2.2.2 圆的对称性-垂径定理（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.2.2 圆的对称性 ——垂径定理 第2章对称图形——圆 苏科版 九年级上册 教学目标 01 掌握圆的垂径定理的证明与运用 02 掌握圆的垂径定理的三个推论的证明与运用 垂径定理 01 二、定义 情境引入 请同学们完成以下操作 ，并回答问题： Q1：画O和O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P； O C D A B P 二、定义 Q2：在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？ O C A B P D (D) 由翻折可知：PC=PD，=，=。 01 二、定义 情境引入 Q3：是否还有其他的方法证明：PC=PD，=，=？ 已知：AB是O的直径，CD是O的弦，AB⊥CD，垂直为P。 O C D A B P 解：如图，连接OC、OD， 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ， ∴△OPC△OPD(HL)， ∴PC=PD，∠BOC=∠BOD， ∴=，∠AOC=∠AOD， ∴=。 01 二、定义 情境引入 02 二、定义 知识精讲 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 O C D A B P 符号语言（知二推三）： AB过圆心(AB为O的直径)，AB⊥CD ⇒PC=PD，=，=。 02 二、定义 知识精讲 弦心距 在一个圆中，圆心到弦的垂线段的长度（或圆心到弦的距离），叫做弦心距。 O C D P eg：OP的长度 02 二、定义 知识精讲 小明老师有几个问题想问大家 解：设O的半径为r， ∵CD是O的弦，OP⊥CD于点P， ∴CP=DP=CD（垂径定理）， 在Rt△OPC中，OC2=OP2+CP2， ∴r2=OP2+CD2。 O C D P Q1：已知：OC是O的半径，CD是O的弦，OP⊥CD于点P，问：OC、OP、CD之间的数量关系？ 02 二、定义 知识精讲 O C D P 半径 弦心距 弦长的一半 半径、弦心距、弦长之间的数量关系：半径2=弦心距2+。 02 二、定义 知识精讲 解：设O的半径为r， ∵CD是O的弦，OP⊥CD于点P， ∴CP=DP=CD（垂径定理）， ∵OP=r-BP， 在Rt△OPC中，OC2=OP2+CP2， ∴r2=(r-BP)2+(CD)2。 Q2：已知：OB、OC是O的半径，CD是O的弦，OB⊥CD，垂足为P，问：OC、BP、CD之间的数量关系？ O C D P B 例1、(1)在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。AC与BD相等吗？为什么？ 03 典例精析 O B D A C 解：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P， ∵OP⊥AB， ∴AP=BP，CP=DP（垂径定理）， ∴AP-CP=BP-DP， 即AC=BD. P 例1、(2)AB、CD是O的两条弦，AB∥CD。与相等吗？为什么？ 03 典例精析 O D B C A 解：如图，作OQ⊥AB交O于点Q， ∵OQ⊥AB，∴=（垂径定理）， 又∵AB∥CD， ∴OQ⊥CD，∴=（垂径定理）， ∴-=-，即=. Q 例2、如图，点C是O的弦AB上一点．若AC=6，BC=2，AB的弦心距为3，则OC的长为_________. 03 典例精析 解：如图，作OD⊥AB，垂足为D， 由题意可知：OD=3， ∵OD⊥AB， ∴BD=AB=(AC+BC)=4（垂径定理）， ∴CD=BD-BC=2， 在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2=22+32=13， ∴OC=. D 例3、如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 03 典例精析 解：如图，连接OC， 在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2， ∵AB是O的直径，AB=10，∴OC=5， ∵CD⊥AB ，∴CE=CD=3（垂径定理）， ∴52=32+OE2，解得：OE=4， ∴AE=OA-OE=5-4=1. A 例4、(1)如图，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6，则O的半径长为_________. 03 典例精析 解：如图，连接OD，设O的半径为r， 在Rt△ODP中，OD2=OP2+DP2， ∵P为半径OB的中点，∴OP=r， ∵O的直径AB垂直弦CD于点P ， ∴DP=CD=3（垂径定理）， ∴r2=(r)2+32，解得：r=2. 2 例4、(2)如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD＝4，BE=2，则AB的长是_________. 03 典例精析 解：如图，连接OC，设O的半径为r， 在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2， ∵BE=2，∴OE=r-2， ∵AB是O的直径，CD⊥AB ， ∴CE=CD=2（垂径定理）， ∴r2=(r-2)2+(2)2，解得：r=6，∴AB=2r=12. 12 垂径定理的推论