆心到弦的垂线段的长度 ( 或圆心到弦的距离 )， 叫做弦心距。 知识要点 O C D P eg：OP的长度 新知探究 探 究 解：∵CD是O的弦，OP⊥CD于点P， ∴CP = DP = CD ( 垂径定理 )， 在Rt△OPC中，OC2 = OP2 + CP2， ∴OC2 = OP2 + ( CD )2。 O C D P 1. 已知：OC是O的半径，CD是O的弦，OP⊥CD于点P， 问：OC、OP、CD之间的数量关系？ 新知探究 探 究 O C D P B 2. 已知：OB、OC是O的半径，CD是O的弦，OB⊥CD，垂足为P， 问：OC、BP、CD之间的数量关系？ 解：∵CD是O的弦，OP⊥CD于点P， ∴CP = DP = CD ( 垂径定理 )， 在Rt△OPC中，OC2 = OP2 + CP2， ∴OC2 = ( OB - BP )2 + ( CD )2。 ∴OC2 = ( OC - BP )2 + ( CD )2。 新知探究 知识要点 O C D P 半径 弦心距 弦长的一半 圆的半径、弦心距、弦长之间的数量关系： 半径2 = 弦心距2 + 。 典例分析 典例1 在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。证明：AC = BD。 O B D A C 证明：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P， ∵OP⊥AB，∴OP⊥CD， ∴AP = BP，CP = DP ( 垂径定理 )， ∴AP - CP = BP - DP，即AC = BD。 P 方法技巧 解题关键：牢记垂径定理。 典例分析 典例2 如图，O的直径AB垂直弦CD于点P， 且P为半径OB的中点，若CD = 6， 则O的半径长为_________。 O D C P B A 解：如图，连接OD，设O的半径为r， ∵P为半径OB的中点，∴OP = r， ∵O的直径AB垂直弦CD于点P ， ∴DP = CD = 3 ( 垂径定理 )， 在Rt△ODP中，OD2 = OP2 + DP2， ∴r2 = ( r )2 + 32，解得：r = 2。 2 方法技巧 解题关键： 在Rt△ODP中，用勾股定理。 新知探究 思 考 1. 若已知：AB是O的直径，CD是O的弦，AB平分CD交CD于点P，能否推出：AB⊥CD， = ， = ？ 解：如图，连接OC、OD， 在△OPC和△OPD中，， ∴△OPC△OPD ( SSS )， ∴∠APC = ∠APD，即AB⊥CD， ∴ = ， = ( 垂径定理 )。 O C D A B P 新知探究 垂径定理的推论1： 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。 符号语言 ( 知二推三 )： AB过圆心 ( AB为O的直径 )，PC = PD ⇒AB⊥CD， = ， = 。 知识要点 O C D A B P 新知探究 辨 析 “平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话正确吗？ 知识要点 O C D A B P 解：不正确， 如图，AB平分CD， 但AB与CD不垂直，与 不相等，与不相等。 新知探究 思 考 2. 若已知：AB、CD是O的弦，AB垂直平分CD交CD于点P， 能否推出：AB过圆心， = ， = ？ 解：如图，连接OC、OD， ∵OC = OD， ∴O在CD的垂直平分线上，即O在AB上， ∴AB过圆心 ( AB为O的直径 )， ∴ = ， = ( 垂径定理或推论1 )。 O C D A B P 新知探究 垂径定理的推论2： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言 ( 知二推三 )： AB⊥CD，PC = PD ⇒AB过圆心 ( AB为O的直径 )， = ， = 。 知识要点 O C D A B P 新知探究 思 考 3. ( 1 ) 若已知：AB是O的直径， = ，连接CD交于AB点P，能否推出：AB⊥CD，PC = PD， = ？ 解：如图，连接OC、OD、BC、BD， ∵AB是O的直径， = ， ∴BC = BD， - = - ，即 = ， 又∵OC = OD， ∴AB垂直平分CD， ∴AB⊥CD，PC = PD。 O C D A B P 新知探究 思 考 3. ( 2 ) 若已知：AB是O的直径， = ，连接CD交于AB点P，能否推出：AB⊥CD，PC = PD， = ？ 解：连接OC、OD、BC、BD， ∵AB是O的直径， = ， ∴ - = - ，即 = ， ∴BC = BD， 又∵OC = OD， ∴AB垂直平分CD， ∴AB⊥CD，PC = PD。 O C D A B P 新知探究 垂径定理的推论3： 平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 符号语言 ( 知二推三 )： ( 1 ) AB过圆心(AB为O的直径)， = ， ⇒AB⊥CD，PC = PD， = ； ( 2 ) AB过圆心 ( AB为O的直径 )， = ， ⇒AB⊥CD，PC = PD， = 。 知识要点 O C D A B P 新知探究 知识要点 文字语言 符号语言 ①AB过圆心(AB为O的直径)，②AB⊥CD，③PC=PD，④=，⑤=（知二推三） 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 ①②⇒③④⑤ 推论1 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ①③⇒②④⑤ 推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ②③⇒①④⑤ 推论3 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ①④⇒②③⑤ 或①⑤⇒②③④ O C D A B P 典例分析 典例3 如图，OA，OB，OC都是O的半径， AC，OB交于点D．若AD = CD = 8，OD = 6， 则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：∵OB是O的半径，AD = CD = 8， ∴OB⊥AC ( 推论1 )， 在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2 = 82 + 62 = 100， ∴OA = 10，∴OB = 10， ∴BD = 10 - 6 = 4。 O A C D B B 方法技巧 解题关键： 牢记垂径定理的推论。 题型探究 根据垂径定理进行证明 题型一 【例1】AB、CD是O的两条弦，AB∥CD。与相等吗？为什么？ O D B C A 解：相等，理由如下： 如图，作OQ⊥AB交O于点Q， ∵OQ⊥AB， ∴ = ( 垂径定理 )， 又∵AB∥CD， ∴OQ⊥CD， ∴= ( 垂径定理 )， ∴ - = - ，即 = 。 Q 题型探究 根据垂径定理求线段长 题型二 【例2】如图，点C是O的弦AB上一点。若AC = 6，BC = 2， AB的弦心距为3，则OC的长为_________。 解：如图，作OD⊥AB，垂足为D， 由题意可知：OD = 3， ∵OD⊥AB， ∴BD = AB = ( AC + BC ) = 4 ( 垂径定理 )， ∴CD = BD - BC = 2， 在Rt△OCD中，OC2 = CD2 + OD2 = 22 + 32 = 13， ∴OC = 。 D 题型探究 根据垂径定理求线段长 题型二 【例3】如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E， 若CD = 6，AB = 10，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图，连接OC， ∵AB是O的直径，AB=10，∴OC = 5， ∵CD⊥AB ，∴CE = CD = 3 ( 垂径定理 )， 在Rt△OCE中，OC2 = CE2 + OE2， ∴52 = 32 + OE2，解得：OE = 4， ∴AE = OA - OE = 5 - 4 = 1。 A 题型探究 根据垂径定理求线段长 题型二 【例4】如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB 于E， 若CD = 4，BE = 2，则AB的长是_________。 解：如图，连接OC，设O的半径为r， ∵BE = 2，∴OE = r - 2， ∵AB是O的直径，CD⊥AB ， ∴CE = CD = 2 ( 垂径定理 )， 在Rt△OEC中，OC2 = OE2 + CE2， ∴r2 = ( r - 2 )2 + ( 2 )2，解得：r = 6， ∴AB = 2r = 12。 12 题型探究 【例5】如图，M是CD的中点，EM⊥CD， 若CD = 4，EM = 6，则弧CED所在圆的半径为_________。 根据垂径定理的推论求线段长 题型三 解：设弧CED所在圆的半径为r， ∵M是CD的中点，EM⊥CD， ∴EM过圆心O，CM = CD = 2（推论2）， 如图，连接OC， ∵EM = 6，∴OM = 6 - r， 在Rt△OCM中，OC2 = CM2 + OM2， ∴r2 =22 + ( 6 - r )2，解得：r = 。 课堂小结 感谢聆听! $$