专题11.3 乘法公式与整式的除法（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题11.3 乘法公式与整式的除法 1.平方差公式和完全平方公式的推导与理解（重点） 2.运用乘法公式进行准确计算（重点） 3.整式除法法则的理解与掌握（重点） 4.运用法则进行准确运算（重点） 5.准确把握乘法公式的结构特征，避免公式的混淆和误用（难点） 6.综合运用乘法公式进行复杂的整式运算（难点） 7.多项式除以单项式时避免漏项和符号错误（难点） 两数和乘以这两数差 1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。 用字母表示为 ． 2.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 增项变化 连用公式 1.公式的特征:等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数:等号右边是乘式中两项的平方差 2.字母的意义:平方差公式中的既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。 两数和(差)的平方 1．两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍．用字母表示为 ． 2.两数和(差)的平方公式的几种常见变形 1.公式的特征:公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和和这两项的乘积的2 倍 2.字母的意义:公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式， 单项式除以单项式 1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式 2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除 2.单项式除以单项式的结果还是单项式, 3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果 多项式除以单项式 1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 用字母表示为 ． 2．多项式除以单项式的一般步骤 （1）用多项式的每一项除以单项式； （2）把每一项除得的商相加． 1.商的项数与多项式的项数相同, 2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号, 题型一、运用平方差公式进行运算 例1（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用．原式利用平方差公式求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 1-1（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式．根据平方差公式、完全平方公式的进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 1-2（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 1-3（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式展开，再合并同类项化简，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1-4（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式：，根据平方差公式即可判断． 【详解】解：A.，故A能用平方差公式，不符合题意； B. ，故B能用平方差公式，不符合题意； C. ，故C能用平方差公式，不符合题意； D. ，故D不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 题型二、平方差公式与几何图形 例2（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键． 分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解． 【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积， 右边图形中，阴影部分的面积， ∵两个图形中的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 2-1（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知长方形的面积为，周长为，分别以边、向外作正方形、，则正方形F和正方形的面积之和为 ，面积之差为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键． 设，，根据题意列出方程，，利用完全平方公式即可求出，的值． 【详解】解：设，，依题意得：，， ∴ ∴正方形F和正方形的的面积之和为； ∴， ∵，即， ∴ 正方形和的面积之差为， 故答案为：；． 2-2（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，也可以看作两个梯形的面积和，梯形的上底是b，下底是a，高为，因此阴影部分的面积为，所以有； 故选：A 2-3（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解； 【详解】解析：大正方形与小正方形的面积之差是， ， ∵，， 由图可得： ． 故答案为： 题型三、运用完全平方公式进行运算 例3（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式展开代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 3-1（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，观察可知，所求式子的前三项刚好是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3-2（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式．根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3-3（24-25八年级上·福建龙岩·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：4 3-4（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的乘除运算及乘法公式的运用， （1）先算乘方，再根据单项式的乘除运算法则即可求解； （2）根据乘法公式及多项式乘以多项式法则、单项式乘以多项式计算后再合并即可求解； 【详解】（1）解： （2） 题型四、通过对完全平方公式变形求值 例4（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，且，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据得，结合，得，于是得到，求平方根解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，平方根，熟练掌握公式，平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4-1（24-25八年级上·广东茂名·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，再求出的值，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为： ， 故答案为：． 4-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，，则 ．（请用“>”“<”或“=”表示） 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小． 先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入上式， 可得， ，即． 故答案为：． 4-3（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知，则的值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值．设，，则，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：设，，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13． 4-4（24-25八年级上·福建泉州·期中）若，求（1） ；（2） ． 【答案】 5 527 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先判断x≠0，然后方程两边都除以x即可得解； （2）根据完全平方公式得出，再次根据完全平方公式得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， 故答案为：5； （2）由（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：527. 题型五、完全平方公式在几何图形中的应用 例5（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设原来正方形的边长为，则变化后的正方形的边长为，由题意解即可． 【详解】解：设原来正方形的边长为，则变化后的正方形的边长为， ， 解得， 故答案为：． 5-1（24-25八年级上·河南南阳·期末）有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 5-2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是利用割补法求图形而积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：B． 5-3（2024八年级上·湖北·专题练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与完全平方公式；由题意知，大正方形面积减去小正方形面积即为长方形的面积． 【详解】解： ； 故选：C． 5-4（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 题型六、求完全平方式中的字母系数 例6（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 6-1（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键． 将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比即可解答． 【详解】解：∵多项式“”进行因式分解的结果为， ∴“”中的数是2． 故选C． 6-2（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征是解答的关键．根据完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七、计算单项式除以单项式 例7（24-25八年级上·甘肃天水·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的除法． 直接根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7-1（24-25八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项错误； D．，故该选项正确； 故选：D． 7-2（24-25八年级上·吉林·期中）若 则□内应填的是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 7-3（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 7-4（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的乘法的运算法则可判断A选项；利用幂的乘方的运算法则可判断B选项；利用单项式除以单项式的运算法则可判断C选项；利用单项式的除法的运算法则可判断D选项． 【详解】解：对于A选项，，故原选项不符合题意； 对于B选项，，故原选项不符合题意； 对于C选项，，故C选项符合题意； 对于D选项，，故D选项不符合题意． 故选：C． 7-5（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知其运算法则．根据整式的除法运算即可求解． 【详解】 故答案为：． 题型八、多项式除以单项式 例8（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知长方形的面积是，一边长是，则它的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，整式的加法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．已知长方形的面积和一边长，先求出另一边长，再利用周长公式计算，据此进行作答即可． 【详解】解：∵长方形的面积是，一边长是， 则另一边长为， ∴， 故选：D． 8-1（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 8-2（24-25八年级上·重庆万州·期末）若一个多项式与单项式的积是，则这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式与单项式的积是，，把等式的两边同时除以可得多项式． 【详解】解：多项式与单项式的积是， ， ， ． 故答案为： ． 8-3（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】此题考查整式的除法，原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 8-4（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型九、整式四则混合运算 例9（24-25八年级上·福建厦门·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 9-1（24-25八年级上·河南商丘·期末）为加强乡村文化建设，某村建了一间地基为长方形的“乡村文化小屋”．已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的运算，先由长方形面积求出长方形的宽，再根据长方形周长的计算公式列式求解即可． 【详解】解：∵长方形的面积为，长为， ∴长方形的宽为， ∴长方形周长， 故答案为：． 9-2计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则、多项式除以多项式运算法则进行运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 9-3（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏．请根据图中所给的信息求出淇淇所猜中的数字是多少． ‍ 【答案】3 【分析】本题属于整式混合运算的无关型题目，根据题意列出整式计算即可得出结果． 【详解】解：设嘉嘉抽中的牌的点数为， 则 ∴淇淇所猜中的数字是3． 例 计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的除法，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，据此求解即可． 【详解】解： ． 1．已知实数a，b满足，则的值是（   ） A．65 B．105 C．115 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先将已知条件变形为，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入要求的代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， 故选：A． 2．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______． （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．（　　） A．和6 B．和5 C．和4 D．和3 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解． （1）分别求两个正方形面积再求它们的和； （2）根据完全平方式结构构造完全平方式即可． 【详解】解：（1）∵甲纸片的面积是，乙纸片的面积是， ∴甲、乙纸片各1块的面积之和是； （2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式， ∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块． 故选：A． 3．学校要举行80周年校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．某学生提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建舞台（阴影部分），花坛和舞台构成长方形，舞台的面积记为．具体数据如图所示．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式，平方差公式计算法则，根据图形分别求出阴影部分的面积，由此得到答案． 【详解】解：方案一：如图1，， 方案二：如图2， ∴，则， 故选：C． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数得乘除法，根据积的乘方，幂的乘方，同底数得乘除法进行计算，然后合并同类项即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 5．计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 6．将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【详解】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 7．已知，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，先将变形为，再将作为一个整体，利用完全平方公式将变形后的式子展开即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：16； 8．若，，则 ． 【答案】 【分析】首先把等式的等号两边分别平方，即得，然后根据题意即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 9．已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 10．已知A是多项式，若，则A= ． 【答案】 【分析】将x2y2﹣2x2y﹣3xy2利用提公因式法进行因式分解，再除以2xy即得A． 【详解】解：∵x2y2﹣2x2y﹣3xy2， ＝xy（xy﹣2x﹣3y）， ∴A＝xy（xy﹣2x﹣3y）÷2xy， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，关键在于学生要运用它的逆运算转化为多项式除以单项式． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用平方差公式计算即可得解； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查了解分式方程和整式的化简求值，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是关键． （1）利用乘法公式计算括号内的部分，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可； （2）去分母化为整式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：（1）原式 . 当，时， 原式 ； （2）方程可化为，. 方程两边乘，得. 化简，得 解得. 检验：当时，. 所以，原分式方程的解为. 13．某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草． (1)活动场所和花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1)活动场所面积是，花草的面积 (2)倍 【分析】本题考查整式的混合运算，列代数式， （1）根据题意表示出活动场所和花草的面积即可； （2）根据题意列出关系式，利用多项式除以单项式法则计算即可； 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：活动场所面积：， 花草的面积： ， ， ∴活动场所面积是，花草的面积是； （2） ， ∴整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的倍． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.3 乘法公式与整式的除法 1.平方差公式和完全平方公式的推导与理解（重点） 2.运用乘法公式进行准确计算（重点） 3.整式除法法则的理解与掌握（重点） 4.运用法则进行准确运算（重点） 5.准确把握乘法公式的结构特征，避免公式的混淆和误用（难点） 6.综合运用乘法公式进行复杂的整式运算（难点） 7.多项式除以单项式时避免漏项和符号错误（难点） 两数和乘以这两数差 1．平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。 用字母表示为 ． 2.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 增项变化 连用公式 1.公式的特征:等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数:等号右边是乘式中两项的平方差 2.字母的意义:平方差公式中的既可代表一个单项式，也可代表一个多项式。 两数和(差)的平方 1．两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍．用字母表示为 ． 2.两数和(差)的平方公式的几种常见变形 1.公式的特征:公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和和这两项的乘积的2 倍 2.字母的意义:公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式， 单项式除以单项式 1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式 2.单项式除以单项式的一般步骤(1)把系数相除，所得结果作为商的系数，(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除 2.单项式除以单项式的结果还是单项式, 3.根据乘除互逆的原则，可用单项式乘法来验证结果 多项式除以单项式 1．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 用字母表示为 ． 2．多项式除以单项式的一般步骤 （1）用多项式的每一项除以单项式； （2）把每一项除得的商相加． 1.商的项数与多项式的项数相同, 2.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号, 题型一、运用平方差公式进行运算 例1（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 1-1（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，那么的值为 ． 1-2（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 1-3（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 1-4（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 题型二、平方差公式与几何图形 例2（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知长方形的面积为，周长为，分别以边、向外作正方形、，则正方形F和正方形的面积之和为 ，面积之差为 ． 2-2（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 2-3（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是 ．    题型三、运用完全平方公式进行运算 例3（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3-1（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ． 3-2（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3-3（24-25八年级上·福建龙岩·期末）计算： ． 3-4（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）计算． (1) (2) 题型四、通过对完全平方公式变形求值 例4（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，且，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 4-1（24-25八年级上·广东茂名·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为 ． 4-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，，则 ．（请用“>”“<”或“=”表示） 4-3（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知，则的值是 ． 4-4（24-25八年级上·福建泉州·期中）若，求（1） ；（2） ． 题型五、完全平方公式在几何图形中的应用 例5（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为 ． 5-1（24-25八年级上·河南南阳·期末）有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为 ． 5-2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是利用割补法求图形而积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 5-3（2024八年级上·湖北·专题练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 5-4（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 题型六、求完全平方式中的字母系数 例6（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知多项式是一个完全平方式，则 ． 6-1（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　） A． B．1 C．2 D． 6-2（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若是完全平方式，则 ． 题型七、计算单项式除以单项式 例7（24-25八年级上·甘肃天水·期中）计算： ． 7-1（24-25八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7-2（24-25八年级上·吉林·期中）若 则□内应填的是 ． 7-3（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 7-4（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7-5（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ． 题型八、多项式除以单项式 例8（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知长方形的面积是，一边长是，则它的周长是（    ） A． B． C． D． 8-1（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 8-2（24-25八年级上·重庆万州·期末）若一个多项式与单项式的积是，则这个多项式是 ． 8-3（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ． 8-4（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 题型九、整式四则混合运算 例9（24-25八年级上·福建厦门·期末）对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 9-1（24-25八年级上·河南商丘·期末）为加强乡村文化建设，某村建了一间地基为长方形的“乡村文化小屋”．已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为 ． 9-2计算： 9-3（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏．请根据图中所给的信息求出淇淇所猜中的数字是多少． ‍ 例 计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的除法，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，据此求解即可． 【详解】解： ． 1．已知实数a，b满足，则的值是（   ） A．65 B．105 C．115 D．2025 2．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______． （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．（　　） A．和6 B．和5 C．和4 D．和3 3．学校要举行80周年校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．某学生提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建舞台（阴影部分），花坛和舞台构成长方形，舞台的面积记为．具体数据如图所示．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 6．将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 7．已知，则的值是 ． 8．若，，则 ． 9．已知 ，则 的值为 ． 10．已知A是多项式，若，则A= ． 11．计算： (1)； (2)． 12．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）解方程：． 13．某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草． (1)活动场所和花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$