专题11.1 幂的运算（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题11.1 幂的运算 1.幂的运算法则的理解与掌握（重点） 2.运用法则进行准确计算（重点） 3.法则的灵活运用与区别（难点） 4.零指数幂和负整数指数幂的理解与应用（难点） 5.含有多个运算的混合运算（难点） 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为 （ $m, n$ 为正整数）。 2．法则的拓展运用 （1）同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即： 为正整数）。 （2）同底数幂的乘法法则既可正用也可逆用，即： 为正整数)． 1.运用此法则有两人关键条件:一是底数相同二是指数相加，两者缺一不可 2.指数相加的和作为幂的指数，!即运算结果仍然是幂的形式 3.单个字母或数字可以看成指数为1的幂，运算时易漏掉 幂的乘方 1．幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为 都是正整数）． 2．法则的拓展运用 （1）幂的乘方法则的推广： 都是正整数）； （2）幂的乘方法则可以逆用，逆用时 都是正整数）． 1.“底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘是指幂的指数m与乘方的指数n 相乘 2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 积的乘方 1．积的乘方法则 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 用字母表示为 （ 为正整数）． 2．法则的拓展运用 （1）积的乘方法则的推广：（ 为正整数）； （2）积的乘方法则可以逆用，逆用时 （ 为正整数） 1．在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项． 2．积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即 ． 当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用 （ 为正整数）可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便。 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为 都是正整数，并且 ）． 2．法则的拓展运用 （1）法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 都是正整数，并且 ）； （2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时 都是正整数，并且 ）． 1.运用此法则要注意两点: 一是底数相同，二是指数相减 2.底数 可以是单项式，也可以是多项式，但底数 不能为0. 题型一、同底数幂相乘 例1（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 1-1（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 1-2（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的除法公式即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算的四个公式：同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握公式解决本题的关键． 1-3（23-24八年级上·福建厦门·期中）若，则 ；当时，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂相除的逆运算可得；根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则可得，再代入已知条件即可求解． 【详解】由，可得， 由，可得， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考场整式的乘除运算，熟练掌握相应的运算法则和逆运算是解题的关键． 1-4（23-24八年级上·福建厦门·期中）可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式的运算逐一计算即可． 【详解】A..故符合题意； B.不能合并同类项.故不符合题意； C..故不符合题意； D..故不符合题意. 故选：A． 【点睛】本题主要考查整式的运算.掌握整式的运算法则是解题的关键． 题型二、同底数幂乘法的逆用 例2（23-24八年级上·广东东莞·期中）已知：，，则 ． 【答案】400 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：400 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算是解题的关键． 2-1（23-24八年级上·广东东莞·期中），，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解本题的关键．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2-2（23-24八年级上·四川绵阳·期中）已知，则 ． 【答案】40 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用计算即可． 【详解】． 故答案为：40． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，代数式求值．掌握同底数幂的乘法的逆用法则是解题关键． 2-3（23-24八年级上·宁夏吴忠·期中）已知，则 【答案】40 【分析】逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：40． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 2-4（23-24八年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法公式以及同底数幂的除法公式，逆用这两个公式将所求代数式转化为条件即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到同底数幂的乘法公式以及同底数幂的除法公式，逆用公式将所给代数式恒等变形为条件是解决问题的关键． 题型三、幂的乘方运算 例3（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3-1（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键； 分别利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方分析即可； 【详解】解：选项A中，无法运算，故选项A错误； 选项B中，，故选项B正确； 选项C中，，故选项C错误； 选项D中，，故选项D错误； 故选：B 3-2（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方的法则． 幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3-3（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，解题的关键是：理解相关定义及运算法则． 【详解】解：， 故选：A． 3-4（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了幂的乘方运算、同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据幂的乘方运算可得，再利用同底数幂相乘的运算法则化简，结合即可解答． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：16． 题型四、幂的乘方的逆用 例4（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，，那么 ． 【答案】20 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算，解题的关键是逆用同底数幂乘法幂的乘方运算运算法则，本题属于基础题型． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算逆运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：20． 4-1（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 4-2（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式． 根据幂的乘方的逆运算变形得到，，进而比较求解即可． 【详解】解：∵，，， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 4-3（24-25八年级上·山东滨州·期末）（1）若，，则可表示为 ； （2）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】 13或 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的除法逆运算，和完全平方式： （1）根据幂的乘方和同底数幂的除法进行计算即可． （2）根据完全平方公式进行分析计算． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴； 故答案为：； （2）解：∵是完全平方式， ∴， ∴或 故答案为：13或． 4-4（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1），，求的值． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法的性质； （1）根据幂的乘方和同底数幂乘法的性质，计算得、，通过列二元一次方程组并求解即可； （2）根据同底数幂乘法的性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， ∴； （2）， ∵，， ∴． 题型五、积的乘方运算 例5（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，运算正确，不符合题意； B. ，运算正确，不符合题意； C. ，运算正确，不符合题意； D. ，原运算错误，符合题意； 故选：D． 5-1（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 5-2（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等基本法则．很具运算法则逐一计算即可得到答案． 【详解】解：选项A： 合并同类项时，系数相加，字母及指数不变． 计算：，故A错误． 选项B： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 计算：，故B正确． 选项C： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 计算：，故C错误． 选项D： 积的乘方，每个因数均需乘方． 计算：，故D错误． 故选：B． 5-3（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算，其中第①步运算的依据是(　　) A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则解答即可． 【详解】解：，其运算的依据是积的乘方运算法则． 故选：C． 5-4（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查积的乘方，整式的混合运算，熟练掌握积的乘方，整式的混合运算是解题的关键． （1）先计算单项式乘多项式，积的乘方，最后合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型六、积的乘方的逆用 例6（24-25八年级上·甘肃天水·期中）计算： ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：25． 6-1（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 6-2（24-25八年级上·江西宜春·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查积的乘方的逆用．逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2． 6-3（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，积的乘方的逆运算，代数式求值，利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质及积的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 6-4（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）计算：= ． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的乘方公式，零指数幂的法则．根据有理数的乘方公式，零指数幂的法则，进行计算即可解答． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：2 题型七、同底数幂的除法运算 例7（24-25八年级上·江西宜春·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方．根据同底数幂的乘法法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，D，根据同底数幂的除法法则可判断选项C． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 7-1（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式．根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 7-2（24-25八年级上·广东中山·期末）若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（   ） A．× B． C．+ D．- 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的除法．根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴“※”代表的运算符号可以为， 故选：B 7-3（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 7-4（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的相关运算，根据同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型八、同底数幂除法的逆用 例8（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 直接利用同底数幂的除法逆运算法则求解即可． 【详解】解：因为， 所以； 故答案为：8． 8-1（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 把变形为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 8-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算：，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变指数相减的性质的逆用解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8-3（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆运算，根据同底数幂的除法法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 8-4（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则的值为（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，掌握同底数幂除法法则的逆用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 题型九、幂的混合运算 例9（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先计算幂的乘除法，再计算幂加法． （2）按单项式乘以多项式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 9-1（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用积的乘方、幂的乘方分别运算，再合并同类项即可； （）根据整式的乘除运算法则去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9-2（24-25八年级上·新疆和田·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，多项式除以单项式，同底数幂的乘除及积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则； （1）直接根据单项式乘单项式计算即可； （2）括号内的每一项分别与括号外的单项式相除即可． （3）先计算同底数幂的乘法与除法运算，再合并同类项即可． （4）根据相应的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 易错点 同底数幂相乘时，指数错误相加或与其他运算混淆 例 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则逐个计算即可． 【详解】A. ，计算错误，不符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意；     D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的除法和乘法，幂的乘方，合并同类项，熟记相关运算法则是解题的关键． 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，错误， 故A不合题意． ∵，正确， ∴B合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，错误， ∴D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中，故不符合要求； C中，故符合要求； D中，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项是解题的关键． 3．若，，则的值为（   ） A．21 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算等知识点，应用同底数幂的除法法则和幂的乘方的逆运算，进行计算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ∵，， ∴原式， 故选：C． 4．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，根据幂的运算法则逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项A运算错误，不符合题意； B、，故选项B运算错误，不符合题意； C、，故选项C运算错误，不符合题意； D、，故选项D运算正确，符合题意． 故选：D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查的是合并同类项和幂的性质，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，是解决此题的关键． 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，逐一判断即可． 【详解】A、∵， ∴A不正确； B、∵， ∴B不正确； C、∵， ∴C不正确； D、∵， ∴D正确． 故选：D． 6．已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．若，则 ； 【答案】81 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，熟记性质并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用． 将看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81 8．化简： ； ； ； ； ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查了整式的运算，利用整式的混合运算法则以及零指数幂的性质一一计算即可． 【详解】解：； ； ； ； ； ． 故答案为：；；；；1；． 9． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握积的乘方幂的乘方运算法则成为解题的关键． 先根据积的乘方幂的乘方运算法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键． 根据幂的运算即可解答出． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：6． 11．若， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两个非负数的和为零的性质，积的乘方逆用，求代数式的值；根据两个非负数的和为零则它们均为零，可求得a与b的值，把a与b的值代入代数式中即可求得结果． 【详解】∵，，且 ∴， 即， ∴， 当，时， 故答案为：． 12．已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 13．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式、积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式法则计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（1）计算：； （2）计算：； （3）分解因式：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用幂的运算法则和单项式除以单项式法则计算，再合并同类项即可； （2）通分化为同分母分式进行减法即可； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）去分母化为整式方程，解方程并检验即可得到答案 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 两边都乘以得，， 解得 当时，， ∴是分式方程的解． 【点睛】此题考查了整式的混合运算、分式的减法、分解因式、解分式方程等知识，熟练掌握相关运算法则和解题步骤是解题的关键． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 幂的运算 1.幂的运算法则的理解与掌握（重点） 2.运用法则进行准确计算（重点） 3.法则的灵活运用与区别（难点） 4.零指数幂和负整数指数幂的理解与应用（难点） 5.含有多个运算的混合运算（难点） 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为 （ $m, n$ 为正整数）。 2．法则的拓展运用 （1）同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即： 为正整数）。 （2）同底数幂的乘法法则既可正用也可逆用，即： 为正整数)． 1.运用此法则有两人关键条件:一是底数相同二是指数相加，两者缺一不可 2.指数相加的和作为幂的指数，!即运算结果仍然是幂的形式 3.单个字母或数字可以看成指数为1的幂，运算时易漏掉 幂的乘方 1．幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为 都是正整数）． 2．法则的拓展运用 （1）幂的乘方法则的推广： 都是正整数）； （2）幂的乘方法则可以逆用，逆用时 都是正整数）． 1.“底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘是指幂的指数m与乘方的指数n 相乘 2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 积的乘方 1．积的乘方法则 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 用字母表示为 （ 为正整数）． 2．法则的拓展运用 （1）积的乘方法则的推广：（ 为正整数）； （2）积的乘方法则可以逆用，逆用时 （ 为正整数） 1．在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项． 2．积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即 ． 当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用 （ 为正整数）可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便。 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为 都是正整数，并且 ）． 2．法则的拓展运用 （1）法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 都是正整数，并且 ）； （2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时 都是正整数，并且 ）． 1.运用此法则要注意两点: 一是底数相同，二是指数相减 2.底数 可以是单项式，也可以是多项式，但底数 不能为0. 题型一、同底数幂相乘 例1（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 1-1（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1-2（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1-3（23-24八年级上·福建厦门·期中）若，则 ；当时，则 ． 1-4（23-24八年级上·福建厦门·期中）可以表示为（　　） A． B． C． D． 题型二、同底数幂乘法的逆用 例2（23-24八年级上·广东东莞·期中）已知：，，则 ． 2-1（23-24八年级上·广东东莞·期中），，则 ． 2-2（23-24八年级上·四川绵阳·期中）已知，则 ． 2-3（23-24八年级上·宁夏吴忠·期中）已知，则 2-4（23-24八年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 题型三、幂的乘方运算 例3（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3-1（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3-2（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3-3（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3-4（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如果，那么的值为 ． 题型四、幂的乘方的逆用 例4（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，，那么 ． 4-1（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）． 4-2（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，，则，，的大小关系是 ． 4-3（24-25八年级上·山东滨州·期末）（1）若，，则可表示为 ； （2）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 4-4（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1），，求的值． （2）若，，求的值． 题型五、积的乘方运算 例5（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 5-1（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5-2（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5-3（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算，其中第①步运算的依据是(　　) A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 5-4（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 题型六、积的乘方的逆用 例6（24-25八年级上·甘肃天水·期中）计算： ． 6-1（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） ． 6-2（24-25八年级上·江西宜春·期中）计算： ． 6-3（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 6-4（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）计算：= ． 题型七、同底数幂的除法运算 例7（24-25八年级上·江西宜春·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7-1（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7-2（24-25八年级上·广东中山·期末）若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（   ） A．× B． C．+ D．- 7-3（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ． 7-4（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八、同底数幂除法的逆用 例8（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 8-1（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，则的值为 ． 8-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为 ． 8-3（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，则的值为 ． 8-4（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则的值为（   ） A．8 B．6 C． D． 题型九、幂的混合运算 例9（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 9-1（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： (1) (2) 9-2（24-25八年级上·新疆和田·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 易错点 同底数幂相乘时，指数错误相加或与其他运算混淆 例 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则逐个计算即可． 【详解】A. ，计算错误，不符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意；     D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的除法和乘法，幂的乘方，合并同类项，熟记相关运算法则是解题的关键． 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（   ） A．21 B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 7．若，则 ； 8．化简： ； ； ； ； ； ． 9． ． 10．若，则 ． 11．若， 则 ． 12．已知，，求 (1)； (2)． 13．计算 (1)； (2)． 14．（1）计算：； （2）计算：； （3）分解因式：； （4）解方程：． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$