精品解析：春贵州省铜仁市万山区2024--2025学年下学期5月月考 八年级数学试卷

春贵州省铜仁市万山区2024--2025学年下学期5月月考八年级数学试卷（湘教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 以长度分别为下列各组数的线段为边，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 3，4，5 C. 7，24，25 D. 6，8，14 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形 是菱形，对角线 ，相交于点 ，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在五边形中， ，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部 到墙角的距离为．若梯子底部 沿水平方向向右滑动至点 ，梯子顶部落在竖直墙体的 处，此时梯子与水平地面的夹角为，点 到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点 ，点 所表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当 时，平行四边形 是菱形 B. 当时，平行四边形 是矩形 C. 当时，平行四边形 是菱形 D. 当 且时，平行四边形 是正方形 8. 如图，点 是正方形 的边上一点，把 绕点 顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 9. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 10. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 11. 如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ） A. 平分 B. C. 是等边三角形 D. 12. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线交于点 ．若，，则等于（    ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 如图，已知菱形 中，对角线与交于点 ，，，则该菱形的面积是 _____． 14. 如图，在 中，为线段 的中点，则______． 15. 如图，在矩形纸片 中，，将矩形纸片折叠，使点 与点 重合，则折痕的长为_______． 16. 如图， 中， ， ，，点分别在边上运动，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，四边形 是矩形，点E和点F在边 上，且 ．求证：． 18. 如图，在 中， ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边 上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 19. 如图，在 中，的平分线交 于点D，， ． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若 ，且，求四边形的面积． 20. 如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． （1）在图1中，画一个以 为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； （2）在图2中，画一个以 为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 21. 如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若 的面积等于2，求的面积． 22. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西 方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． （1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形 中，点M在边 上，将矩形纸片 沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与 交于点N． 【猜想】 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片 沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ （矩形的对边平行） ∴ （ ） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【应用】 如图2，继续将矩形纸片 折叠，使 恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若 ，，求的长． 24. 如图所示，在 中，，，，在顶点 处有一点 ，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点 ，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点 停止运动时，点 也随之停止运动． （1）判断 的形状，并说明理由； （2）若两点运动4秒时，求此时 的长； （3）设两点运动时间为 秒，当是一个等腰直角三角形时，求 的值． 25. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当 时，请你求出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 春贵州省铜仁市万山区2024--2025学年下学期5月月考八年级数学试卷（湘教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 以长度分别为下列各组数的线段为边，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 3，4，5 C. 7，24，25 D. 6，8，14 【答案】D 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，不符合题意． B、，故是直角三角形，不符合题意． C、，故是直角三角形，不符合题意． D、，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，四边形 是菱形，对角线，相交于点 ，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质． 结合菱形的性质求得 、后，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解： 菱形 中，，且、互相平分， ，， 中，， 即菱形的边长是． 故选： ． 4. 如图，在五边形中， ，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到． 根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 故选：B． 5. 如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部 到墙角的距离为．若梯子底部 沿水平方向向右滑动至点 ，梯子顶部落在竖直墙体的 处，此时梯子与水平地面的夹角为，点 到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为， 故选：A． 6. 如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点 ，点 所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4， ∴小正方形的面积为2， ∴小正方形的边长为， ∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点 ， ∴点 所表示的数是， 故选：A． 7. 如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当 时，平行四边形 是菱形 B. 当时，平行四边形 是矩形 C. 当时，平行四边形 是菱形 D. 当 且时，平行四边形 是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键． 根据有一个角等于 的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】A．当 时，无法确定平行四边形 是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形 是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形 是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当 且时，平行四边形 是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选A． 8. 如图，点 是正方形 的边上一点，把 绕点 顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，勾股定理；正确利用旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解： 把 顺时针旋转的位置， ， ，四边形的面积等于正方形 的面积等于， ， ， 在中， ， 故选：． 9. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：C． 10. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过P作于H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ） A. 平分 B. C. 是等边三角形 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∴，故选项D正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 平分；故选项A正确； ∵， ∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误； 故选C． 12. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线交于点 ．若，，则等于（    ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 如图，已知菱形 中，对角线与交于点 ，，，则该菱形的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故答案为：． 14. 如图，在 中，为线段 的中点，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，先运用勾股定理求出斜边 的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出 的长． 【详解】解：在 中，，，， 由勾股定理得：， 又∵D为 的中点， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在矩形纸片 中，，将矩形纸片折叠，使点 与点 重合，则折痕的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点 作于点 ，在中运用勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点 作于点 ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 16. 如图， 中， ， ，，点分别在边上运动，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的性质，勾股定理，理解两点之间线段最短，过点作，使，连接， ，证明和全等得，则，根据“两点之间线段最短”得当点 ， ，在同一条直线上时，为最小，最小值为线段 的长，则的最小值为线段 的长，利用勾股定理求出，再证明，然后由勾股定理求出 即可得出答案．熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 【详解】解：过点作，使，连接， ，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点 ， ，在同一条直线上时，为最小，最小值为线段 的长， 的最小值为线段 的长， 中， ， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 由勾股定理得：， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，四边形 是矩形，点E和点F在边 上，且 ．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是矩形， ∴，， ∵ ， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】略 18. 如图，在 中， ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边 上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）作线段 的垂直平分线交 于点P，点P即为所求； （2）证明，再根据，求出即可． 【小问1详解】 解：如图，线段 的垂直平分线交 于点P， ∴点P到点B、点C的距离相等， ∴点P即为所求； 【小问2详解】 解：由作图可知， ∴， ∵点P到直线 、的距离也相等， ∴平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：30． 19. 如图，在 中，的平分线交 于点D，， ． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若 ，且，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是菱形，理由是： ， ， 四边形是平行四边形. 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）242 【解析】 【分析】对于（1），先根据定义说明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，即可得出，进而得出答案； 对于（2），先说明四边形是正方形，再求出 ，进而求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 四边形是正方形， ∴. ， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 20. 如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． （1）在图1中，画一个以 为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； （2）在图2中，画一个以 为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画出腰长为的等腰三角形即满足题意； （2）画出直角边长为和的直角三角形即可，直角三角形面积为． 【小问1详解】 解： 如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图所示： ． 21. 如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若 的面积等于2，求的面积． 【答案】（1） 证明： 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 22. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西 方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． （1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】（1）5小时 （2） 这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作 交 于D， 在 上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在 上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 【小问1详解】 解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西 方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； 【小问2详解】 略 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形 中，点M在边 上，将矩形纸片 沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与 交于点N． 【猜想】 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片 沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ （矩形的对边平行） ∴ （ ） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【应用】 如图2，继续将矩形纸片 折叠，使 恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若 ，，求的长． 【答案】【验证】；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； 【应用】（1）， 理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ （矩形的对边平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴ ∴（等角对等边） ∵ ∴ 即； （2）5 【解析】 【验证】（1）由折叠得，由平行线性质，得，于是 ，进而可得证， 即； （2）由折叠得，，．在中，根据勾股定理，构建方程求解得，得. 【详解】解：【验证】 ∵矩形纸片 沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ （矩形的对边平行） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） ∴（等角对等边 ） 【应用】（1）略 （2）∵矩形 沿所在直线折叠 ∴，，． 设 ∴ 在中， ∴（勾股定理） ∴ 解得 ∴. 【点睛】本题考查轴对称折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等角对等边；根据折叠的性质得到线段相等、角相等是解题的关键． 24. 如图所示，在 中，，，，在顶点 处有一点 ，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点 ，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点 停止运动时，点 也随之停止运动． （1）判断 的形状，并说明理由； （2）若两点运动4秒时，求此时 的长； （3）设两点运动时间为 秒，当是一个等腰直角三角形时，求 的值． 【答案】（1） 是直角三角形，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质． （1）根据勾股定理的逆定理，解答即可得； （2）当两点运动 秒时，求得和的长度，再根据勾股定理解答即可得； （3）当是一个等腰直角三角形时，，设两点运动时间为 秒时，求得的长度，当点 从点向点 运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得；当点 从点 向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得． 【小问1详解】 解： 是直角三角形，理由如下： 在 中，，， ∴ ∴ ∴ 是直角三角形， 【小问2详解】 当两点运动4秒时，，， ∴， 在中，根据勾股定理， ， 【小问3详解】 当是一个等腰直角三角形时，， 设两点运动时间为t秒时，，则， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， 解得， 当点Q从点B向点C运动时，， ∴ 解得， 即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或． 25. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当 时，请你求出周长的最小值． 【答案】（1） 解：AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°； 【小问3详解】 解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG＝， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $