2.3 确定圆的条件（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.3 确定圆的条件 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 探究确定圆的条件，理解不在同一条直线上的三点确定一个圆的充分性 理解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，能够熟练地作出一个三角形的外接圆 知识回顾 1. 确定一个圆的要素是什么？ ① 圆心，圆心确定其位置； ② 半径，半径确定其大小。 O P r 知识回顾 2. ( 1 ) 过一点可以作几条直线？ 无数条 知识回顾 2. ( 2 ) 过两点可以作几条直线？ 有且只有一条【两点确定一条直线】 点可以作为确定直线的条件，是否也可以作为确定圆的条件呢？ 新知探究 思 考 1. 过一点可以作多少个圆？圆心在哪儿？半径多大？ 【结论】过一点可以作无数个圆，圆心和半径要无法判断。 O O O O O A 新知探究 思 考 2. 过两点可以作多少个圆？圆心在哪儿？半径多大？ O A B O A B O A B 【结论】过两点可以作无数个圆， 圆心在线段AB的垂直平分线上， 半径是圆心和A点的连线段。 新知探究 思 考 3. 过三点可以作多少个圆？圆心在哪儿？半径多大？ 解：设三点分别为A、B、C，且假设过这三点可以作圆， 那么圆心应在AB的垂直平分线l1上，又在BC的垂直平分线l2上。 l1与l2可能平行，也可能相交，需分类讨论： 新知探究 思 考 3. ( 1 ) 若A、B、C三点共线； A B C l1 l2 【结论】过在同一条直线上的三点不能作圆。 如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相互平行， 它们没有交点，故假设不成立，不能作出过A、B、C三点的圆。 新知探究 思 考 3. ( 2 ) 若A、B、C三点不共线。 如图，l1与l2相交于点O，即圆心； l1 l2 O ∵OA = OB = OC， ∴连接OA ( 或OB、OC )，即半径； ∴以点O为圆心，OA为半径的圆经过A、B、C三点。 A B C 新知探究 思 考 3. ( 2 ) 若A、B、C三点不共线。 又∵l1与l2相交，只有一个交点， ∴经过A、B、C三点的圆有且只有1个。 【结论】 不在同一条直线上的三点确定一个圆， 圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点， 半径是圆心和A、B、C这三点中一点的连线段。 l1 l2 O A B C 新知探究 确定圆的条件： 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 知识要点 l1 l2 O A B C 典例分析 典例1 下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 C 典例分析 典例2 已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上。 a B A 解：如图，连接AB， 作线段AB的垂直平分线交直线a于点O， 连接OA， 过点O，以OA为半径作圆。 方法技巧 解题关键： 作垂直平分线，连半径。 O 新知探究 思 考 1. 将不在同一条直线上的三点分别连接，你发现了什么？ 解：不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形。 A B C O A B C 新知探究 思 考 2. 将过这三点确定的圆和三角形放在一个图形里，你发现了什么？ 解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，即三角形的三个顶点确定一个圆。 新知探究 知识要点 三角形的外接圆与外心： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心。 这个三角形叫做圆的内接三角形。 O A B C eg：如图，O是△ABC的外接圆， △ABC是O的内接三角形。 新知探究 作 图 1. 已知△ABC，怎样用直尺和圆规确定三角形的外心？ 解：分别作AB、BC的垂直平分线l1、l2，l1与l2的交点为O。 l1 l2 A B C O 新知探究 作 图 2. 在上述基础上，如何作三角形的外接圆？ 解：连接OA，以点O为圆心，OA为半径作圆，O就是所求作的圆。 l1 l2 O A B C 新知探究 知识要点 尺规作图——三角形的外接圆 1. 定圆心 分别作三角形任意两边的垂直平分线，两条线的交点为圆心 2. 定半径 连接圆心和三角形的任意一个顶点，连线段为半径 3. 画圆 以圆心、半径画圆 新知探究 知识要点 三角形的外心的性质： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。 注意：外心到三角形三个顶点的距离相等， 不是到三角形三边的距离相等。 l1 l2 O A B C 三角形的外心 定义 三角形外接圆的圆心 作图 三角形三边垂直平分线的交点 性质 到三角形三个顶点的距离相等 新知探究 探 究 知识要点 1. 锐角、直角、钝角三角形的外心的位置各有何特点？ 锐角三角形的外心在三角形内； A B C O A B C O 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点， 此时，外接圆的半径为直角三角形斜边长的一半； 新知探究 探 究 知识要点 1. 锐角、直角、钝角三角形的外心的位置各有何特点？ A B C O 钝角三角形的外心在三角形外。 三角形的外心的位置 锐角三角形 三角形内 直角三角形 直角三角形斜边中点 锐角三角形 三角形外 新知探究 探 究 知识要点 2. 探究三角形的外接圆与圆的内接三角形的个数。 ( 1 ) 一个三角形的外接圆有几个？ 解：∵不在同一条直线上的三点确定一个圆， ∴一个三角形的外接圆有且只有1个。 新知探究 探 究 知识要点 2. 探究三角形的外接圆与圆的内接三角形的个数。 ( 2 ) 一个圆的内接三角形有几个？ 解：如图， ∵连接圆上任意三点即可以确定一个三角形， ∴一个圆的内接三角形有无数个。 三角形的外接圆与圆的内接三角形的有关结论： 一个三角形的外接圆有且只有1个，一个圆的内接三角形有无数个。 典例分析 典例3 下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 解：A．不共线的三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦 D 典例分析 典例4 下列说法： ①任意一个圆有且仅有一个内接三角形； ②任意一个三角形有且仅有一个外接圆； ③长度相等的两条弧是等弧； ④直径是圆中最长的弦， 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ D 解：①任意一个圆有无数个内接三角形； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧。 题型探究 确定圆的条件——圆的个数问题 题型一 【例1】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外， 则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 D 题型探究 确定圆的条件——求圆心坐标 题型二 【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为________。 ( 2，1 ) 解：由图可知： 点A的坐标是( 0，2 )， 点B的坐标是( 1，3 )， 点C的坐标是( 3，3 )， 如图，连接AB， 作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于点Q， 则Q是圆弧的圆心，坐标为( 2，1 )。 N M E F Q 题型探究 【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为( 0，3 )，点B为( 2，1 )，点C为( 2，-3 )，则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是________。 ( -2，-1 ) 解：∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴如图，作线段AB和BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q， 则Q是△ABC的外心，坐标为( -2，-1 )。 E F M N Q 求三角形的外心坐标 题型三 题型探究 【例4】在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，AB = 4， 则△ABC外接圆的半径R = ________。 求三角形的外接圆的半径 题型四 2 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 4， ∴△ABC的外接圆的半径R = 斜边长的一半 = × 4 = 2。 题型探究 【例5】公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 三角形的外心的性质的应用 题型五 D 课堂小结 确定圆的条件： 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 三角形的外接圆与外心： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心。 这个三角形叫做圆的内接三角形。 三角形的外心 定义 三角形外接圆的圆心 作图 三角形三边垂直平分线的交点 性质 到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心的位置 锐角三角形 三角形内 直角三角形 直角三角形斜边中点 锐角三角形 三角形外 三角形的外接圆与圆的内接三角形的有关结论： 一个三角形的外接圆有且只有1个，一个圆的内接三角形有无数个。 感谢聆听! $$