精品解析：海南省部分学校2024-2025学年高一下学期学业水平诊断（二）数学试题

2024-2025学年高一年级学业水平诊断（二） 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则计算，再由共轭复数的概念得出. 【详解】，则. 故选：D. 2. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】， 则，， 故，又， 则与的夹角. 故选：B. 3. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 800 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样的定义求解． 【详解】容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则抽到的男生有30人， 则该校高三男生人数为． 故选：C． 4. 设为两个不同的平面，则下列条件不能推出的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有一个三角形的三条边均与平行 C. 垂直于同一条直线 D. 平行于同一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】由平面与平面的位置关系判断A；由面面平行的判断定理可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由面面平行的性质可判断D. 【详解】若内有无数条平行直线与平行，则可能平行或相交，故A符合题意； 若内有一个三角形的三条边均与平行，， 又，由面面平行的判断定理可得，故B不符合题意； 若垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得，故C不符合题意； 若平行于同一个平面，由面面平行的性质可得，故D不符合题意， 故选：A. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用两角差的正弦公式计算． 【详解】由得到，即，即， 已知，则， 根据两角差的正弦公式，得． 故选：C． 6. 将下列函数的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换规律及函数奇偶性概念与性质求解判断. 【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故是奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 记，定义域为，则， 故不是奇函数，图象不关于原点对称，故D错误， 故选：B． 7. 如图，在中，是的中点，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减法结合平面向量基本定理计算参数即可. 【详解】在中，是的中点，点满足， 因为， 则，所以. 故选：B. 8. 在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年上半年，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）按升序排列依次为90，120，120，130，160，160，160，180，则这组数据的（ ） A. 众数为160 B. 中位数为145 C. 平均数为145 D. 第30百分位数为120 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据观影人数按升序排列后应用众数，中位数，平均数及百分位数定义计算求解判断各个选项即可. 【详解】影院观影人数按升序排列依次为90，120，120，130，160，160，160，180， 则这组数据的众数为160，A选项正确； 中位数为，B选项正确； 平均数为，C选项错误； 因为，所以第30百分位数为120，D选项正确； 故选：ABD. 10. 设是夹角为的单位向量，向量，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的仿射坐标分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的仿射坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用两个单位向量的夹角，求两个向量的数量积，进而可以求出模长，当两个向量垂直，数量积为列方程即可；当两个向量平行，按数乘关系列方程组即可得到答案. 【详解】对于选项，由题意得，向量的仿射坐标为，，， 又是夹角为的单位向量，，即，， 故选项正确. 对于选项，当时，的仿射坐标为， ，即，则的仿射坐标为， 故选项错误. 对于选项，，，由，得， 又是夹角为的单位向量，即上式可化简为，解得， 故选项正确. 对于选项，，，当时，则存在实数，使得， 即，可得方程组，解得， 故选项正确. 故选：. 11. 已知函数在区间上有最大值，则（ ） A. 的取值范围为 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上恒无零点 【答案】BC 【解析】 【分析】结合角的范围及正弦函数的性质确定的范围，即可判断A；根据角的范围和正弦函数的单调性可判断BC；取特值可判断D. 【详解】对于A，当时，有，且，， ∵函数在区间上有最大值， ∴，∴，故A错误； 对于B，当时，有，而， 则，所以在区间上单调递减，故B正确； 对于C，当时，有，而， 则，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D，取，，则， 故在有零点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式可求出的值，然后利用两角差的正切公式求解. 【详解】已知，且，则， 从而，又， 所以. 故答案为：. 13. 已知圆台的下底面面积是上底面面积的4倍，侧面积是上底面面积的倍，且母线长为，则圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，根据上下底面面积关系求出与的关系，根据侧面积与上底面面积的关系求出的值，进而求出圆台的高及体积． 【详解】设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为， 圆台下底面面积是上底面面积的4倍，可得，所以． 圆台侧面积是上底面面积的倍，则． 将代入得，即， 因为半径，所以，那么． 则圆台的高． 故圆台的体积为， 故答案为：． 14. 在中，内角所对的边分别为，设边上的高为，若为锐角，，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，求出，根据同角三角函数关系式求出，用余弦定理得，借助等面积法，得，两式联立运用基本不等式即可求出． 【详解】由，利用正弦定理得， 又，则， 为锐角，则， 由余弦定理可知， 由等面积法知，即， 则， 当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据实数的概念列方程求解的值； （2）根据纯虚数的概念列式求的值； （3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解． 【小问1详解】 若是实数， 则，解得或. 【小问2详解】 若复数是纯虚数， 则，解得. 【小问3详解】 若在复平面内对应的点位于第四象限，则， 不等式，即，解得或； 不等式，即，解得， 所以，，即的取值范围是. 16. 某市举行青年歌手大赛，为了解本次比赛成绩的情况，从中随机抽取了部分人的成绩（满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图解答问题： 组号 分组 频数 频率 1 4 0.08 2 8 0.16 3 16 0.32 4 14 0.28 5 合计 （1）求的值； （2）补全频率分布直方图； （3）估计这次比赛的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1） （2）   （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，根据内的人数与频率可求得总人数，进而得的值； （2）计算小长方形的高，补全频率分布直方图即可； （3）计算各组中点值乘以频率，再求和可得平均成绩． 【小问1详解】 频率和，则，可得， 因为在内的人数为4，频率为0.08，则总人数为， 则. 【小问2详解】 因为在内的频率为0.16，则对应小长方形的高为； 因为在内的频率为0.16，则对应小长方形的高为， 作出频率分布直方图 【小问3详解】 估计这次比赛的平均成绩为 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，． （1）证明：平面平面； （2）若是棱的中点，且平面，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：∵平面，平面，∴， ∵，∴， 又，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得，又，所以平面，利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （2）取中点，所以，所以(或其补角)为与所成的角．可证得平面平面，由面面平行的性质可得，从而平面，，可求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，． 因为为中点，E为中点， 所以，所以(或其补角)为与所成的角， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 则， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解； （2）根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式求出； （3）根据三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 因为，则， 故． 【小问2详解】 ∵，且, ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴， 由余弦定理得， ∴， 又，∴，则， ∴， 于是的周长． 19. 设为多面体的一个顶点，是多面体上所有与点相邻的顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中所有角均采用弧度制表示．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，． （1）求四棱柱在点和点处的离散曲率之和； （2）若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在点处的离散曲率； （3）若四面体在点处的离散曲率为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件知为菱形，与底面垂直，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （2）可证得平面，设，则即为与平面所成的角．求出，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （3）连接，由，，可知二面角的平面角为．根据四面体在点处的离散曲率为，求得，进而可求出二面角的余弦值． 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以， 又因为与底面垂直，所以， 所以四棱柱在点A和点B处的离散曲率之和为． 【小问2详解】 因为为菱形，所以． 在直四棱柱中，平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． 如图，设，连接，则即为与平面所成的角． 在中，，所以， 在中，，所以， 所以，所以，可得． 所以四棱柱在顶点C处的离散曲率为． 【小问3详解】 连接，在菱形中，，又易知，所以， 所以二面角的平面角为． 在四面体中，， 所以， 所以四面体在点处的离散曲率为， 所以，所以为等边三角形． 所以． 又，所以， 所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一年级学业水平诊断（二） 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 800 4. 设为两个不同的平面，则下列条件不能推出的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有一个三角形的三条边均与平行 C. 垂直于同一条直线 D. 平行于同一个平面 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 将下列函数的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的中点，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年上半年，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）按升序排列依次为90，120，120，130，160，160，160，180，则这组数据的（ ） A. 众数为160 B. 中位数为145 C. 平均数为145 D. 第30百分位数为120 10. 设是夹角为的单位向量，向量，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的仿射坐标分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的仿射坐标为 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数在区间上有最大值，则（ ） A. 的取值范围为 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上恒无零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，若，则__________． 13. 已知圆台的下底面面积是上底面面积的4倍，侧面积是上底面面积的倍，且母线长为，则圆台的体积为__________． 14. 在中，内角所对的边分别为，设边上的高为，若为锐角，，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 某市举行青年歌手大赛，为了解本次比赛成绩的情况，从中随机抽取了部分人的成绩（满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图解答问题： 组号 分组 频数 频率 1 4 0.08 2 8 0.16 3 16 0.32 4 14 0.28 5 合计 （1）求的值； （2）补全频率分布直方图； （3）估计这次比赛的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 17. 如图，在四棱锥中，平面，． （1）证明：平面平面； （2）若是棱的中点，且平面，求异面直线与所成角的余弦值． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长． 19. 设为多面体的一个顶点，是多面体上所有与点相邻的顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中所有角均采用弧度制表示．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，． （1）求四棱柱在点和点处的离散曲率之和； （2）若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在点处的离散曲率； （3）若四面体在点处的离散曲率为，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $