专题06圆（15题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题09 圆 题型概览 题型01 命题与证明 题型02 垂径定理 题型03 圆周角定理及其推论 题型04 圆内接四边形 题型05 与扇形弧长有关的计算 题型06 与扇形面积有关的计算 题型07 与圆锥有关的计算 题型08 正多边形与圆 题型09 与圆有关的位置关系 题型10 切线长定理 题型11 与切线的性质有关的证明与计算 题型12 与切线的判定有关的证明与计算 题型13 圆与解直角三角形综合 题型14 圆与相似综合 题型15 圆与解三角形、相似综合 01命题与证明 1．（2025·山东东营·二模）下列是真命题的是（    ） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．三角形有且只有一个外接圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．过三点有且只有一个圆 2．（2025·山东潍坊·二模）下列说法正确的是（    ） A．相等的弧所对的圆周角相等 B．两个无理数的和仍为无理数 C．若为线段的中点，则 D．若，，则 3．（2025·山东烟台·二模）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 02垂径定理 4．（2025·山东日照·二模）如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm． 5．（2025·山东菏泽·二模）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·山东济宁·二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A． B． C． D． 7．（2025·山东淄博·二模）如图，⊙O的半径为，点为弦上一点，，点为⊙O上一点，，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 03圆周角定理及其推论 8．（2025·山东威海·二模）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 9．（2025·山东临沂·二模）如图，是的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东聊城·二模）如图，点A、B、C、D在上，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东泰安·二模）如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是 °． 12．（2025·山东潍坊·二模）如图，为的直径，点C，D在上，与交于点，则的度数为 ． 13．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，半径，点C在上，，则的度数为 ． 04圆内接四边形 14．（2025·山东济宁·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 ． 15．（2025·山东东营·二模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 05与扇形弧长有关的计算 16．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点D，E，则的长为 ．（结果保留） 17．（2025·山东泰安·二模）如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为 ． 18．（2025·山东聊城·二模）如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·山东烟台·二模）如图，中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 06与扇形面积有关的计算 20．（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的外接圆，半径为5，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 21．（2025·山东济南·二模）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 22．（2025·山东泰安·二模）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作弧、、．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 23．（2023·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴的正半轴上的处，得到，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·山东日照·二模）如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 07与圆锥有关的计算 25．（2025·山东青岛·二模）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 ． 26．（2025·山东菏泽·二模）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 27．（2025·山东潍坊·二模）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是 ． 28．（025·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 08正多边形与圆 29．（2025·山东青岛·二模）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 30．（2025·山东泰安·二模）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 31．（2025·山东潍坊·二模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 09与圆有关的位置关系 34．（2025·山东潍坊·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，以2cm的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 10切线长定理 35．（2025·山东青岛·二模）如图，内接于，，是的切线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11与切线的性质有关的证明与计算 36．（2025·山东滨州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为弧的中点，则等于 ．   37．（2025·山东滨州·二模）如图，已知是的直径，是的切线，交于点，，，则 . 38．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 39．（2025·山东济南·二模）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求的长． 40．（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形沿对角线翻折，C的对应点为点，以矩形的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 12与切线的判定有关的证明与计算 41．（2025·山东德州·二模）【课本再现】 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 42．（2025·山东烟台·二模）如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 43．（2025·山东日照·二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 44．（2025·山东菏泽·二模）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 45．（2025·山东聊城·二模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为9，，求的值． 13圆与解直角三角形综合 46．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，C为半圆上一点（为的直径），连接，点分别在弦上，连接，将沿折叠，使点C恰好落在圆心O上．若已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·山东济宁·二模）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 48．（2025·山东德州·二模）如图，内接于，直径，点在上．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，连接，． (1)求证：； (2)如图，连接，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求． 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接并延长交于点，连接，求出即可． 记交于点，连接，求出即可． 49．（2025·山东济南·二模）如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 14圆与相似综合 50．（2025·山东济南·二模）在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 51．（2025·山东日照·二模）如图1，以的边为直径作，交于点，交于点，连接，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，求的长． 52．（2025·山东德州·二模）如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证： 53．（2025·山东枣庄·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积． 54．（2025·山东临沂·二模）如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心、为半径作弧，点在上，且与、两点均不重合，点在上，且，过点作，交于点，连接、． (1)求证：是弧所在的切线； (2)当时，求的长． 15圆与解三角形、相似综合 55．（2025·山东济南·二模）如图，是的直径，点E，F是上的点且位于直径的两侧（点E位于左侧），连接，，过点B作的切线分别交，的延长线于点C，D，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 56．（2025·山东临沂·二模）如图，四边形内接于，为的直径，点D为的中点，过点D的直线l交的延长线于点M，交的延长线于点N，且． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 57．（2025·山东日照·二模）如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 58．（2025·山东潍坊·二模）如图，是的直径，内接于，取的中点，连接、，过点作，交的延长线于点，且，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的值． 59．（2025·山东淄博·二模）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为，求弦的长； (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一动点，过点作交于点．当时，求的长． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，在扇形中，过圆心作的垂线交于点，若，，则的长是（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 2．（2025·山东淄博·二模）如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2025·山东潍坊·二模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东青岛·二模）如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·二模）如图，中，，，，是的中点，过、两点且分别交边、于点、，连接．下列结论正确的是（    ） A．的面积最小为 B．与相切时也与相切 C．经过点时的面积为 D． 7．（2025·山东东营·二模）如图，在中，O是边上的点，以O为圆心，为半径的与相切于点D，平分，，，的长是 ．         8．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ． 9．（2025·山东枣庄·二模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 10．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为 ． 11．（2025·山东济宁·二模）如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为 ． 12．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，是的直径，是的切线，线段与相交于点，连接，的平分线与交于点，与交于点，的平分线与交于点，点是的中点，若，则为 ． 13．（2025·山东威海·二模）如图，点在矩形的对角线上，经过点C，且与，分别交于点，，且． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 14．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰与点重合，折痕为，顺次连接，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 15．（2025·山东淄博·二模）如图，是的直径，是的切线，点在上，且，连接交弦于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 16．（2025·山东威海·二模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，动点P是延长线上一点，交于点Q，连接交于点F． (1)当Q是弧BC的中点时，求证：； (2)在第一问的条件下，设，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由． 17．（2025·山东淄博·二模）【概念呈现】如图1，在中，若是钝角，且，则称为和谐三角形，叫做的和谐角． 【概念理解】 （1）根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，完成下列问题： ①在如图1的和谐三角形中，若是的和谐角，则________； ②若和谐三角形是等腰三角形时，则该和谐三角形的和谐角的度数为________； 【性质探究】 （2）爱探索思考的小强根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念发现：在如图1的和谐三角形中，若是钝角，是的和谐角，则存在的结论，请同样爱探索思考的你证明小强的结论； 【拓展应用】 （3）如图2，是的内接三角形，，点P是边上一点，连接并延长交于点D．问根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，是否存在是和谐三角形？若存在，请直接写出弦的长；若不存在，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆 题型概览 题型01 命题与证明 题型02 垂径定理 题型03 圆周角定理及其推论 题型04 圆内接四边形 题型05 与扇形弧长有关的计算 题型06 与扇形面积有关的计算 题型07 与圆锥有关的计算 题型08 正多边形与圆 题型09 与圆有关的位置关系 题型10 切线长定理 题型11 与切线的性质有关的证明与计算 题型12 与切线的判定有关的证明与计算 题型13 圆与解直角三角形综合 题型14 圆与相似综合 题型15 圆与解三角形、相似综合 01命题与证明 1．（2025·山东东营·二模）下列是真命题的是（    ） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．三角形有且只有一个外接圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．过三点有且只有一个圆 【答案】B 【知识点】判断命题真假、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理、圆周角定理、三角形的外接圆、确定圆的条件即可一一判断； 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；错误，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角可能相等也可能互补；即A是假命题． B、三角形有且只有一个外接圆；正确，即B是真命题； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，即C是假命题． D、过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆．即D是假命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆等知识点的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和辨析能力． 2．（2025·山东潍坊·二模）下列说法正确的是（    ） A．相等的弧所对的圆周角相等 B．两个无理数的和仍为无理数 C．若为线段的中点，则 D．若，，则 【答案】AC 【知识点】实数的混合运算、不等式的性质、线段中点的有关计算、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了相等的弧所对的圆周角相等，实数的计算，线段中点的定义，实数的大小比较，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 相等的弧所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意；     B. 两个无理数的和不一定为无理数，例如，故该选项不正确，不符合题意； C. 若为线段的中点，则，故该选项正确，符合题意；     D. 若，，则不一定成立，例如而，故该选项不正确，不符合题意； 故选：AC． 3．（2025·山东烟台·二模）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、中心投影 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意； D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 02垂径定理 4．（2025·山东日照·二模）如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【详解】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D， ∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm， ∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm， ∴OD=cm， ∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm． 故答案为2． 5．（2025·山东菏泽·二模）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 6．（2025·山东济宁·二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 7．（2025·山东淄博·二模）如图，⊙O的半径为，点为弦上一点，，点为⊙O上一点，，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求角的正弦值 【分析】本题考查了正弦的定义式，垂径定理，勾股定理，分母有理化，解题关键是熟练掌握正弦的定义式． 先根据题意得出，得知当时，最小，先求出此时的，再求出此时的即可求出的最大值． 【详解】解：∵，⊙O的半径为， ∴， ∴越小，的值越大， 当时，最小，此时最小， 此时，，连结， ∵， ∴，解得：（负值舍去）， ∵， ∴，解得：（负值舍去）， ∴的最大值是， 故答案为：D． 03圆周角定理及其推论 8．（2025·山东威海·二模）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 9．（2025·山东临沂·二模）如图，是的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 10．（2025·山东聊城·二模）如图，点A、B、C、D在上，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 11．（2025·山东泰安·二模）如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】根据是的直径可得，根据圆周角定理可得，即可求得的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 12．（2025·山东潍坊·二模）如图，为的直径，点C，D在上，与交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，半径，点C在上，，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角定理；连接，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 04圆内接四边形 14．（2025·山东济宁·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， 故答案为：． 15．（2025·山东东营·二模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质，根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴ ∴， ∴， 又∵C为劣弧上一点， ∴， 故选：D． 05与扇形弧长有关的计算 16．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点D，E，则的长为 ．（结果保留） 【答案】/ 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、求弧长 【分析】本题考查了弧长公式、等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设半圆的圆心为，连接，由得到，得出，再由得到，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，设半圆的圆心为，连接， ，为直径， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（2025·山东泰安·二模）如图，，两点在以为直径的上，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．利用圆周角定理得到，连接求出，然后根据弧长公式求出的长． 【详解】解： 连接， ∵，， ∴， ∴， ， ∴, ∴的长． 故答案为：． 18．（2025·山东聊城·二模）如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：A． 19．（2025·山东烟台·二模）如图，中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，求弧长： （1）连接，证明，得到，平分，进而得到垂直平分，根据同角的余角相等，得到，即可得证； （2）求出，进而求出，三角函数求出的长，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则， ∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴的长为：． 06与扇形面积有关的计算 20．（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的外接圆，半径为5，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】2 【知识点】正多边形和圆的综合、求圆锥底面半径 【分析】根据圆的内接正多边形的性质可得的长度为周长的，再根据的长度为圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， ∵是正五边形的外接圆， ∴， 解得：． ∴这个圆锥底面圆的半径是2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，求圆锥底面半径，解题的关键是根据题意得出的长度为圆锥底面周长． 21．（2025·山东济南·二模）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】先求出，求出，求出，，分别求出扇形和三角形的面积，即可求出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， 中，，， ，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形和三角形的面积，题目比较好，难度适中． 22．（2025·山东泰安·二模）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作弧、、．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积、求弧长、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、扇形的面积公式，首先根据弧长公式可得：，从而可以求出，根据等边三角形的面积公式可以求出，根据弓形的面积公式可得：弓形的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为三个弓形的面积加上的面积即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ，， 则， “莱洛三角形”的周长为， ， 解得：， 如下图所示，过点作于点D， 则有， ， ， 则弓形的面积为， “莱洛三角形”的面积为． 故答案为：． 23．（2023·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴的正半轴上的处，得到，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】由，，，可得，再根据旋转的性质可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，即旋转角为，再根据，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵绕点顺时针旋转点在处 ∵，即 ∴ ∴，即旋转角为60° 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积等，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数． 24．（2025·山东日照·二模）如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查切线的性质、三角函数及扇形面积公式，熟练掌握切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∵点是的中点，点O是的中点， ∴， ∴； 故选A． 07与圆锥有关的计算 25．（2025·山东青岛·二模）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为r，则， 所以， 所以圆的直径为． 故答案为：． 26．（2025·山东菏泽·二模）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题、求弧长、求圆锥底面半径、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 27．（2025·山东潍坊·二模）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、求圆锥侧面展开图的圆心角、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图圆心角的度数，垂径定理，勾股定理解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据圆锥的底面圆周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，求得展开后的扇形的圆心角为，进而根据勾股定理和垂径定理即可求解，求得侧面展开图的圆心角是解题的关键． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴， 解得：， ∴侧面展开图的圆心角为， 如图，为圆锥侧面展开图，，的长度即为这条彩带的最短长度， 过点作于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这条彩带的最短长度是， 故答案为：． 28．（2025·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【答案】(1)见解析，点； (2)； (3)圆锥的底面半径． 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、求弧长、求圆锥底面半径 【分析】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可； （）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解； （）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解； 本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图， ∴点即为所求，点， （2）如图， 根据网格可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）设该圆锥的底面半径， ∵， ∴， 则， 解得：． 08正多边形与圆 29．（2025·山东青岛·二模）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、正多边形和圆的综合 【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 30．（2025·山东泰安·二模）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 31．（2025·山东潍坊·二模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案． 【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 32．（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中 ， ， ， 故选：A． 33．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 09与圆有关的位置关系 34．（2025·山东潍坊·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，以2cm的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、判断直线和圆的位置关系、用勾股定理解三角形 【分析】计算C点到AB上的高即可判断； 【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于D， 由题意得：AB×=5，AB=cm， 由勾股定理得：BC=cm， Rt△BCD中，CD=BCsin∠B=3cm， ∵2cm＜3cm， ∴圆与AB相离， 故选： A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关键． 10切线长定理 35．（2025·山东青岛·二模）如图，内接于，，是的切线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接、，利用切线的性质定理得到，利用圆周角定理得出，由得到，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，是的切线， ， ， ， ， ． 故选：B． 11与切线的性质有关的证明与计算 36．（2025·山东滨州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为弧的中点，则等于 ．   【答案】/18度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：，为弧的中点， ， ， ， ∵直线与相切， ， ， 故答案为：． 37．（2025·山东滨州·二模）如图，已知是的直径，是的切线，交于点，，，则 . 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和三角形面积公式．先根据切线的性质得，利用勾股定理计算出，接着利用圆周角定理得到，然后利用面积法求的长即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴，即于点C， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由切线的性质并结合题意可得，再由平行线的性质和圆周角定理即可得解； （2）由垂径定理可得，弧弧，推出，由勾股定理可得，再由面积法计算即可得解． 【详解】（1）解：切于点，是半径， ， ， ， ， ； （2）解：连接 是直径， ∴，弧弧 ． 是直径， ． ∵， ， ． 39．（2025·山东济南·二模）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，利用切线性质得到，即．由得出，根据直角三角形两锐角互余，结合（半径相等）推出，通过等量代换证明，从而证明平分． （2）根据垂径定理，因为且是圆直径，得出 ．在中，利用勾股定理求出的长．通过证明（两角分别相等的两个三角形相似），根据相似三角形对应边成比例求出的长，最后由（为半径）求出的长． 【详解】（1）证明：连接 与相切于点 即平分 （2）解：是的直径 中， 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径）、垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 ），以及相似三角形的判定与性质和勾股定理．解题关键在于合理添加辅助线（连接），利用圆的性质找出角之间的关系来证明角平分线，通过垂径定理和勾股定理求出线段长度，再借助相似三角形对应边成比例求出未知线段长． 40．（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形沿对角线翻折，C的对应点为点，以矩形的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论； （2）由锐角三角函数得，，得，，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在 中解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵与相切于点， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键． 12与切线的判定有关的证明与计算 41．（2025·山东德州·二模）【课本再现】 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 【答案】（1）直角；（2）①见解析；② 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，正确理解圆周角定理是解决此题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②设，则，，由勾股定理求出，得，再由平行线分线段成比例定理可得结论． 【详解】解：（1）直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②解：设，则，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得，． 42．（2025·山东烟台·二模）如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、根据矩形的性质与判定求线段长、角平分线的有关计算 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，即可解答； （2）过O作，垂足为F，先证明四边形是矩形，可得，再求得，可得，进一步求出，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∵是等腰三角形， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过O作，垂足为F， 在四边形中， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 43．（2025·山东日照·二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 44．（2025·山东菏泽·二模）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 45．（2025·山东聊城·二模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为9，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆内接四边形的性质、解直角三角形、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由等边对等角结合角平分线的定义可得，推出，结合题意得出，即可得证； （2）由圆内接四边形的性质证明出，再证明出，结合，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵的直径为9，为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13圆与解直角三角形综合 46．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，C为半圆上一点（为的直径），连接，点分别在弦上，连接，将沿折叠，使点C恰好落在圆心O上．若已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】先由圆周角定理得，再结合折叠性质得，，根据半径相等得，因为，所以，解得，同理，在中，，解得，即可作答． 【详解】解：连接 ∵为的直径 ∴， 即， ∵将沿折叠，使点C恰好落在圆心O上． ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，解直角三角形的相关运算，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 47．（2025·山东济宁·二模）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1)见解析 (2)塑像的高约为 【知识点】圆周角定理、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 48．（2025·山东德州·二模）如图，内接于，直径，点在上．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，连接，． (1)求证：； (2)如图，连接，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求． 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接并延长交于点，连接，求出即可． 记交于点，连接，求出即可． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弦的定义等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据圆周角定理得出； （2）小明的研究思路：在中，求出，根据圆周角定理得出，即可求解； 小丽的研究思路：由（1）可得，根据垂径定理得出．在中，求出，根据等边对等角、三角形的外角的性质以及圆周角定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据作图可知：， ∴， ∴； （2）解∶①选择小明的研究思路，如图2， 是直径， ． 在中，． ， ． ②选择小丽的研究思路，如图3， 由（1）可得， ． 在中，． ， ． 49．（2025·山东济南·二模）如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由切线的性质证明，进一步即可得到结论； （2）连接，得到，进而得出，得到，根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 为的切线， ，   ， 中，， ∴， ， ． （2）解：连接， 为直径， ，   ， ， ，   ， ， ， ，          ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角函数的定义，正确的作辅助线是解题的关键． 14圆与相似综合 50．（2025·山东济南·二模）在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，根据，可得，由得，由切线的性质和垂直的定义可得，，故可得，从而可证明； （2）连接，，由勾股定理得出，证明，求出，得；设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴； （2）解：连接，，如图， ∵是直径， ∴， ∵ ∴，， 由勾股定理得，, ∵， ∴， ∴，即, ∴， ∴， 设，即， 在中，有， 在中，有， ∴ 即， 解得：， ∴． 51．（2025·山东日照·二模）如图1，以的边为直径作，交于点，交于点，连接，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)如图2，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据，得出，根据圆周角定理得出，，证出，即可得，即是等腰三角形． （2）由（1）得是等腰三角形，，利用勾股定理求得，证明，求得，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解：由（1）得是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 52．（2025·山东德州·二模）如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、求弧长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定相似三角形的判定和性质． （1）连接，，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度， （2）根据相似三角形的判定得出，再由其性质证明即可． 【详解】（1）解：连接，， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ． （2）是的直径， ， ， 是的切线， 于点， ， ， ， ， ． 53．（2025·山东枣庄·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积． 【答案】（1）见解析  （2） 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线； （2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴OA∥DE． ∴∠OAE+∠AED=180°， ∵AE⊥CD， ∴ ∴∠OAE＝90°， 即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°． ∵∠AED＝90°， ∴∠BAD＝∠AED， 又∵∠2＝∠3， ∴． ∴ ∵BA＝6，AE＝3， ∴BD＝2AD， ∴∠ABD＝30°， 由 ∴BD＝， 延长AO交BC于H， 则四边形AHCE是矩形， ∴∠AHC＝90°，CH＝AE＝3， ∴BC＝2CH＝6， ∴cos∠CBD＝ ∴∠CBD＝30°， ∴∠COD＝∠AOD＝60°， 由阴影部分面积＝ ∴阴影部分面积＝ 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 54．（2025·山东临沂·二模）如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心、为半径作弧，点在上，且与、两点均不重合，点在上，且，过点作，交于点，连接、． (1)求证：是弧所在的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，则，由，得到，由，得到 ，因此，从而，进而证得，得到，得证结论； （2）由求出，在中， ，．证明，得到，求出，根据勾股定理在中即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是所在圆的切线． （2）解：∵，， ∴在中， ， ∴． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，． 15圆与解三角形、相似综合 55．（2025·山东济南·二模）如图，是的直径，点E，F是上的点且位于直径的两侧（点E位于左侧），连接，，过点B作的切线分别交，的延长线于点C，D，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证，，可得，进而导角可得，即可得证； （2）证，得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， 又， ， 与所对的弧是同弧， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， 又， ， ， ， ， 在中， 设：，，则：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 56．（2025·山东临沂·二模）如图，四边形内接于，为的直径，点D为的中点，过点D的直线l交的延长线于点M，交的延长线于点N，且． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接交于点H，如图．证明，可得．证明，进一步解答即可； （2）连接交于点H，连接，如图，证明．求解，．证明．可得．，．设，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：连接交于点H，如图． ∵点D为的中点， ∴． ∴， ∴． ∵为圆O的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 又是圆O的半径， ∴是圆O的切线． （2）解：连接交于点H，连接，如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点D为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则． 解得（不符合题意的根舍去）． ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 57．（2025·山东日照·二模）如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， ． 【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 58．（2025·山东潍坊·二模）如图，是的直径，内接于，取的中点，连接、，过点作，交的延长线于点，且，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、求角的余弦值 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂径定理以及求锐角的余弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，证明，即可得出结论； （2）连接，设交于点，由（1）可得四边形是矩形，则，证明得出得出，证明得出，证明得出，进而得出，设，则，求得，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下， 如图，连接，    ∵点是的中点 ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵是圆的半径， ∴是的切线， （2）解：如图，连接，设交于点    由（1）可得 则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，． ∴ 即， 又∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，设，则 ∴， ∵，设，则 ∴，， ∴， ∴． 59．（2025·山东淄博·二模）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为，求弦的长； (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连结，过作，垂足为，根据切线的性质，根据正方形的性质和等边对等角可求出，进而求出，根据等角对等边得出，则可得出四边形为正方形，得出，然后根据切线的判断即可得证； （2）延长交于点，证明，可求出，根据等角对等边和垂径定理可得出，根据勾股定理求出，令，则，解方程，即可求解； （3）连结，证明，可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连结，过作，垂足为， 与相切于点， ， 正方形， ，， ， ， ， 四边形为正方形， ， 与相切； （2）解：延长交于点， 正方形， ， ， ， ， ， 在中，， 令， ， ， ； （3）解：连结， 为直径， ，， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，在扇形中，过圆心作的垂线交于点，若，，则的长是（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质．利用垂径定理求得，，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、圆周角定理 【分析】连接，取中点H，连接；易得是等边三角形，则；又，由，当点F在上时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由勾股定理得； ∵，中点为H， ∴， ∵， ∴当点F在上时，最小，最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，构造辅助线是解题的关键． 3．（2025·山东潍坊·二模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，故③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵点是的内心， ∴，故①正确； 如图，连接BE，CE， ∵点是的内心， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE， ∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE）， ∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠CBE+∠BCE=60°， ∴∠BEC=120°，故②正确； ∵点是的内心， ∴， ∴, ∵点为的中点， ∴线段AD经过圆心O， ∴成立，故③正确； ∵点是的内心， ∴， ∵∠BED=∠BAD+∠ABE， ∴， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD， ∴， ∴∠DBE=∠BED， ∴，故④正确； ∴正确的有4个． 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键． 4．（2025·山东青岛·二模）如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点作于点，解直角三角形即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ∴的半径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、坐标系中的旋转 【分析】本题主要考查了圆上的动点问题，圆的性质，切线定理，勾股定理，弧长公式等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 设与轴的交点为，过点作轴，交轴于点，连接，根据勾股定理求出，确定，求出点滚动的长度，然后利用对应点的长度即可求出点的坐标． 【详解】解：如图1，设与轴的交点为，过点作轴，交轴于点，连接， 轴，轴，点的坐标是， ， 即的半径为10， ， 在中，， 延长与相交，此时交点到点的距离为18，而点的横坐标为18， 故交点为点， ， 如图2，当点第一次落在轴上时，滚动了， 点滚动的距离为：， 点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为， 此时，，点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 故选：C． 6．（2025·山东潍坊·二模）如图，中，，，，是的中点，过、两点且分别交边、于点、，连接．下列结论正确的是（    ） A．的面积最小为 B．与相切时也与相切 C．经过点时的面积为 D． 【答案】AD 【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而当为直径时，的面积最小，求得面积即可判断A选项，根据的圆心在的垂直平分线上，而得出与相切时不与相切，故B不正确，经过点时，求得半径，即可判断C选项，过点分别作的垂线，垂足分别为，进而证明，得出，求得，勾股定理求得进而即可求解． 【详解】解：中，，，，是的中点， ∴， 当为直径时，的面积最小，最小面积为，故A选项正确， 过、两点，的圆心在的垂直平分线上， ∵， ∴故与相切时不与相切，故B不正确 经过点时， 在的垂直平分线上，则，，则， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴经过点时的面积为，故C错误 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴ 设，， ∴ ∵则是直径， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ 即 ∴， 在中，， 在中， ∴，故D选项正确 故选：AD． 7．（2025·山东东营·二模）如图，在中，O是边上的点，以O为圆心，为半径的与相切于点D，平分，，，的长是 ．         【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，根据相切可得，再根据特殊角的正切值可得，即可得，再证明，即可得，，问题随之得解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， ，即， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ∵ ， ∵， ． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，直径定理，平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理． 连接，根据角平分线的性质和等边对等角得出，根据平行线的性质得出直角和相关边长，然后利用勾股定理求出长度，最后利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ， ∵平分， , ， ， ， ， ， ，， ， ∵是的直径， ， 在直角中，由勾股定理得, 利用等面积法可得, 故答案为：． 9．（2025·山东枣庄·二模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 【答案】/18度 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，，首先，由正五边形内角和公式求出内角的度数，进而得到的度数，然后，根据等腰三角形性质求出和的度数，求出的度数，最后通过，求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 则与是上弧所对的圆心角和圆周角， ∴，， ∵五边形为正五边形， ， 在等腰，， ∴； 同理：， ， ∴； 故答案为：． 10．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】先得出，结合半径相等得，则，运用勾股定理算出半径，再证明是等边三角形，根据，得，然后分别求出，，，，再代入阴影面积进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵弦的长为， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴阴影面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，不规则图形，30度的直角三角形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（2025·山东济宁·二模）如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先求得正方形的边长，取的中点G，连接，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则有最小值，此时即可求得这个值． 【详解】解：如图，连接，取的中点G，连接， ∵是圆内接正方形，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 当点C、F、G在同一直线上时，有最小值，如下图： 最小值是：， 故答案为：． 12．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，是的直径，是的切线，线段与相交于点，连接，的平分线与交于点，与交于点，的平分线与交于点，点是的中点，若，则为 ． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】先利用中位线定理证得，再利用角平分线的意义和圆周角定理证得，从而可得，，， ，接着利用勾股定理，用表示出，然后证得，列出比例式，得到关于的方程求解，进而求得直径，再证明，最后求出． 【详解】解：连接，，，与交于点H，如图所示： 设， ∵点M是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，切线的性质定理，相似三角形的判定与性质综合，求角的余弦值，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求解． 13．（2025·山东威海·二模）如图，点在矩形的对角线上，经过点C，且与，分别交于点，，且． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、切线的判定定理，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． （1）连接，由已知条件易证，由此可得，结合，可得从而可得，由此可得，从而可得直线与相切； （2）根据同角的正切值相等及正切的概念可求得的值，再根据勾股定理可求得的值，在中，根据正切的概念可求得的值；设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求得r的值． 【详解】（1）解：连接． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴直线与相切； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ， 在中，由勾股定理得． 设的半径为r． 在中，由勾股定理得． 解得． ∴的半径为． 14．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰与点重合，折痕为，顺次连接，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)与所在圆的位置关系是相交，理由见解析 【知识点】证明四边形是菱形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系，熟练掌握菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系判定是解题的关键． （1）由对折可知，垂直平分，所以，所以被平分（依据垂径定理，关键步骤），所以，由菱形的判定定理即可判断四边形的形状； （2）由轴对称性可知，所在圆的圆心为点，连接，可知，所以与相切，说明与所在圆的位置关系是相交． 【详解】（1）解：四边形为菱形，证明如下： 由对折可知，垂直平分， 所以，， 所以被平分（依据垂径定理，关键步骤）， 所以， 所以四边形为菱形； （2）解：与所在圆的位置关系是相交．理由如下： 由轴对称性可知，所在圆的圆心为点， 连接，可知，所以与相切， 说明与所在圆的位置关系是相交． 15．（2025·山东淄博·二模）如图，是的直径，是的切线，点在上，且，连接交弦于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，切线长定理，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用切线的性质得出，然后证明，利用全等三角形的性质即可证明； （2）根据切线长定理得出垂直平分线段，根据三角形中位线的性质设，则，根据相等的角得出，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，． 是的切线， ， ， ，，， ． ， ， 是的切线； （2）解： 设交于． 是直径， ， 、都是切线， ，， ， 垂直平分线段， ，， ，设，则， ，， ， ， 由直角和公共角易得， ，设， ， 整理得，， 解得，（舍负根）， ， ， ． 16．（2025·山东威海·二模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，动点P是延长线上一点，交于点Q，连接交于点F． (1)当Q是弧的中点时，求证：； (2)在第一问的条件下，设，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，易证，由易得，进而即可得证； （2）连接，易求得，证，得到，进而求出和，即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，且为直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，同弧所对的圆周角相等等，熟知圆的相关知识和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 17．（2025·山东淄博·二模）【概念呈现】如图1，在中，若是钝角，且，则称为和谐三角形，叫做的和谐角． 【概念理解】 （1）根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，完成下列问题： ①在如图1的和谐三角形中，若是的和谐角，则________； ②若和谐三角形是等腰三角形时，则该和谐三角形的和谐角的度数为________； 【性质探究】 （2）爱探索思考的小强根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念发现：在如图1的和谐三角形中，若是钝角，是的和谐角，则存在的结论，请同样爱探索思考的你证明小强的结论； 【拓展应用】 （3）如图2，是的内接三角形，，点P是边上一点，连接并延长交于点D．问根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，是否存在是和谐三角形？若存在，请直接写出弦的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①直接根据新定义，进行求解即可；②根据题意，得到为等腰三角形的顶角，根据等边对等角，结合新定义和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可； （2）作，交于点，则，，根据新定义结合角的和差关系得到，证明，进而得到，即可得证； （3）分和，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①由题意，得：， ∴； ②由题意，，，， ∴， ∴； （2）作，交于点，则：，， ∵是钝角，是的和谐角， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在； ∵为直径， ∴， ∴， 若是和谐三角形，则为钝角， ①当时，连接，作， 由（2）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； ②当时，连接，作，如图，则：，， ∵， ∴，即：为和谐三角形，为的和谐角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$