14.2三角形全等的判定（题型专练）数学人教版2024八年级上册

14.2 三角形全等的判定 题型一 用SSS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，．求证：． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 4．（24-25八年级上·天津和平·期中）已知：，求证：． 题型二 全等的性质和SSS综合 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：,. 3．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明：．      4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型三 用SAS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，，．求证：． 题型四 全等的性质和SAS综合 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，则________． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． (1)求证：； (2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 3．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，已知，是的边和上的高，为的延长线上一点，为上一点，且，． (1)． (2)请写出与的关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，与中，，，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，且，．求证：． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点，在线段上，，，．求证：． 题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合 1．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 2．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，于，于，、交于点，求证：． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且． (1)求证:; (2)求的度数． 题型七 用HL证明三角形全等 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 3．（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段练习）如图，交于点．求证：． 题型八 全等的性质和HL综合 1．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，与相交于点，，于点，于点，求证：． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九 添加条件使三角形全等 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段与相交于点，，请添加一个条件 使得．（写出一种情况即可） 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）． 题型一 倍长中线模型 1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 3．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 题型二 旋转模型 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 3．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 4．（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 题型三 垂线模型 1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 2．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 3．（20-21八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 题型四 证明线段的和差问题 1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 题型五 全等三角形综合问题 1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． (1)如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． (1)求点、的坐标； (2)如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角，设点C的坐标为．    (1)当时，点C的坐标为 ． (2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，如图，在梯形中，直线，直线，垂足分别为D，E，点C在直线上，， (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若，求梯形的面积； (3)如图2，设梯形的周长为m，边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点同时停止移动． ①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____；（填“”“”或“”） ②移动过程中，点P与点Q能否相遇，如果能，直接写出两点相遇的位置． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定 题型一 用SSS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】证明：在与中， ∴． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ． 4．（24-25八年级上·天津和平·期中）已知：，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 题型二 全等的性质和SSS综合 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先得到，再根据边边边证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等，以及平行线的判定即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴，              ∴． 2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：,. 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键； 先证明，得到，进而得出结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，. 3．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明：．      【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，平行线的判定．先得到，用证明，推出，再利用平行线的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是利用已知条件，依据全等三角形判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形性质和角的关系证明平行． （1）根据已知边相等的条件，利用“边边边（）”判定定理证明． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ∴（）； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型三 用SAS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由得，再由得到，于是可根据“”判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 先根据推出，再根据即可证明． 【详解】证明：， ，即， 又，， ． 3．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 【答案】；；；；； 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系填空即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， 故答案为：；；；；；． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由得到，根据“”即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 题型四 全等的性质和SAS综合 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，则________． 【答案】(1)见解析 (2)72 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形外角的性质可得出，最后结合已知即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：72． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． (1)求证：； (2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据即可证明，得到，根据八字形结论得到，得到，继而得证； （2）先证明，得到，再利用八字形结论得到，继而得到 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， 又， （2），理由如下： ，， 又， 又， 又， 3．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，已知，是的边和上的高，为的延长线上一点，为上一点，且，． (1)． (2)请写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，． （1）是的高，得，得出，这样结合，，即可由“”证得； （2）由可得，结合，可得：，即可得到，从而可得，由此即可得到和的位置关系是互相垂直． 【详解】（1）解：∵是的高， ， ， ， 在和中： ， ． （2）解：， 理由如下： ， ，， ， ， ， 即， ． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，与中，，，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明即可； （）设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理和对顶角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴． 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点，在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，得到，再根据即可证明，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合 1．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据证明，得出，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，得到，结合同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，于，于，、交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．先证，推出，，求出，证，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且． (1)求证:; (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“AAS”判定和全等即可． （2）先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据，进一步求得的度数． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【详解】（1）证明： 在和中 （2） 平分 题型七 用HL证明三角形全等 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，先证出,即可证出,熟练掌握全等三角形的判定并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】证明：, , 又, ,即, 在和中， , ． 3．（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 4．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段练习）如图，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型八 全等的性质和HL综合 1．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，与相交于点，，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．连接，证明即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法， （1）利用即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求． 【详解】（1）证明：． 和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ， ， ． 题型九 添加条件使三角形全等 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，则只需要即可用“”证明，据此求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】， 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段与相交于点，，请添加一个条件 使得．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可利用直角三角形判定定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：添加的条件是：， 理由：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 题型一 倍长中线模型 1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：证明：是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2），， ， 即． ， 的取值范围是． （3）∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系． 3．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【答案】 【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【分析】 （1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得； （2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可． 【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即； （2）解：∵，， 由（1）可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键． 题型二 旋转模型 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 3．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）①由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得；②因为，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②由①知， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 4．（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 题型三 垂线模型 1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 2．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 3．（20-21八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 题型四 证明线段的和差问题 1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 题型五 全等三角形综合问题 1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，． 综上，当与全等时，的值为3或． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证； （2）①分两种情况，当时，当时，分别利用三角形面积公式即可求解； ②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可． 【详解】（1）解：∵在中，为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， 当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，， 当时， 如图，； 当时，如图， ． 综上所述，； ②∵， ∴， 当点F在线段延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得：； 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上所述，当与全等时，t的值为或． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． (1)如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 【答案】(1)①．②猜想：．证明见解析 (2)（1）②中猜想不成立，．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①根据四边形内角和是求解即可； ②利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）在上截取，连接，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：（1）①四边形中，， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴. 故答案为：． ②猜想：． 证明：延长至点，使，连接． ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）解：（1）②中猜想不成立，． 证明：如图，在上截取， ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． (1)求点、的坐标； (2)如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①见解析；② (3)的值不发生改变，等于4 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案； （2）①根据坐标得到，再通过等角的余角相等证明和，即可证明结论； ②由①得到，即可求出答案； （3）连接，证明，得到他们的面积相等，即可得到，即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 点的坐标为，点的坐标为； （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：， ， 点的坐标为； （3）解：的值不发生改变，等于4， 理由如下：如图，连接， 为的中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角，设点C的坐标为．    (1)当时，点C的坐标为 ． (2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)动点A在运动的过程中，的值不变，详见解析 (3)或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质． （1）根据题意过点C作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案； （2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案； （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【详解】（1）解：如下图，过点C作轴于点E，则，   ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴（AAS）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：动点A在运动的过程中，的值不变．理由如下： 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵点C的坐标为， ∴，即的值不变； （3）解：存在一点P，使与全等， 符合条件的点P的坐标是或或， 分为三种情况讨论： ①如下图，过点P作轴于点E，则，    ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴， 即点P的坐标是， ②如下图，过点C作轴于点M，过点P作轴于点E，    则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴． ∵， ∴， 即点P的坐标是； ③如下图，过点P作轴于点E，则．    ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 综上所述，符合条件的点P的坐标是或或． 2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由三角形的高的概念可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，于是得解； （2）由（1）得，，利用可证得，于是可得，由此即可求出的长； （3）由三角形外角的性质可得，，进而可得，依题意得，，然后分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：的两条高与交于点O， ， ，， 又， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得：，， 在和中， ， ， ； （3）解：， ， ， 依题意得：，， 点F是射线上一点，且， 分以下两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， 当与全等时，点在的延长线上，如图所示： 此时， ，， ， ， 解得：； ②当点在线段的延长线上时， ， 当与全等时，点在线段上，如图所示： 此时， ，， ， ， 解得：； 综上，当与全等时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用（几何问题），三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，如图，在梯形中，直线，直线，垂足分别为D，E，点C在直线上，， (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若，求梯形的面积； (3)如图2，设梯形的周长为m，边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点同时停止移动． ①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____；（填“”“”或“”） ②移动过程中，点P与点Q能否相遇，如果能，直接写出两点相遇的位置． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3)；能，点处 【分析】（1）利用可证得，进而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，于是可得，进而可得，然后根据即可计算出梯形的面积； （3）两点同时停止移动时，点移动的路程，点移动的路程，点移动的路程与点移动的路程之差，由题意可知，由此即可判断；设点的运动速度为，则点的运动速度为，设相遇时运动时间为，则相遇时，点的运动路程点的运动路程，因而可得，由于，，，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： 直线，直线， ， ， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：由（1）可得：， ， 又， ， 梯形的面积； （3）解：两点同时停止移动时， 点移动的路程， 点移动的路程， 点移动的路程与点移动的路程之差， ， 点移动的路程与点移动的路程之差， 故答案为：； 移动过程中点与点能相遇，两点相遇的位置在点处， 理由如下： 设点的运动速度为，则点的运动速度为，设相遇时运动时间为， 相遇时：点的运动路程点的运动路程， ， 点为边中点， ， 由（1）可得：， ， 又， 相遇时点、点在点处． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，不等式的性质，等式的性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$